книги из ГПНТБ / Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие

а<х<6, - с ^ < ^ « ^ .

л _

»

о

- ^ ^ . . .

ге~«д'*"'ла>^

^

ибо

частные проиеводные

по

у , У,

• • • уґ"~°

от правой

части

(3)

равны соответственно

-

, - <?„.,

...

,

-

/ * ) .

Следовательно, для уравнения

(3)

в области

выполняются

все условия теоремы 2 §1 , откуда

и следует

справедливость

на­

шего

утверждения.

Как следствие

иа

теоремы

1

получается

Теорема 2. В интервале

единственным решением

одно­

родного уравнения ( U , удовлетворяющим нулевым начальным усло­

виям

является нулевое

(:тривиальнов|)

решение

jf(x)

г

оj

X є

Са> 6).

Действительно,

очевидно,

что функция

]f(x) = о

является

решением уравнения

( 1 в ) ,

удовлетворяющим

условиям

( 5 ) ,

но,

в

силу теоремы 1, других решений уравнения ( U ) / удовлетворяющих

условиям 15), не

существует.

$4. .Линейные (однородныег

уравнения

-то

порядка.

I . Простейшие свойства решений линейного однородного уравне­

ния

л--го порядка.

Обоавачим левую часть уравнений (1) или (1„> череа

L.£jfJ:

Lltf*?'*'***(x)f:nta..,'+

л»'*)/.

(,)

Каждой функции

у(х)

,

имеющей в некотором интервале

(а-,*)

пронаводнив до

ги -го

порядке

включительно;

формула

(1)

сопоставлевиг некоторую функцию,

определенную

на

4)

,

которую мшабовначим череа

LtjfJ

• Выражение

LfyJ

будем

Лемме*» Для любых функций

у,/*) в

,

имеющих в ин-

TepBaxe^e-jV) проиеводные до

п- - го порядка

включительно,

• любых

постоянных

Сі и

Ct справедливо равенство

I

ГС У,+ слул]

= с,

Lcyj+Q

LCfc].

(*)

Действительно,

в силу известных

свойств

проиаводных,

I

Ес>1

*

= (с

у , * G y t f *

*,(*) (су,*

с

.

•f

<?.-,'

to / С ^

* <г # J V

4* (*)

(С, У'"

? гJ

-

Легко

видеть,

что дока ванная леїша распространяется на любое

конечное число

слагаемых,

т . е .

/ Гс,

У'* С # •'••••» &У*]= С U$J+

Ct LEp] +

CllfrJQ

Из докаванной леммы сраву следует

Теорема

I . Если

ft (х),

• -

)

- некоторые

реше­

ния

однородного уравнения

то

при любых

постоянннхг

C,t Ctj

... С*. сумма e,*f,+ • •• +

также будет ревением уравнения (4) .

Действительно,

на основании

условия теоремы, для

любогоxtfaf

Тогда

в силу

формулы

(8)

т . е .

функция

if - с, у, + • • • + C^y^ обращает

в тождество

левую

часть

уравнения ( 8 ) , что и завершает

доказательство теоремы.

Пусть функции

%_fx)-y fh/xj

определены в н е к о т о - -

ром интервале

-.

Опрёделенне. функции' %(*),

%(г),...

на вывеются

яянейно еависиными

в интервале

(а,

4)

, если

ісуществуат1.

постоянные

С, Сі,

• С„

,

не все равные

нулю,

для которых

тождественно' в интервале

выполняется

равенство

С WvCj

'&'{*)

+ ••• * C»*f*(x)

в О

(і)

В том случае, когда

тождество

( I ) для

х£

вовиожно дашь

если' С, = Сг = • • •3 с '" g

°

,

функции

У, fa, Ъ(х)а-

тУ*)насыааюгсл

линейно независимыми в укаванном интервале.

Примеры;

1. Функции

у, = &*1х

,

^ . - ш 5 г ,

у3-j

линейно зависимы на

всей вещественной оси - *=~><х*

'

,

ибо для любого X

что можно записать в виде

/ . j , * V v

l.c+i'**(-!)!

=

О-.

2. функция

х

*

линейно

не еавис имы в любом

интервале

а-* дг * ^.

Чтобы убедиться в атом, достаточно

рассмотреть тождество

С,-£ + С,х + С±ж2•» • • ••* ся-

* — о

Он

3. Легко видеть, что если функция

у-/^*)

т тжотором ивтер- ,

вале

(ь,

4)

не обращается в нуль,

то (Ьункцви

ytxj^

x<f(*),

*У*і..

jX"У(*ї

вв указанном внтервале

ланеяво

неааввсамы.

Дейехвясеяьво,

тождество

ft УМ * eiJfyfq *GJrljfirj *

-fC„J(

. « О ,

Xf

4)

при

усаовваг

уґх)+о

акваваяентво тождеству

(2), яв которого,

как мы в«деяя> следует, что С.*С,=

*

C=cJ, я ато равно-

сальво навсму

утверждена».

Сформулируем теперь

ряд

легко

устанавливаемых

предложена!:

1.

Функции

¥» (*)

линейно вависаыы

на

проме­

жутке

в том

и только

в

том случае,

когда хотя

бы

одну

из них можно представить как линейную комбинацию остальных.

(Линейной

комбинацией функций

¥,(х),

Й

•

называют функ­

цию вида

C,%L*)-i Q&Cxj-t---

*

Сн%(х)

•' ,

где

Сн -постоян­

ные).

,

Действительно^ пусть например в каждой точке

'с,

¥,(*)+<и¥лЩ + :--* с ,

r - . / ' J .

Переписав

это

тождество в виде

с, <f,(*)+ Qкм*

• • • + с«.. %-, (*)+ ("}

**) -- о,

заключаем, что функции

4,(*-)j

• • •

¥» (х)

линейно зави*

симы на

интервале

°- *•х

'

.

Предположим

теперь,

что

4,(x)J4t(x)j

-

•

¥*(*)

линейно

зависимы

на

( C L )

$ )

• Тогда

существуют

числа С,гСг>...

с н г

не

все

равные нулю и такие,

что

на

промежутке

в< х<

£

~

С,Чі(*)+Са

* С* ¥*{*J

~

О. .

Пусть,

например,

Ск-Ф&

* тогда ив последнего тождества

найдем

—

—

р

Этим завершается

докааательство

нашего

утверждения

2.

Две

функции

ТУ*) И

Ча.(х)

линейно

вависимы в интервале

.

4)

тогда

и только

тогда,

когда

их отношение

пос-

тоянно,

т . е .

Лр—'- = С

Это есть непосредственное следствие предыдущего утверж­

дения.

3. Если хотя бы одна не

функций

4J*),

• ••

V* / *J

на

некотором

промежутке

(&> 6)

тождественно

ревиа

нулю,

то

такие функции

линейно вависимы

на

(а,,

О

В сшлу теоремы I

данного

параграфа функция £/(х)есгъ

решение

однородного

уравнения, (б)

, а так как f / " 3 . . .

- решение

системы (7),

то

ии (7) находим, что

Следовательно,

функция

у СУ) представляет

собой

решение

однородного

уравнения

(6),

удовлетворяющее

в точке

-Ус

шужевым начальным

условиям.

Тогда

я силу

теоремы 2 §

3,

у(х)

=

О.

Таким

обрааом,

если

W

l

V

,

t

o

)

,

-

О

,

то

С,"

У, (*) *

С/'>

у,

(х)+

• • • -

С„'Уг

I»)

=

О

в

(л,

причем не

все

С / °

(С

••• *)

равны нулю. Отсюда

вытекает,

что

функции

у,-(*\,№)у-^

$н(.х)

линейно вависимы в ( Л , * ) ,

что противоречат нашему предположению о фундаментальности

системы решений

it-(X)j

- • -. У»

(•*)•

Теорема

2

полностью

докаваша.

8. Структура общего решения линейного однородного

уравнения

Л - г о порядка

Теорема

8.

Если

У((х)1

Уг.(*),

• ••

Сх) —~

фундамен­

тальная система

решений

лине>ного

однородного уравнения

то оваее

решение

уравненвя

(

/ о )

имеет

вид

•

+

(*)*•

• * С» у*

Lx),

С*)

где

С,

Ctj . . .

С у,

-

проаввольвые

постоянные.

Для дожааательствв

гёорюш'

вадо

покааать,что

функция(2)

удовжетворяет

всем требованиям

определенвя

4 §

I

«той

главы

В ешжу теоремы 2

I

8,

функция

(2)

при любых

Ct)

Ci}

. -.

Ch

Воаьмем

любое

частное

решение

%~

уравнения

{Q,

удов­

летворяющее

в

некоторой

точке

у 0

е-

f ) следующим

началь­

ный условиям:

Рассмотрим

теперь

систему

/2-

линейных

уравнений с

К.

неиевестными

C/j

с * , . . .

Сн

С,

Ц, С » )

* Cj ^

(jf.)r

•

С»у„

СУ.) =

С, Ч,'0Ц t

CA

fc'Cy.J

С

^

(J4) =

)

M

C,?%+

fZ'J

=

fo"'

В силу того

что

у, (*),

- ^ ^ ф у н д а м е н т а л ь н а я

система реше­

ний уравнения (U), определитель системы (4)

Поэтому'

система

(4)

имеет

единственное

решение

Ч - Ч J Qi - Чг . j • - • j , c» - 4 , .

При атом функция

у (к) = С/'1

у,

(*)+ -

••

С*)

будет решением

уравнения

( I d ,

удовлетворяющим начальным

условиям

( 3 ) . Но в салу

теоремы

1 і 8,

существует

единственное

решение уравнения ( I ) , удовлетворяющее указанным условиям

следовательно,

Таким образом^ функция

( г ) ,

согласно

определению

4 и» S I

,

является

общим решением

уравнения

( 1 В ) .

Теорема

3

доказана.

Следствие. Линейное

однородное уравнение л, - г о порядка

не может

иметь

более

чем

л.

линейно

независимых

режений.

Предположим,

напротив,

что для уравнения

(!„)

на

про­

межутке (<*-, ^ )

существует

{ n-t-i )

линейно независимых

реше­

ний

#г(*)}

• • j

yjx)^,^).в

С И Л У

того»

что любые

к.

ив

них,

например,

у,(*)>

у^Ы\ •••

У* Iх)

также

линейно

невавн-

симы на

{^Л),

эти п. функции. образуют

фундаментальную

систе-

—

*

му решений. Поэтому, согласно теореме 3,

найдутся такие

посто­

янные

С,ІСІ>

. •.

Сн

,

что

для

любого .

х

f

ft

<>) будет

(*)

=

С, У, C*)-t

Q

t • •

- -t

С*

у*

откуда

следует,

что

функции

Уг/*}_, • •; / * ^ Д / ^ л и н е и

н 0

зави ­

симы

на

i&j

^)

)

в

про/>и*£о^ил.і*»ч

jyeg/fou^r?t*u<^b>.

Теорема

4» Любое

уравнение

( | р )

имеет

фундаментальную

сис -

тему

решений,

Действительно,

рассмотрим

tt

произвольных

чисел

•

и

ц '

и (*•>)

для которых

=jfc- О

(у)

Рассмотрим

теперь

К-

решений

уравнения

(1 0 )

fa^h-••

%ч ^

удовлетворяющих

в точке

Jfo€- f^j

<0 следующим начальным

условиям:

Существование (и даже единственность) таких решений

следует

ив теоремы I . § S . Так как в

силу (5)

\/V£у,Сх<>)у

•• tf» (f-)]-

& =f °j

то на основании леммы пункта 2 этого

параграфа,

заключаем,

что

функции У, fr), Уіі'у)/ •• Упі")

линейно

независимы

на

/д . ,