книги из ГПНТБ / Сербенюк С.Н. Применение математико-статистических моделей для картографирования географических комплексов

2 S

N

|<г = я ( п - 1 )

Аналогично j г

находится кг

в пределах от - I до

Последователь-

I

I

3

2

4

6

5

ности

П

Ранги

4

2

5

3

6

I

Т

3

2

4

6

5

0

+1

+1

+1

+ 1

4- 1

І - І

І-З

1-2

1-4

і- €

1-5

О

-1

+ і

+1

+ 1

3-3

3-2

3-4

3-6

3-5

О

+ 1

1

+ 1

2-2

2-4

2-6

2-5

0

+ і

+1

5

4-4

4-6

4 -

О

- 1

6-6

6-5

0

5

5 -

тщательности П.

I

.4

2

5

3

•-6

о

■м

+1

+ 1

1-3

•fi

І - І

1-4

1-2

1-5

1-6

О

-1

+ і

- і

+1

4—4

4-2

4-5

4-3

4-6

О

+1

+ і

+ i

2-2

2-5

2-3

2-6

О

-1

+ i

5-5

5-3

5-6

О

+ i

3-3

3-6

• 0*

6-6

S = Z ЗД„=/ 0 * О А / I *

I

/+/I * I

/+

/I * I /+'

/ I * I /+ / I * I /+ / О « Ö /+ / - I *- I /+ / I XI /+

/ -1 * I /+ / I XI /+ / о * О /+ / I X I /+ /

IX I /+

/ I * I /+ / о * о А / - I XI /+ /

I * I А / о Xо А

/ I X- I а /

о Xо / =

CH-I+I+I+I+I+OI+I-I+I+0+M +I+

ции sг

по Спирмену

теоретически

и практически предпо­

чтительнее коэффициента „г по Кендаллу /

Б.Л. ван дер Вар­

ден,

I960

/ .

в /

Ранговая корреляционная матрица

Для расчёта ранговой корреляционной матрицы элемен­

ты х ік матрицы

(il)

заменяют порядковыми номерами / ран­

гами/

рщ

/ і

= І ,

2 , . . . , п ;

k = I ,

2 , . . . , гп/.

/ ранговые

переменные

в матрице X заданы столбцами /

Begin

in te g e r

д, р ,

q., ш,

п;

роо42

Cn,m);

b eg in

r e a l

-di

a rra u

g

Qi:n,

ism ],

Rs

[lsm ,

l:m ];

poo42

( g

) i

f o r

p :=

i

ste p

1 u n til

m do

b eg in

Re

[p,p]

I = l i

f o r

q := p + 1 s te p " ! u n t i l a do

b eg in

d

s =

J

!= о;

i o r

д

:= д + 1

w hile Д-n do

d i=

d +

( g

[;),?] -

g

Cd»4L]

)f2 ;

Rs

!>,<£]

:=

i

-

( 6 « d )

/

(n |3

- n )i

Re

[ij,p]

!=

Rs

[p,q]

end

end;

p !0 4 l C Rs ) i

sto p

end

end

П р о г р а м м а

4

ВЫЧИСЛЕНИЕ

РАНГОВОЙ

КОРРЕЛЯЦИОННОЙ

МАТРИЦЫ

/ранговые переменные в матрице X заданы строками/

begin

in te g e r

j , р, q, m, n;

poo42 C n,

m );

begin

r e a l

d;

arrau

g

[i:m ,

i:n ] ,

Rs

[і:ш ,

l:m] ;

poo42

(

g

)i

f o r

p

:=

1

step

1

u n til m do

begin

Ss

[p,p]

:=

j.;

fo r

q

:=

p

+

1 £be£

u n til

m do

begin

d

:=

j

:=

o;

fo r

q

:=

d

+

1 w hile

j ^ n do

d := d

+

C g

-

g

Obd]

) |2 ;

Rs DP . d

:=

1

-

C 6 X d

)

/

C nf3

-

n);

Rs

[q,pj

: =

Rs

[p,q|

end

end;

РІ04-1 ( Rs ) ;

step

end

end

Объяснения

к

программам

3 и 4.

n - переменная, указывающая длину ряда из поряд-'

новых

номеров

объектов

по

данному

признаку;

щ -

переменная,

указывающая

количество признаков.;

q -

идентификатор

массива

ранговой матрицы.

/ п * т

-

для

программы

І и

ш и п ' -

для

программы

2 /;

Исходная информация для программ: П,Ш, q.

Результат

-

матрица

Rs

корреляций

т хт.

И объектов

в виде

точек

в Ш-

мерном

пространстве,

каждая ось которого

соответствует

одному из парамет­

ров,

то облако точек

будет, иметь-форму, близкую к

т -

мерному эллипсоиду /

Г.' Харман,1972

/ .

Естественно

по­

этому

взять

систему координат,

образованную главными

осями

этого

эллипсоида.

Главные

компоненты выделяют

следующим образом.

ния из оставшихся

параметров.

Этот процесс

продолжа-

ют до

тех пор,пока

не построят

р новых

о с е й ( р ^ т ) .

Пусть

Х1( х г, Хз —исходные параметры и

точки

наблюде­

ний располагаются в

эллипсоиде /

рис. I

/ .

Вычисление последней описано' в

главе I .

§ 2 . Вычисление

главных

компонент

Множество главных компонент представляет собой

удачную систему

координат,

а

соответствующие диспер­

Главные компоненты

являются-

характеристическими

/ собственными /

векторами корреляционной /

ковариаци­

онной /

матрицы. Решив характеристическое

уравнение

|R = À l|= o ,

ч

( а )

где

I

-

единичная матрица,

получают m

действительных

положительных корней

Л .Каждому характеристическому

корню

/

собственному

числу /

соответствует

характе­

ристический вектор.

Наибольший корень является дисперсией первой глав­

ной

компоненты и

т. д . , следовательно,

наименьший ко -

рень будет дисперсией последней главной компоненты.

Корреляционная матрица

R

наблюденных величин X П0Д~

вергается диагонализации

так,

что

ft=UAU,

(й)

где

U

-

ортогональная матрица,

полученная

из R

А - диагональная матрица состоящая из собствен­

ных

чисел

Л

матрицы

R .

Матрица '

W = U A V l,

полученная из разложения

(24], оказывается составлен­

ной из

коэффициентов

корреляции между параметрами X

и главными компонентами

Zi

Z 2

V*

ши toil

w lm

[Щ

W = U A

' ‘ ' ^mm

X m

Сумма квадратов

элементов

строки

есть

дисперсия

U^+uV, +••■ + ÎDmt = Al

. .

.......................................

(26)

Из выражения (2б) видно,

что A i является

оценкой

силы линейной

связи между

Zr и вектором наблюдённых

переменных X

•

умножением

соответствующего

столбца

матрицы

W

на -1 /Г.Харман,

1972/.

Подробное изложение алгоритма вычисления главных

компонент можно

найти в

работах

Д. Лоули,

А. Макс­

велла

/ 1 9 6 7 '/ .

и

С.

Н.

Сербенюка

/

1972 / .

Эта

схема

вычисления

/по

методу Хотеллинга/

была

исполь­

зована

для составления

программы

5.

П р о г р а м м а

5

ВЫЧИСЛЕНИЕ

ВЕСОВ

.ДЛЯ

ГЛАВНЫХ

КОМПОНЕНТ

b e g in

in te g e r

р,

q,

m,

гаг, к,

і ; роо42

(

га, та

);

begin

r e a l

q l,

max,

sp,

I s p ,

eps;

a r r a u

u,

u l,

u2

[l:m ],

R,

Rk. [l:m ,

i:in],

1 [1 •mzf],

s'/

[lim z .lim ],

w

[j.:m,

l:m z];

poo42 ( eps, R ) ;

к :=

о;

Ml: f o r

q

:=

1

s te p

1

u n t i l m

do

b eg in

ql := о ; f од p : = 1 s te p 1 u n t i l m do

; qi

:=

q i

+

R

[p ,q ]i

u

[q]

:=

q l

end

!

max

in: u

[1]

;

f o r

q

:=s

1 ste p

i

u n t i l m

dn

i f

u

[q]

â

max

th e n

max : =

u

[q] i

f o r

q

:=

1

ste p

1

u n t i l

m do

u [q]

:=

u

[q]

/

max;

М2:

q l:=

o;

f o r

p :=

1

ste p

1

u n t i l

m

do_

u l

jp]

:=

u

[p] ;

f o r

p

:=

1

ste p

1

u n til

m

do

begin

ql

:=

o;

f o r

q

:=

1

s te p

1

u n til

m do

ql

:=

ql

+

u

[q]

xR

[q,p] ;

Ù2

[p]

:=

ql

end

f o r

p

:=

1

ste p

1

u n t i l

m do

u fp]

:=

u2

[p ];

max

:=

u [1 ];

f o r

p

:=

1

ste p

1

u n til

m do

i f

u

[p]

h

max

th e n

max :=

u

[p] )

f o r

p

:=

1

ste p

1

u n t i l

m do

u [p]

:=

u

[p]

/

max;

f o r

о := 1s te p 1 u n t i l m do

i f

( u [p]

-

u l [pj

) X eps

th e n

go

to

М2;