книги из ГПНТБ / Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие
.pdfй окончательно, подставляя \Н) в (5) , найдем, что
fe^E' |
tiCwtfx. + |
г / |
г Л Г у < О |
В данном |
олучае |
N |
V |
S |
|
Оледовательно, условие (2) выполнено на во ей. .плоское ти, и наше уравнение является уравнением в полных дифференциалах на всей плоокости.Тогда,следуя указанной схеме решения,находт
U |
(*, у} •> JP(ziY/Jx |
- |
Щ)* |
J |
*H'lVJ |
*jg*#xtiW>, |
|
^ |
^ |
|
|
|
|
з |
|
отеюда |
^ ( ' я . |
/ . / |
' - Ч |
" ^ ^ " |
^ " ^ |
|
|
и совокупность всех решений рассматриваемого уравнения даёто;
формулой Щ ±<£ # |
с ,. |
їїу.с.ть теперь уравнение ( I ) не является уравнением в полных дифференциалах, а потому в рассматриваемой области
Всякая функция JU "JU '^t^/ |
» Для которой уравнение |
' оказывается в области7) уравнением в полных дифференциалах называется интегрирующим множителем уравнения ( I ) . На осно
вании т е о р е м ы ( I I . . . |
. |
I ) На практике при интегрировании уравнение в полных диф ференциалах в формулах 1 5 ) , ( § ) , С 7 ) и далее вместо интегралов о переменными верхними пределами следует пользоваться соответствующими неопределенными интегралами.
|
|
|
|
|
|
|
- |
зо - |
|
|
|
|
|
|
|
сразу убеждаемся в справедливости следующего предло |
|||||||||||
жения? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема |
3. |
Если |
функция/*7 ''*,Непрерывна в |
области |
|
||||||||
вместе |
оо |
своими |
частными производными |
первого |
порядка, то |
||||||||
для |
того |
чтобы эта |
функция |
бытга интегрирующим |
множителем |
урав |
|||||||
н е н и я ^ ) |
, необходшо-и достаточно , чтобы во |
всех |
точках |
обла—' |
|||||||||
сти Р |
выполнялось |
равенство |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
|
Производя |
элементарные преобразования, |
запишем |
(9) |
в ином |
|
||||||||
в и |
д |
е |
: |
ч |
- |
р |
gtf-.J^i |
^ |
- |
|
|
|
|
|
или |
|
р |
д/ч__ |
|
_ L a |
_ |
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10 V ' |
|
Из т#орйяи(3)аЛедув(?,что функция.у6?7<',<у7 будет интегрирующим,. множителем уравнения ( I ) тогда и только тогда, когда она будет решением уравнения с частными производными (10;.
Очевидно, что вообще говоря, задача решения уравнения (10) более трудная,чем решение обыкновенного, дифференциального уравнения ( I ) Но в некоторых частных случаях удаётся легко найти решения урав нения ( Ю ) , затем,умножая уравнение (J.) на найденный янтегрирулци щий множитель.,, найти указанны» выше способом вое решения уравне-.
ния в полных дифференциалах (8),а,следовательно,все решения экви
валентного |
ему исходного уравнения ( I ) . (Мы считаем,что JJ |
(ч^)фо |
||
в области |
О |
, в противном случае уравнение (8) может |
иметь |
|
посторонние |
решения,определяемые ураввениемуи 1у,^) |
- О . |
|
|
Рарсмотрим два таких случая.
Теорема 4. Если функция ~ |
— |
зависит |
только |
|||
от |
, то уравнение |
( I ) |
имеет |
интегрирующий |
мнонитель, |
|
также |
зависящий тялько |
от х |
, |
вида |
|
|
|
и (У) - - е ~/'ШІУЖС/К |
С " ) |
||||
Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что при указанном в теореме условии функции ( I I ) есть решение уравнения ( Ю ) .
w Отсюда J U |
, |
что |
вместе |
с тождеством |
~ |
доказывает, что функ |
||||
ция |
( I I ) есть |
решения уравнения |
( J - X ) . |
|
|
|
||
|
Аналогично |
доказывался |
|
|
|
|
||
|
|
и |
. |
<. |
* & Ч - |
|
|
|
|
іеорема |
5, |
лсли |
функция |
-р—кг~ |
зависит |
только |
от |
|
, то уравнение |
( I ) имеет |
интегрирующий множитель, |
|
||||
также зависящий только^от М |
. вида |
|
|
|
||||
|
Примв£. |
(х +f^Z)cU - Qx^jdy-d |
в этом |
случае |
|
|||
|
?{*,<!)•- |
|
у \ Ч \ |
-~ -2*;/, |
£ f ^ |
? y ' £ |
£ r ~ 2 J |
|
|
с' 'У |
^ |
СУ X |
|
|
|
|
|
овательно, в силу теоремы 4, наше уравнение имезт интег эдий множитель вида
жая |
заданное |
уравнение иа >Г*- , получим уравнение в |
их |
дифференциалах |
|
;твительно, в |
этом олучае |
|
Трименяя теперь указанный способ решения уравнения * по* дифференциалах, найдем, что
и1к>3}--~
1
1? . ГУ$-=о , tfiyj- <=
^
човательно-^ совокупность всех решений нашего уравнения
в'т вид |
ь ' |
|
|
§7. |
Уравнения, |
не |
разрешенные |
относительно |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
проивводной. |
|
|
|
|
|
|||
|
В этом |
раеделе |
ыы ивучим |
некоторые |
уравнения вида |
|
||||||||
в той случае, |
когда |
уравнение |
(1) не раврешико однозначно |
|||||||||||
относительно |
|
у' |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Часто встречаются уравнения вида О)-, |
в которых |
функция |
|||||||||||
F(x>jf,y') |
представляет |
собой |
многочлен |
|
/ £ - ой степени |
|||||||||
относительно |
|
у' |
с |
коэффициентами, |
вообще |
говоря, «ависяля- |
||||||||
ми от |
X |
и |
|
Ч |
» Таковы |
уравнения |
вида |
|
|
|
||||
- (?) |
|
4Ы/ГГ+- |
• |
*А»-<С/'М |
У'+ л" |
= °> |
|
(А) |
||||||
где коэффициенты |
А к. 1*1$) суть функции, непрерывные |
в |
неко |
|||||||||||
торой |
области |
Ч£ |
|
на плоскости |
|
» |
|
|
|
|||||
Если |
удается, |
решая уравнение |
(/і) относительно |
, |
найти |
|||||||||
(в некоторой |
области |
%>о , |
оставляющей часть |
£> |
или |
|||||
совпадающей |
с все) все |
У» (^І |
*<) его веаествежжмх |
корней, то |
||||||
уравнение |
<&) можно привести |
ж |
f» |
•квяжалавтвш |
«к / а сово |
|||||
купности і |
области |
<&с |
уравнения \ 1-го порядке |
В И Д І $*І(*>¥І |
||||||
Например, |
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xf*+ |
|
|
|
о, |
: |
|
|
|
записанное |
яя всей плоскости, |
кроме |
пряжей |
Jf"^ |
ш иж е |
|||||
• эквивалентно |
ж области |
fc* |
, |
определяемой |
жерадоДОжчж |
|||||
^ £ » о |
|
, двум уражвеж.** |
первого поряд*. |
|
|
|||||
Рассмотрим теперь тот случай, жогдй уравнение ( I ) оджоа- |
||||||||||
начно раврежимо относительно |
у |
I |
Шее* вжД |
|
|
|||||
|
Теорема. Всякое |
решение |
£(х] |
уравнения |
(2) |
имеет вид |
||||||||
ij |
-f(*> |
РС*>) |
, |
где |
|
- некоторое решение уравнения . |
||||||||
|
|
|
|
/ |
- |
0* |
+ 2р |
с/К , |
|
|
|
|
|
1 J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
котором |
функция |
J- |
представляет собой |
правую |
часть |
урав |
|||||||
нения |
(2) |
при |
У'~Р |
- |
Наоборот, |
если |
f^P^) |
|
-решение |
|||||
уравнения ( 8 ) , |
|
то |
функция |
р^І^Р^1) |
|
есть |
некоторое |
|||||||
решение уравнения |
( 2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Действительно, |
пусть |
У~~ |
некоторое |
решение |
урав |
||||||||
нения |
( 2 ) , |
подставляя |
его в |
( 2 ) , |
получим |
тождество |
|
|
||||||
№= J
Дифференцируя »то тождество по X на йдем,что
|
|
jw |
= їх |
* у |
it*. |
|
|
|
|
|
||
Следовательно, |
|
= |
J( |
ж, f>C*>) } |
где |
р |
= / ' ^ |
~- |
||||
функция, |
удовлетворяла я |
уравнений ( 8 ) . |
|
|
|
|
||||||
Допустим теперь, |
что |
|
|
|
|
некоторое |
решение |
|||||
уравнения ( 8 ) . |
Составим |
функцию |
|
|
|
|
|
|||||
и, переписав уравнение (2) в виде |
|
|
|
|
|
|||||||
подставим в его левую часть |
у = j(x> |
Р(*>) j J |
~ |
* Ъ~/> |
||||||||
Помня, |
что |
р-рС*) |
есть |
решение |
уравнения |
(3),найдем |
что |
|||||
Следовательно, |
функция |
(4) |
есть |
решение |
уравнения |
( 2 ) . |
|
|||||
Такім образом, |
теорема |
доказана |
полностью. |
|
|
|
||||||
Иа n o t |
теоремы следует, |
что |
для |
нахождения всех решений |
|
|||||||
уравнения (2) достаточно найти все решения более простого |
|
|||||||||||
вспомогательного уравнения ( 3 ) , |
|
|
|
|
|
|
||||||
Если функция |
р± |
pCj |
<?J |
дает |
все |
решения |
уравнения |
|||||
( 3 ) , то согласно доказанной теореме, все решения уравнения (2) записываются в виде.
Если же совокупность решений уравнения (8) дается соотношением вида •
|
|
Р,с) |
= ог |
|
(ГУ |
то совокупность решений уравнения (2) записывается неявно в |
|||||
виде |
уравнений |
|
|
|
|
|
^= |
j |
0 0 (у> Р' с ) = ° • |
|
(V |
Если |
иа. уравнений (б) |
можно исключить :• параметр, |
р |
, то |
|
совокупность решений |
уравнения (2) запишется; в |
виде |
\ |
||
Наконец, если уравнение (5) однозначно раврешимо относительно х
то решения уравнения (2) записываются в параметрической форме
|
|
|
•X = Ч(Р Ч |
) |
; • |
|
|
|
|
Указанный |
прием интегрирования |
уравнений |
видя |
(2) нави |
|
вается |
методом |
введения параметра. |
|
|
|
||
Для |
применения |
его на практике надо в |
уравнении |
(2) |
положить |
||
У'- |
Р |
и, получив равенство |
^ = - У Л і / У ^ для нахождения |
||||
вспомогательного уравнения (3) продифференцировать гто равен
ство по |
X |
, заменяя |
вновь |
*ff |
н а . / ? |
|
|
|
Пример |
у^. |
|
|
|
полагаем |
/=» |
|
.тогда |
и |
о* |
^ |
Дифференцируя вто равенство |
по |
X t |
|||
найдем вспомогательное уравнение вида ( 8 ) :
Или |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
Таким обра80uy вспомогательное уравнение |
(7) |
эквивалентно |
|||||||||||
двум уравнениям |
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|||
Интегрируя первое ив них, найдем, что |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
&//-/- |
Л + С9/ |
р = |
СЄ* |
|
|
|
|
С?) |
|||
Ив второго |
(не |
дифференциального) |
уравнения найдем, |
что |
|||||||||
|
|
|
р*«Є* |
, |
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
|
Решению |
(8) ;уравнения| |
(7) соответствует |
однопараметрическое |
||||||||||
семейство |
решений |
исходного уравнения вида |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
у=Сеж*^ |
|
|
|
|
^ |
0°) |
||
а |
решению |
{9) |
зуравнвния^ (?) |
|
соответствует |
дополнительно |
|||||||
к |
(10) |
|
решение |
вида |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
у = |
±fe* |
|
± fP= |
* |
л |
^ |
ч |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. |
|
Уравнения |
вида |
|
|
|
|
|
||||
приводятся |
ж рассмотренному |
в |
предыдущем |
случае, если |
^ |
||||||||
считать |
йа независимую |
переменную а |
|
X |
-ва искомую |
функ |
|||||||
цию И положить |
|
ь'= |
"J-jr-- |
. |
Тогда |
|
(11) |
|
|||||
|
|
|
|
|
с/ |
Xj |
|
|
|
|
|
|
|
примет |
вид |
|
|
|
|
|
Полагая |
X y - ^ j " |
и дифференцируя |
равенство |
ХЇ |
^ ) |
по ^. , |
получим |
вспомогательное уравнение |
вида |
|
|
|
|
Ыожно^однако,не |
вводить новый |
параметр |
£ |
и не |
польаоватсл |
|
уравнением (12). Действительно, так как |
|
|
||||
|
|
|
|
... |
%-*%*Рия> |
|
|
|
<»> |
|||
то, |
подставлял |
в уравнение |
(12) |
значения |
и flg, |
иа |
||||||
(18) |
и |
(14) и учитывая (15),.перепишем (12) в виде |
|
|||||||||
|
|
|
|
УГУ* |
|
V |
|
|
|
° £ ) |
||
Последним уравнением и можно заменить |
вспомогательное |
уравнение |
||||||||||
нение |
(12). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Важным частным случаем уравнения (2) является уравнение |
|||||||||||
Лагранда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
Hi У') |
к |
У |
(У') |
- |
некоторые |
дифференцируемые |
функции. |
|||
Применяя к (I?) метод введения параметра |
получим |
|||||||||||
Дифференцируя |
это |
соотношение |
по |
х |
, найдем, что вспомо- |
|||||||
гательное уравнение (3) в |
этом |
случае |
имеет |
вид |
|
|||||||
|
|
р |
|
= |
+{х |
|
Г(Р) |
+ |
|
й г |
|
|
|
f(pj |
-p |
+ £ |
xrcpj |
'+• |
4- '(P)J in |
= |
0 |
|
|||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f W |
- / ° J ^ * Ex |
r [ p ) + |
4 , 1 |
|
= |
°- |
|
(n> |
|||||
Исключим сначала ив рассмотрения |
те |
значения |
|
р~ |
Рк |
,для |
||||||||
которых |
Ч(Р)-Р=0-. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда |
Р |
Ч о |
, |
|
и U 8 ) |
можно переписать в виде |
||||||||
|
|
|
<*Р |
W)- |
р |
|
р- |
|
|
|
|
|
||
Принимая в атом уравнении |
р |
эа |
независимую |
переменную, |
а |
|||||||||
X |
- аа функцию |
от |
/ ° |
, |
мы видим, |
что |
(19) |
представляет |
||||||
собой линейное уравнение первого порядка, решение которого, |
||||||||||||||
как |
иввестно, имеет |
вид . |
|
|
|
, |
„ |
, |
/ |
|
° ^ |
7 |
||
В силу дожеванной выше теоремы, решению (20) уравнения (18) соответствует решение уравнения Лагранжа (17) следующего
вида (в параметрической форме) Ґ £J2L
( £±£L-clF
|
у |
с |
x vfpj |
+ |
4-(pJ. |
|
|
|
Пусть теперь |
|
^o.=/і — вещественный |
корень |
уравнения |
||||
%{СР)~РЖ°- |
|
Тогда функция р |
- Рк |
будет |
решением |
|||
уравненияL |
(18), |
|
которому |
.будет |
соответствовать |
дополни |
||
тельное решение уравнения |
Лагранжа |
вида |
|
|
||||
|
^ |
с |
XVCPMJ+H'CPKI |
|
|
|||
представляющее собой некоторую прямую.