Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие

.pdf
Скачиваний:
15
Добавлен:
23.10.2023
Размер:
3.62 Mб
Скачать

й окончательно, подставляя \Н) в (5) , найдем, что

fe^E'

tiCwtfx. +

г /

г Л Г у < О

В данном

олучае

N

V

S

 

Оледовательно, условие (2) выполнено на во ей. .плоское ти, и наше уравнение является уравнением в полных дифференциалах на всей плоокости.Тогда,следуя указанной схеме решения,находт

U

(*, у} •> JP(ziY/Jx

-

Щ)*

J

*H'lVJ

*jg*#xtiW>,

^

^

 

 

 

 

з

 

отеюда

^ ( ' я .

/ . /

' - Ч

" ^ ^ "

^ " ^

 

и совокупность всех решений рассматриваемого уравнения даёто;

формулой Щ ±<£ #

с ,.

їїу.с.ть теперь уравнение ( I ) не является уравнением в полных дифференциалах, а потому в рассматриваемой области

Всякая функция JU "JU '^t^/

» Для которой уравнение

' оказывается в области7) уравнением в полных дифференциалах называется интегрирующим множителем уравнения ( I ) . На осно­

вании т е о р е м ы ( I I . . .

.

I ) На практике при интегрировании уравнение в полных диф­ ференциалах в формулах 1 5 ) , ( § ) , С 7 ) и далее вместо интегралов о переменными верхними пределами следует пользоваться соответствующими неопределенными интегралами.

 

 

 

 

 

 

 

-

зо -

 

 

 

 

 

 

 

сразу убеждаемся в справедливости следующего предло­

жения?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема

3.

Если

функция/*7 ''*,Непрерывна в

области

 

вместе

оо

своими

частными производными

первого

порядка, то

для

того

чтобы эта

функция

бытга интегрирующим

множителем

урав­

н е н и я ^ )

, необходшо-и достаточно , чтобы во

всех

точках

обла—'

сти Р

выполнялось

равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9)

 

Производя

элементарные преобразования,

запишем

(9)

в ином

 

в и

д

е

:

ч

-

р

gtf-.J^i

^

-

 

 

 

 

 

или

 

р

д/ч__

 

_ L a

_

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10 V '

Из т#орйяи(3)аЛедув(?,что функция.у6?7<',<у7 будет интегрирующим,. множителем уравнения ( I ) тогда и только тогда, когда она будет решением уравнения с частными производными (10;.

Очевидно, что вообще говоря, задача решения уравнения (10) более трудная,чем решение обыкновенного, дифференциального уравнения ( I ) Но в некоторых частных случаях удаётся легко найти решения урав ­ нения ( Ю ) , затем,умножая уравнение (J.) на найденный янтегрирулци щий множитель.,, найти указанны» выше способом вое решения уравне-.

ния в полных дифференциалах (8),а,следовательно,все решения экви ­

валентного

ему исходного уравнения ( I ) . (Мы считаем,что JJ

(ч^)фо

в области

О

, в противном случае уравнение (8) может

иметь

 

посторонние

решения,определяемые ураввениемуи 1у,^)

- О .

 

Рарсмотрим два таких случая.

Теорема 4. Если функция ~

зависит

только

от

, то уравнение

( I )

имеет

интегрирующий

мнонитель,

также

зависящий тялько

от х

,

вида

 

 

 

и (У) - - е ~/'ШІУЖС/К

С " )

Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что при указанном в теореме условии функции ( I I ) есть решение уравнения ( Ю ) .

w Отсюда J U

,

что

вместе

с тождеством

~

доказывает, что функ­

ция

( I I ) есть

решения уравнения

( J - X ) .

 

 

 

 

Аналогично

доказывался

 

 

 

 

 

 

и

.

<.

* & Ч -

 

 

 

іеорема

5,

лсли

функция

-р—кг~

зависит

только

от

 

, то уравнение

( I ) имеет

интегрирующий множитель,

 

также зависящий только^от М

. вида

 

 

 

 

Примв£.

+f^Z)cU - Qx^jdy-d

в этом

случае

 

 

?{*,<!)•-

 

у \ Ч \

-~ -2*;/,

£ f ^

? y ' £

£ r ~ 2 J

 

с' 'У

^

СУ X

 

 

 

 

овательно, в силу теоремы 4, наше уравнение имезт интег эдий множитель вида

жая

заданное

уравнение иа >Г*- , получим уравнение в

их

дифференциалах

;твительно, в

этом олучае

Трименяя теперь указанный способ решения уравнения * по* дифференциалах, найдем, что

и>3}--~

1

1? . ГУ$-=о , tfiyj- <=

^

човательно-^ совокупность всех решений нашего уравнения

в'т вид

ь '

 

 

§7.

Уравнения,

не

разрешенные

относительно

 

 

 

 

 

 

 

 

проивводной.

 

 

 

 

 

 

В этом

раеделе

ыы ивучим

некоторые

уравнения вида

 

в той случае,

когда

уравнение

(1) не раврешико однозначно

относительно

 

у'

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Часто встречаются уравнения вида О)-,

в которых

функция

F(x>jf,y')

представляет

собой

многочлен

 

/ £ - ой степени

относительно

 

у'

с

коэффициентами,

вообще

говоря, «ависяля-

ми от

X

и

 

Ч

» Таковы

уравнения

вида

 

 

 

- (?)

 

4Ы/ГГ+-

*А»-<С/

У'+ л"

= °>

 

(А)

где коэффициенты

А к. 1*1$) суть функции, непрерывные

в

неко­

торой

области

Ч£

 

на плоскости

 

»

 

 

 

Если

удается,

решая уравнение

(/і) относительно

,

найти

(в некоторой

области

%>о ,

оставляющей часть

£>

или

совпадающей

с все) все

У» (^І

*<) его веаествежжмх

корней, то

уравнение

<&) можно привести

ж

•квяжалавтвш

«к / а сово­

купности і

области

<&с

уравнения \ 1-го порядке

В И Д І $*І(*>¥І

Например,

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xf*+

 

 

 

о,

:

 

 

записанное

яя всей плоскости,

кроме

пряжей

Jf"^

ш иж е

• эквивалентно

ж области

fc*

,

определяемой

жерадоДОжчж

^ £ » о

 

, двум уражвеж.**

первого поряд*.

 

 

Рассмотрим теперь тот случай, жогдй уравнение ( I ) оджоа-

начно раврежимо относительно

у

I

Шее* вжД

 

 

 

Теорема. Всякое

решение

£(х]

уравнения

(2)

имеет вид

ij

-f(*>

РС*>)

,

где

 

- некоторое решение уравнения .

 

 

 

 

/

-

0*

+ 2р

с/К ,

 

 

 

 

 

1 J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в

котором

функция

J-

представляет собой

правую

часть

урав­

нения

(2)

при

У'~Р

-

Наоборот,

если

f^P^)

 

-решение

уравнения ( 8 ) ,

 

то

функция

р^І^Р^1)

 

есть

некоторое

решение уравнения

( 2 ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Действительно,

пусть

У~~

некоторое

решение

урав­

нения

( 2 ) ,

подставляя

его в

( 2 ) ,

получим

тождество

 

 

= J

Дифференцируя »то тождество по X на йдем,что

 

 

jw

= їх

* у

it*.

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

=

J(

ж, f>C*>) }

где

р

= / ' ^

~-

функция,

удовлетворяла я

уравнений ( 8 ) .

 

 

 

 

Допустим теперь,

что

 

 

 

 

некоторое

решение

уравнения ( 8 ) .

Составим

функцию

 

 

 

 

 

и, переписав уравнение (2) в виде

 

 

 

 

 

подставим в его левую часть

у = j(x>

Р(*>) j J

~

* Ъ~/>

Помня,

что

р-рС*)

есть

решение

уравнения

(3),найдем

что

Следовательно,

функция

(4)

есть

решение

уравнения

( 2 ) .

 

Такім образом,

теорема

доказана

полностью.

 

 

 

Иа n o t

теоремы следует,

что

для

нахождения всех решений

 

уравнения (2) достаточно найти все решения более простого

 

вспомогательного уравнения ( 3 ) ,

 

 

 

 

 

 

Если функция

р±

pCj

<?J

дает

все

решения

уравнения

( 3 ) , то согласно доказанной теореме, все решения уравнения (2) записываются в виде.

Если же совокупность решений уравнения (8) дается соотношением вида •

 

 

Р,с)

= ог

 

(ГУ

то совокупность решений уравнения (2) записывается неявно в

виде

уравнений

 

 

 

 

 

^=

j

0 0 (у> Р' с ) = ° •

 

(V

Если

иа. уравнений (б)

можно исключить :• параметр,

р

, то

совокупность решений

уравнения (2) запишется; в

виде

\

Наконец, если уравнение (5) однозначно раврешимо относительно х

то решения уравнения (2) записываются в параметрической форме

 

 

 

•X = Ч(Р Ч

)

; •

 

 

 

 

Указанный

прием интегрирования

уравнений

видя

(2) нави­

вается

методом

введения параметра.

 

 

 

Для

применения

его на практике надо в

уравнении

(2)

положить

У'-

Р

и, получив равенство

^ = - У Л і / У ^ для нахождения

вспомогательного уравнения (3) продифференцировать гто равен­

ство по

X

, заменяя

вновь

*ff

н а . / ?

 

 

 

Пример

у^.

 

 

 

полагаем

/=»

 

.тогда

и

о*

^

Дифференцируя вто равенство

по

X t

найдем вспомогательное уравнение вида ( 8 ) :

Или

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

Таким обра80uy вспомогательное уравнение

(7)

эквивалентно

двум уравнениям

 

 

 

 

я

 

 

 

 

 

Интегрируя первое ив них, найдем, что

 

 

 

 

 

 

&//-/-

Л + С9/

р =

СЄ*

 

 

 

 

С?)

Ив второго

(не

дифференциального)

уравнения найдем,

что

 

 

 

р*«Є*

,

 

 

 

 

 

 

 

(9)

Решению

(8) ;уравнения|

(7) соответствует

однопараметрическое

семейство

решений

исходного уравнения вида

 

 

 

 

 

 

 

у=Сеж*^

 

 

 

 

^

0°)

а

решению

{9)

зуравнвния^ (?)

 

соответствует

дополнительно

к

(10)

 

решение

вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у =

±fe*

 

± fP=

*

л

^

ч

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание.

 

Уравнения

вида

 

 

 

 

 

приводятся

ж рассмотренному

в

предыдущем

случае, если

^

считать

йа независимую

переменную а

 

X

-ва искомую

функ­

цию И положить

 

ь'=

"J-jr--

.

Тогда

 

(11)

 

 

 

 

 

 

с/

Xj

 

 

 

 

 

 

 

примет

вид

 

 

 

 

 

Полагая

X y - ^ j "

и дифференцируя

равенство

ХЇ

^ )

по ^. ,

получим

вспомогательное уравнение

вида

 

 

 

Ыожно^однако,не

вводить новый

параметр

£

и не

польаоватсл

уравнением (12). Действительно, так как

 

 

 

 

 

 

...

%-*%*Рия>

 

 

 

<»>

то,

подставлял

в уравнение

(12)

значения

и flg,

иа

(18)

и

(14) и учитывая (15),.перепишем (12) в виде

 

 

 

 

 

УГУ*

 

V

 

 

 

° £ )

Последним уравнением и можно заменить

вспомогательное

уравнение

нение

(12).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Важным частным случаем уравнения (2) является уравнение

Лагранда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

Hi У')

к

У

(У')

-

некоторые

дифференцируемые

функции.

Применяя к (I?) метод введения параметра

получим

Дифференцируя

это

соотношение

по

х

, найдем, что вспомо-

гательное уравнение (3) в

этом

случае

имеет

вид

 

 

 

р

 

=

+{х

 

Г(Р)

+

 

й г

 

 

f(pj

-p

+ £

xrcpj

'+•

4- '(P)J in

=

0

 

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f W

- / ° J ^ * Ex

r [ p ) +

4 , 1

 

=

°-

 

(n>

Исключим сначала ив рассмотрения

те

значения

 

р~

Рк

,для

которых

Ч(Р)-Р=0-.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

Р

Ч о

,

 

и U 8 )

можно переписать в виде

 

 

 

<*Р

W)-

р

 

р-

 

 

 

 

 

Принимая в атом уравнении

р

эа

независимую

переменную,

а

X

- аа функцию

от

/ °

,

мы видим,

что

(19)

представляет

собой линейное уравнение первого порядка, решение которого,

как

иввестно, имеет

вид .

 

 

 

,

,

/

 

° ^

7

В силу дожеванной выше теоремы, решению (20) уравнения (18) соответствует решение уравнения Лагранжа (17) следующего

вида (в параметрической форме) Ґ £J2L

( £±£L-clF

 

у

с

x vfpj

+

4-(pJ.

 

 

Пусть теперь

 

^o.=вещественный

корень

уравнения

%{СР)~РЖ°-

 

Тогда функция р

- Рк

будет

решением

уравненияL

(18),

 

которому

.будет

соответствовать

дополни­

тельное решение уравнения

Лагранжа

вида

 

 

 

^

с

XVCPMJ+H'CPKI

 

 

представляющее собой некоторую прямую.