книги из ГПНТБ / Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие

цнальному

уравнению.

Беля

=•

-о

» то (9),

очевидно,

является

однородный

уравнением. Будем считать, что по крайней

мере

одно

ив чисел

<*,

или

Q.

отлично

от нуля.

При

втом

могут

представиться.два

случая;

Г. Прямые

tiy-tc,

= o

иг**

hy+fj

~°

параллельны

и 2 ,

вти прямые пересеваются в

некоторой

точке

В случае !. существует число

о

какое,

что

-

jr ~<

И потому

д^у^ £ у s

к

(а., XI £у)

и уравнение

(9)

прини­

мает вид

U.

J

f^lAl^JL

\

0°)

Положим

* = Ч * * 6 /

. Так как

J y " - * ' +

^ ^

» *°

легко заметить,

что уравнение (Ю ) аквиваяентно

уравнению

с

рв8деллющимися

переменными

вида

4L

ї

ї .

й

.

а

J* ~ ot^

c/J JX

J

и так как

^У.

/

еЦ

J

ю

Пусть

теперь

у

-

yfxj

J некоторое решение

уравнения (9).

Тогда,

подставляя

в

(9)

х=^*х<> и

y/Vj = ^ + / o

, на осно­

вании

( I I ) и (12)

видим,

что функция

^

= У$ +y'J~Jb

будет

решением уравнения

7 / = 7 (

<Ь1+&(+Ъ**6*<Ь

Ч -

г ґ Л

г Ч \

Лз)

ибо

о,у.t^y.-tC,

-

о/

o^M.t 6г#.+сл

-

о

. уравнение

(18)

является

уже

однородный.

Нетрудно цокаеать, что верно и

обратное: если

j-^fj)

решение однородного уравнения

(13) ,

то

функция

где

Р(х)

и

Q(*)'

-

функции, непрерывные

на некотором

с е г ­

менте

£А-,

€]

, навывается линейным

уравнением 1-го порядка.

Если

<pf*J^ о

,

то ( I ) навивается

неоднородным уравнением;

в противном

случае

оно навивается однородным И имеет вид

Докажем следующую

лемму:

Лемма. Для того

чтобы функция

%(х)

была решением

урав­

нения ( D ,

необходимо

и достаточно,

чтобы

функция

w y i - e 1 " " *

fiJ

являлась

решением

уравнения

Замечание.

Хотя р е в е м *

линейного уравнения 1-го порядна

можно находить

непосредственно по формуле (5) , укажем еще один

способ, поаволяварі интегрировать уравнение ( І ) , не мпоми-

ная формулу

(5) .

Будем искать

решение уравнения

(1)

я виде

fij

где функции

Ш*і

и

V-(f)

выберем

ниже.

Так как

то подставлял (7) и (8) в уравнение

( О ,

находим

Си'*

Pdjbjv-*

2<v-'= <р/*).

(в)

Выберем в качестве

Ш*) любое ненулевое

реиение уравнения

с ра«являющимися

переменными

U,'+

Pfrj

и

= Оj

например, функцію

,

tUx)

= Є

J

(га)

.

і

'

Подставляял ее в (0) ,

наїдем,

что

,

У

W i ' / W e 1 * * " * -і-С.

оо

Положим J/-UI",

у 1 -

u'tf+UV-',

ного уравнения первого порядка вида

«j| + (-»+i)J$e)g =(-»«)<?(*>.

(г)

Наоборот, если

г = «vV;

- некоторое ревение

линейного урав­

нения ( 5 ) , то функция

будет решением уравнения

( I ) . Действительно,

йз (в)

и, подставляя

ахи

значения X

и

в ( 5 ) , после сокраще­

ния на множитель

(~Я+І)=РО

видим,

что

функция

(б) ес*ь

ревение

уравнения

(1),

Таким образом, для решения уравнения

( | )

надо

решить

линейное уравнение 1-го порядка ( 5 ) . Его

Общее решение вв.

основании

формулы

(5)

§4

имеет

вид

(І-М)(Р(Х)СІУ

.-

/

{-**/)/Яг/**

7

• У - Є

[С

J<?«J

Q

J

c/tj

Поэтому~совокупиостью всех решений уравнения ( I ) , • силу фврьуям (5)>

будут все

вещественные ветви многозначной

функция

-J-

Г

fi-*)fft*№,

f

(-**іірЬіо'г

1 ? / - ^

J

tj-_f-*^l_ef

J

' (с+с-^фъе

*)J

-

Пример,

^

t

&- y^-fa-n)^\

Умножв* ни

, иохучиш

Полагая .£-#~'л

-ft

- -

$

,

Л**

получаем

жииеінее

уравнение

1-го

порядка вида

_

___аІУ

-xti

^

: -

— j~ -

—

Зто уравнение было рассмотрено нами

в

примере

§4 и его

реше-

няе

было

получено

в

виде ...

Так

как

? = у - ' ,

tj

= f-'-

^ -

,

то

совокупность всех

реиений

веданного

уравнения

записывается

в

виде

и-

=.

I

ч*.о.

'—

d

(*+t)*(C+e«lr-nl)

' *

Замечание.

Сравнение

Бернулла

можно

интегрировать

непос­

редственно,

разыскивая его решение

в

виде

jf-b-V',

совернен-

зо аналогично тому,

как

ато делалось

в

случае

линейного

урав ­

нения 1-го

порядка.

і б і

Уравнения в

полных дифференциалах.

Интегрирующий

множитель.

Уравнение

вида

P&.flJt

* Q(*ty)J>f = О ,

О)

где

Pfay)

и <?6оу)

веданы а непрерывны в некоторой

области 5 8 ,

навивается уравнением в полных дифференциалах, если левая

часть его есть полный дифференциал

некоторой функции

^х,у)

в области

^>

. Последнее

овначавт, что существует

такая

функция

U(y,j/)

t

веданная

в

55

, для которой

ft**

9)

I s анвзива

иввестно,

что есхв

>(*>¥) ,

Q(*>1) ,

-тщ

*

у?

непрерывны

в области

"<5

,

то для того

чтобы

выражение

было

полный дифференциалом,

необхо-

дамо і достаточно чтобы в области

*55

тождественно

выполня­

лось

равенство

„

л

-28-

для которой

с/и

= І°С*,У)сІ* + Q(*,y)dy

Но яв аналива

иввестно,

что любая

хавая

функция

представаиа

в

виде

х

у

у»

/.

где точка

(Х',9>)

- проиввольная

точка

области S)

, а

На практике лучше не вапоминать формулу ( 4 ) , а «екать

функцию

и~(х,у)

следующий

обрааом.

Вовьмеи

некоторую точку

е 2)

. т а к к а к

Р{*>ё03

то,

интегрируя

вто равенство по

х

, найдем,

что

/ *

Отсюда,

так как

Щ- <р(*,у) ,

получим

Можно докавать,

что если

Р(^>%)

-

функция,

непрерывная

по

t

в

сегменте J. *

h -

х-

( ц л а

х

* f

* Л

)

(а.'Э*<»

следует

ив непрерывности

Р(х>?)

в

области

*Ь

) , то

Во в силу

'

%J*p(*'')lbe*J.****

.

Тогда ив (б)

и

{?J'

(2)

!~ь£- ^£

(7) мы

получаем,

что

»

х