книги из ГПНТБ / Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие

-5 Si­

tae

дова тельно,

функции

fa

(*),-• •/» (*) составляют фундамен­

тальную систему

решений уравнения

П„').

§5. Линейные

неоднородные

уравнения

tv-vo

порядка.

I .

Структура

общего

решения

линейного.неоднородного

уравнения

Л, - го

порядка.

Вернемся к рассмотрению! линейного неоднородного дифферен­

циального

уравнения

Теорема

I .

Если

yjxl

ft/W,

• • • if*(х)

есть фун-

даментальная система решений однородного уравнения,

соответ­

ствующего

неоднородному

уравнению

а

У(х)

- некоторое

частное решение уравнения ( 1 ) , то функция

где

Ct) Cj}...

d,

-

произвольные постоянные,

будет общим

рияением уравнения

( I ) .

Действительно, по условию теоремы;

Тогда* в силу известного свойства

оператора

L

Су]

,

откуда следует, что функция (2) представляет

собой

некоторое

решение уравнения

(1).

Пусть

теперь

у = у-{х} есть некоторое

частное

ревевве

уравнения

( I ) . В точке

У -

х~«

оно удовлетворяет

следую­

щим начальным

условиям:

№

-

У

м

*

+

.

•.

*

"Ж).

с*)

Рассмотрим

систему

Ц, линейных уравнений с

h, неиэвест-

ными С,} Ся>

.. Сп.

вида

С, і(х*)

+ Сл"(*.)+•• • +С» fa (У.)к

*(*<>) - ч-(х°)

)

Так как Ц,(х),

fa(x)y

- фундаментальная

система

решени!

однородного уравнения

a, txj у

а„.,

(у)у'+

-

oj

то

определитель системы

уравнение

(4)

и

система

(4)

имеет единственное

решение

Рассмотрим

функцию

'

„ - ••

Их)

в С,е%Г*)+с/'>£(*)+-

• • •+ c/01faf*J+

Wxjj

что

і

аавермет докавательство

нашей теоремы.

Докажем теперь одно предложение , очень полевное для

практического

решения неоднородных

линейных

уравнений.

4 '

Теорема

8. Если

у

= «/J/V)

-

реве ниє неоднородного

урав -

шания

( | )

с

правой частью

Я*)

s

A

^ J

. а

у *

решение

того же уравнения

с

правой

частью

4(х)

=

, 4

то

Функция

у

=• *f» fx)

*

fj. fx)

будет решением

неоднородного

уравнения <|)

е правой

частью

J(x)

= ~f, (у) ^

/л(х)

L[W>].S

/,(*) , L

[Ъ(*>]

Отсюда ,

•L [ % Ь)+& с*,] =и*

(*>]

С*>2 = Уw * j -# & Ч

что и требовалось докаеать.

квадратур.

' '

Пусть

</, (x)J

fa (у j . .

и (х)

фундаментальная

система решений

однородного уравнения

Lli'J-if

••"'У

+••••>&.$= Ot

соответствующего уравнению ( I ) .

Будем искать частное решение неоднородного уравнения

(1) в

вяде

% *С1(*)у1(х)+Сл(х)ул(*)+--•

*С(х)у„(*)

}

.

/у}

где функции

С,(x)i Ci(x)j

C„tx) надо

подобрать так,

чтобы

функция (5)

удовлетворяла

уравнению ( I ) .

нахождения

к.

неизвестных

функций

С

•

• С (*) получатся

только

одно

условие,

поэтому

мы можем

дополнительно

наложить

на эти

функции

еще

н-і

условий,

выбирая

их по

своему

и в качестве

первого

дополнительного условия

потребуем,

чтобы

c;tx}у,(х)і

сл'(Х}у,їх)

+

і*)

--

о.

а

Тогда

У '=

С, (х) у,'(к)

і Сг rxj у/Ґх-J

(х)У»'

'*) .

//J

Дифференцируя ( 7 ) , найдем, что

f'Yxj

с, fx) у;fx

и

- i c h

, с, 'otf'H

Ь'Щ'А);

и в качестве второго условия потребуем, чтобы

е'і*)у:с»)+сл'с*)№(*)

+ •••

•>

с;(*)у*(*і-••

о.

( £ j .

Тогда

У "(х j

= С, (х) у, "Cxj і

Сл Crj y / f

< С»

.

< 3)

Действуя дальше

вполне аналогично,

мы найдем

для определения

С, (*>j Сл(*),

... Си(")

условия

/

С.ч*%> у, "(*) •* Cj '('J І*<*>*

• •

-> С»'*' У»'Ы=о

}

. . .

-

-

( (>°)

ж для производных

порядков

...

, я - і

функции (5)

получим

следующие

выражения:

у-ь)=с,(хгуГ(*)+-~

-* с*

)

•

'

'

у

( " )

Дифференцируя

последнее

тождество

ив ( I I ) , подучим

Последнее

условие,

налагаемое

на функции

С,(х)1 О h)y.v

ch//j

получим из требования, чтобы

функция (5) обращала

уравнение

( I )

» тождество. Подставляя выражение для jf(*>j У'*"),

•• уҐМ>

'*J

ив формул

( 5 ) , ( 7 ) , ( 9 ) , (11) и (12) в

левую

часть

уравнения

I I ) , найдем

+

QdnCCrotf-fai

. . . . c„(x,

y/""Jrr,]t

-f

• • •

'

*

ar.,(t}[c,

(

"

j

t

c„(yjy/crjji-

і

Йи (*j [С,

(xjу, (YJ І

• • •

* С

(xj у* (*,'] =

/(xj.

Объединяя члены,

содержащие

С, (*\

Слі*)}

• • • Си (*)

, послед­

нее равенство

перепишем: в виде

с,Ъ)у!""(*)<

•'•

* Ct'fv/J"""}

<-

* 0

* а,(*)у/"«>(о v ... <

й*./*>У-'(*)*

fxj]+

* СИС*) [у£Ъ, f <*,(*)уҐЬ;

< ••• •*

«дтtrj/»faj=fy

Тав жав функции

Уі(*)} •••(}»

с У*ь решения

однородного

уравнения,

соответствующего'уравнению (1) , то в последней

равен­

стве все выражения в квадратных скобках

тождественно ; рая то

нулю,

• в качестве

Л- -го условия для определения

с, tnt

• •. d ( * )

мы получаем следующее:

Ь'С»

У, ("'"с*) * c/t< )?/*'%)

і - .

•*

с^М//""Ьс)

* Щ

т

Итак,

для нахождения функций CCxij С.я(х)} . . . Chlx)

(*очн»а

их проивводных) мы имеем следующую систему

Л-

уразвеня! с

л~

неизвестными

С'(г), Сл'(х)л

. . .

Сц'(х)

:

C'OWxacJtofrix)*...

v с£Сх)у*,с*)

- о

\

С,'(пу/Гг)<

Q'(XJуЛ(*Н

Cj(*>

jft(*>

'О

і

-66-

Ы.Х

~1

Если

^ - вещественное число, то как известно из аналива,

комплексного

(а

не только

вещественного)

числа

к .

Из формулы (В)-последовательным дифференцированием для

производной

й- -го порядка функции

Ємх

получаем

следую­

щее

выражение:

Замечание,

В теории

рядов будет

рассматриваться

показа­

тельная функция

Є Z

от

комплексного аргумента

z

,

а

тогда мы увидим

, что

символ

(эС^+ч1)*

,

введенный нами

вдесь

для формального обозначения функции ( I ) , имеет вполне опре­

деленный смысл.

U.

Рассмотрим

полином

Р(*)

л--й

степени с вещественными

коэффициентами,

и пусть

Х-

А* - его вещественный корень

кратности

Ь

» Тогда, как

известно

ив алгебры,

имеет

место

следующее

тождество

Р(*)= С*-*-)г4(*К

rA*

gc^J^-o.

(6)

Лемма

1.

Вели

полином

Р(х)

имеет

І-

кратный

(У-^І)

вещественный корень

X-(Ks

,

то число

Д- является

(t-/J-

кратным корнем

производной

Р 'С*)•

У

Действительно,

дифференцируя

тождество

(6) , получим

или

Р 'ы e

* (*-*<)l~,<2(x;i-

(*'*№*)*(х-*?мы™&]

р1

(к)*Lx'-*)l4Q

і*-*),

О)

где

Так-нак

^,(^)-

^ Q (сь)^-

^

>т 0 равенство

(7) и докавы-'

вает лемму І.

'

Лемма

2 .

Если

полином

Р(х)

имеет

t -кратный

ft *->J

вещественный корень

ys-tb3

то

P(a.)--P'(*-)

=

•••

*Р11-О(я)=0,

P(tJ(*.)*0.

(ї)

Применяя

лемму

I

последовательно к' поликошм

"

P(*)j

P'(t) ...

получаем следующую цепочку

равенств:

Р

» Qi., с*) * (х-«о <?L

•

О')

Полагая в (9) и

(10)

х ~ Л.

«Убеждаемся в

справедливости

леммы 2.

Замечание. Леммы

1 и 2

остаются справедливыми

и в слу­

чае комплексного

корня

Х-А..