книги из ГПНТБ / Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие

Можно докввать,

что в каждой

точке кривой (26)

касатель­

ной к ней является одна ив прямых,

входящих в

семейство

(25),

в СВЯ8И с чем кривую

(26) называют

огибающей

семейства

прямых •

(25).

^Пример,

Положим

Тогда

у=хр + р^г

Дифференцируя, найдем,что р

*

р+0*гЛр]<Ц

Глава

М_. іУравненияІ высших порядков .

5

. Вопросы существования решений. Классификация решений.

где функция F1

определена

в некоторой области

2)

- мерного пространства.Будем считать,что уравнение

(1) одноа-

начно рааревимо

относительно

-j/**1* и может быть записано

в виде

где

функция

J

задана

в

какой-то

области

мерного

пространства.

Для уравнения

(2)

рассмотрим

следую­

щую эадачу Коши: найти в

некотором

интервале ( #о 6)

решение

jf(x)

уравнения

(2)

которое

в

точке

Ус Є- (л/£)

вместе

со

своими

производными

до

(

п'1

) - го порядка, принимает

в е ­

данные

аначения

'^о>

y0j

..

yJ"'*

, т . е . удовлетворяет

следующим (так называемым начальным) условиям.'

№

f

W

,

"""м-("~°

(*>

Очевидно, что вопрос

о

Существовании

решений уравнения

( 2 ) ,

удовлетворяющих

условиям ( 3 ) , гависит

от

свойств

функции

УС *•> У>

• • > f""'}

Справедлива

следующая.

Теорема

I .

Если

функции

^{У,

У^,

. • -^гЬ.,) непрерывна

(как

функция

точки

М(*>¥л*>,•

-.

), в

области

8)

,то

для

любых чисел

^

.

^ уо(м~°

для

которых

точка

Л

о I х °, У; Уо, • • -j Ус"""J

€

® ,

существует

решение уравнения

(2)> удовлетворяющее

начальным условиям

( 3 ) .

Для практики интересно укавать условия, при соблюдении

Которых существует единственное решение уравнения (2),

удов­

летворяющее условиям ( 3 ) . Имеет место

Теорема

2.

Если

функция

^

непрерывна в

области

2

вместе

со своими

частными

производными

види Щt

;»jj^<K>j*o.

для

любых чисел

ytj

у/^

... ?

у / " " \

для которых

точка

' %MJ(to, y*j у/,..

.j yf"'"J

•?SC,

существует

единственное

ране­

ние уравнения ( 2 ) , удовлетворяющее условиям (8).

•

Теоремы

I

и

2

мы в

нвием

курсе

на

доказываем.

Пусть функция

g-ffr)-некоторое

рененне уравнения

(2)

в интервале

Определение

1.

Решение

y=Y/frjуравнения

(2)

будем

называть

его

частным решением,

если на

интегральной

кривой

У~ f(x)

найдется

по

крайней

мере

одна

точка

tMa(j(o>

в

^некоторой! окрестности

которой

данное

решение

у=-

Ч'Сх)

Судет

единственным решением, проходящим

черев

точку

и/<> и

удовлетворяющим условиям ${*°)-- Щі,

/ґу-)=УЩ-Ч("іг,)

Определение

2.

Решение

if ^

<(ґх)

уравнения

(2)

будем,

называть

его

особым решением,

если

в

любой

окрестнос­

ти

каждой

точки

USo

ff/'l)

лежащей

на

кривой

у » f(x),

найдется

решение

^УСх)

уравнения

( 2 ) ,

проходящее

черев

точку

<Мс ,

отличное

от рассматриваемого

решения

^=

У(Х)

и удовлетворяющее

тем

же начальным

условиям

Уїв данных определений

следует,

что

любое

решение

урав­

нения (2) будет либо частным, либо особым его решением.

Очевидноj что если в некоторой области

$£>

для

уравнения

(2)

выполняются

условия теоремы

I 2 f

о

единственности

решения, •

то

любое

решение

уравнения

(2),

лежащее

в

області

§S

,

будет

его

частным

решением.

Определение

3.

Точку

еМо

fajfr),

лежащую' на

интег­

ральной

кривой

у =

<f(x)

уравнения

(2),

будем навы-

вать точкой

единственности

решения

jf

=

если

в некоторой

окрестности точки

iM*> это

решение

у =

ff*J

является

единственным

решением

уравнения

( 2 ) , проходящим

черев точку tM, и

удовлетворяющимусловиям

Рассмотрим

уравнение

п- -го порядка

не содержащее явно искомой функции.

Пусть

у

-

решение

уравнения

( I ) . " Тогда

Z-^/h)

будет

решением

уравнения

ибо

г '

-

^ . . .

,

г

Допустим,

нам иввестно,

что совокупность

всех

решений

урав ­

нения (2) записывается в виде

Рассмотрим

уравнение

первого

порядка

,=Р(жлу'3С;,.

-С „.,_)•-

О,

{Ч)

и пусть

все его решения

представиш

в

виде

Ив наших рассуждений

следует,

что решение

у~

ft*)

уравнения

( I ) удовлетворяет соотношению

(5) при некоторых

аначениях

параметров

С, Ctj . ..

С„

. Покажем,

что и наоборот,

любая

/t,-pa8 дифференцируемая функция

у-

f(x)

,

определяемая

соотношением

(5)

при некоторых

вначениях

параметров

^ О , . , Си,

будет

решением уравнения

Ш » /:

,

Действительно, "Jr У' \ t\

или ^'»у'('^ обращает

в тождество равен­

ство (3)

/ или (Ч)/

при тех же значениях

параметров С,,Сг,-

-

(так

как

WX) есть

решение

уравнения

(4) ) . Но любая

функ­

ция

%•(*) (в

частности

-2=4"fr)

) ,

определяемая

соотношением

(8)

при некоторых

вначениях

С',?г,.-.

,

есть решение

дифференциального уравнения ( 2 ) . Отсюда следует,

что

у-У^*)

обращает

в

тождество

уравнение

( I ) .

.

-45-

Итак, для

нахождения

всех решений уравнения

П- -то

порядка ( I ) достаточно найти все решения уравнения

(п-')-то

порядка ( 2 ) ,

а

затем - все

решения

уравнения первого порядка

( 4 ) .

Такой

прием приводит

нас к решению уравнений

более

н и ­

кого порядка, чем данное, я потому называется методом пони­

жения

порядка.

В частном

случае при

h~Z

, уравнение ( I )

имеет

вид

о,

(6)

а уравнение

(2)

оказывается

уравнением первого

порядка

О,

(*)

уравнение же

(4)

принимает

вид

'Р(*,Ї'>СІ)--о.

(Ь)

порядка

(б)

достаточно

найти

все

решения

^

(*> г

j

^ J = О

уравнения первого

порядка

( 7 ) , а

ватем найти

все

решения

^ХКІ

ЦІCl>

)zO уравнения первого порядка

( 8 ) .

Пример.

х(у')*

=

0.

Полагая

у '

г ?

,

получим

уравнение

2 '+ х

г* -

О. .

Отсюда

ЗІ*

+ хсЛу

= Оу

Тогда

для нахождения

у

имеем уравнение

откуда решение исходного

уравнения получаем в виде

Рассмотрим теперь уравнение второго порядка

не содержащее явно независимой переменной

X • , Предположим,

что

У-¥(*) есть решение

уравненяя (9) в

интервале

§ 3 . Линейное уравнение

/L-го порядка. Задача

Коши.

Рассмотрим

уравнение

у("К

*,ґ*) / r"~°+ a* fa j

r"'Ji

• • • І-

(*>y'+ a* /*V

= H*), ('J

где

функции

О, (x)j

Q4 (х>y. v

a*„(x)

и

-ffx)

определены

и

непре-.

рнвны в

:некоторои[

интервале

&) ", Уравнение

(1)

содержит

искомую функцию

у

и все

ее

производные

в первой

степени

и потому называется линейным дифференциальным уравнением

л - г о

порядка. Если

f(x)'i

о

в

faity

,

то

уравнение

( I )

называется

неоднородным.

В случае

о

в

{а-,^)

уравнение

у>+

А, (г)у"^

• • •

*

я..,

'+

r*j у •-• о

ff°)

нагывается однородным, соответствующим неоднородному уравне­

нию ( I ) .

Задача Коши для уравнения

(1)

заключается в

отыскании

на

(^4)

решения уравнения

( I ) ,

удовлетворяющего

следующим

начальным условиям:

уст.)-?.',

. .

,

у

"

" У - ) - * г " " > ,

С*)

где Х9е(&,€),

а

у0)

у/}

• • • j

$ ° C U

I )

" в а Д а

н н ы е

числа.

Ив общей теоремы 2 §1 о существовании единственного

р е -

ненил задачи Коши для уравнения

/ь-го

порядка

легко

следует

Теорема

\ .

Для

любых

чисел

Л, є

(ъ,

О ,

. .. J

у/*"3

в интервале

fa,j

6)

существует

единственное

решение

уравне­

ния

(1),

удовлетворяющее условиям

( 2 ) .

Действительно, записывая уравнение ( 1 ) в виде

убеждаемся в том, что правая часть

уравнения (8)

непрерывна

вместе со своими

частными

проивводными первого

порядка

по

у у'^

уґ*~')

в

области

Я>

,

координаты

точек

которой

fx^y

у j

.^у'"~')

удовлетворяют

неравенствам