книги из ГПНТБ / Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных

Лемма

А.2. Функция ф,-(с, х) при любом с

имеет в

интер­

вале

(0, я)

не более п+ 1 нулей (с учетом их кратности).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим, что

при некотором

с функ­

ция ФДс, х)=Ф,-(л:)

имеет в (0, я) более п-И

нулей. Тогда

по

теореме Ролля Фг (х) имеет в

(0, я)

более п нулей. Ввиду

чет­

ности г получим также Фг (.0) = Фг (іг) =

0, ибо в силу

(А.5)

11

Фг (X) = Дг_1 (х) + "У Ігс, sin kx.

Ä=*=I

Значит Фг (х)

имеет в (0, я)

более п+ 1 нулей.

Продолжая эти рассуждения, получаем, что ФгГ_2) (х)

имеет

в

(0, я) более п + 1

нулей. Функция

ФгГ_1) (х), которая

в интер­

вале

(0, я)

допускает представление

0Х +

П

Ф^_1) (х) --

У о.кsin kx,

А= 1

по

теореме

Ролля

имеет

в

(0, я)

более

п

нулей

и

еще

ф<г_]) (ті) = 0.

Значит, ФгГ) (х)

имеет в

(0, я)

более п

нулей

(с учетом их кратности).

Теперь замечаем, что

,

л-

л

fo cos kx = Рп(cos х ) ,

ф‘г) (х) = _

У

А== 1

где

Pn(z ) — некоторый

алгебраический

полином

степени

не

выше п. Введем обозначение

Т„(х) =ФгГ) (х). Очевидно,

2т.

Тп (х) dx =

J

— я.

(А.11)

о

корнем Тп {х)

s, то cos х0

Если х0е (0 , я) является

кратности

будет корнем

Pn (z)

той же

кратности. Это

следует из

соотно­

шения

Т(п }(х) =

( — sin х)к Р 1к)(cos х) +

^

ß/y- (х) Р п}){

(cos х),&

&= 0,

1, 2,...,

которое легко

проверить индукцией

по /г. Кроме

того, различным корням Х\ и х% из (0, я)

полинома

Тп(х)

соот­

ветствуют различные корни cos

и cos х2 полинома Р„(г).

Подводя

итоги сказанному,

заключаем,

что

Pn {z)

имеет

Tl {xs) = Вг (je*), s <е е [0 : п],

(А. 12)

где x s =

— корни функции cos(n+l)A:,

принадлежащие

T U x ) =

V f ß r ( x ;i)

f l

COS X— cos х„

COS X, — COS X„

fe=0\

v=0

Il

v

V

V ^

ft

Покажем, что T*n (x) является

полиномом

наилучшего

прибли­

жения, т. е., что для любого ТптНЦ

2п

2к

I’

IВг (л) — Т„ (.г) I dx >

I” IВг (л) — Т*п (x) I dx.

Ô

ö

Для этого заметим, что функция Фг( с \ х ) = Вг(х) — Т'п (х)

обращается

в нуль в п + \ точке

, s e [0 : /г], интер­

вала (0, я). В силу леммы А.2 других

корней в

(0, я)

Ф,-(с*, х)

не имеет;

более того, xs— простые корни. Отсюда следует, что

функция

Ф, (с*, х )sign cos{п+\)х

сохраняет

знак

в интер­

вале (0, я). Учитывая это, а также соотношение

(А'. 10), для лю-

П

бого четного тригонометрического полинома Q„ (л) = ^

сь cos ^х

получаем

k =о

J Вг

(I -■ Qn*

)X)( \dx^\

JВг ( х ) ~

V ckcoskx

X

k= о

X sign cos (л + 1) x d x

I*Br {x) sign cos (n + 1 ) xd x

Фг (c®, x) sign cos (n + 1) xdx

x) I dx —

= \i \Bt { x '\ - T 'n (x)\dx.

( A . 1 3 )

о

4*

83

лином порядка не выше п. Положим Qn {x) =

Тп ^

.

Поскольку Вг(х) и Qn(x) — четные функции, то в силу

(А. 13)

[ I Br (X) — Тп(х) I dx > f

\Br (X) — Q„(x) I dx =

Ô

0

= 2 1 1Вг (X) -

Q„ (X) I rfx >

2 f |-5r (X) - n

(x) [ û?x =

.0

ü

2-

2-

^

71

En (Br)t = J

) Br (x) — Tl (x) I dx = 2

j" I i?/(x) — Tl (x) ( rfx =

=

2 J Br (x)

sign cos {n -f- 1 ) x d x

о

2-

Br (x) sign cos (n +

1 ) xd x

J

Воспользуемся разложением функции sign cos{n+\)x в ряд

Фурье и равенством Парсеваля. Получим

2« Г

г оо

оо

Еп{Вг)і =

J

( - П 2

v =

0

) - х

ft= 1

X

cos (2v -|-1) (n +

1) x

dx

4

2

( -

1)”

*Kr

2Т+Т

(n+\y

(2v -I- 1У+1

{П+ 1Y

Y= 0

П

жения

Тп(х) =

^ CftS'inkx

определяется из условий

*= 1

Tl (xi)

=

Br (xi),

S E [1 :я],

где

t

= J T ] —

корни

функции

sin(?i+l)x, принадлежащие

л'і

и

тем, что

при

нечетном г

функция Ф,-(с,

x ) = ß , ( x ) —

П

не более іъ нулей

—

У cAsin/ex

имеет в

(0, л.)

с учетом их

k= 1

.

кратности. Полином

Тп (х)

можно записать в явном виде:

Тп W = V

COS X— COS x,

cos xk — cos xv

к= 1I

ѵ = 1

Vфk

2it

г-1

sin kx

4 "V sin (2v + 1) (n + 1) .у dx

( - 1)

^

k= l

kr

K V = 0

+ 1

4

_ V

____ !____ =

*/<r

(л + 1)г

(2V4- l)r+1

(n + l)r

Д Г~ К -іг ^ ^

“ д2г-і- 1

“Ь д 2г+ 1 ^

— д 2 г+ 3 < Д Г

^ 2 Г-Н 2’

ТО

1< Ко < к, < ... < 4 •

Таким образом, при всех натуральных г будет

\ < К Г< ^ - .

(А,14)

4.

Из теорем А.1

и А.2 могут быть получены важные след­

ствия.

Пусть

f ( x ) — г раз

непрерывно

дифференци­

Теорема А.З.

руемая 2л-периодическая функция, причем

'(' /(* ) ( C0SkX )d x = 0; A e [0: л].

(А.15)

Л

I sin kx J

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для произвольных Тп

и

Qn

из

Н тп

имеем

J \ g ( t )

- Q « ( 0 ] [K{x — t) — Tn{x — t ) ] d t

=

О

= /

(Je) -

j

Д (О

(■* -- t) dt — J Qn ( X

- t) K(t) dt +

O

0

2т:

Qn (■* -

t) Tn (i) dt = .f(x) -

Qn (je),

+

f

Cl

где Gn (x ) —; некоторый

тригонометрический

полином

порядка

не выше п. Беря в качестве Qn(x)

полином

наилучшего равно-

- мерного

приближения

функции

g(x) (в

силу

теоремы

2.1

£ „ ( / ) < I I / - On\\< £ „ (g ) J

IK(É) - т„(О Idt.

о

откуда и следует (А. 18). Теорема доказана.

- Следствие. Пусть f(x) — г раз

непрерывно дифференци­

руемая 2п-периодтеская функция. Тогда

е ,л л < - ^ Ѵ

Я"(/(Г))-

(АЛ9)

Действительно, в силу теорем А.1, А.2 и А.4

En i f ) = En [ f -

- f ) < 4 - En ( / (r)) En [Br)L =

En (/ w).

Заметим, что если дополнительно

f / ( 0

! ^C0S\ d t = 0,

/г е [/г + 1 : /г +

т\,

ТО ДЛЯ произвольных Qn^Bfn и Тп+те

//п+т будет

2ті

7\.+« (Je - O] dt =

4 - f [ / (r>(О- Qi« (О] [ £ f.(*- 0 -

О

= / ( JC) - 5 „ ( л ) ,

Е , Л Л <

Кг

(А.20)

(Л + 7И+ 1)г ^ ( / и ).

к и к

2 c ? \ x \ - s‘ ( v ^ i r <

$ = о

< 2

c * \ x \ n~k [ V ' ï ^ \ y

= [\x\ + Y l ? = \ ) n.

ft =

0

Лемма Б.2. Пусть Рп {х) — произвольный алгебраический по­

лином степени не выше п. Если

max

I P n (х) |

то для лю-

бого X,

IX I >

1,

Рп (х) I <

L I tn (X) I.

(Б.З)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим, что

для

некоторого

х,

I д:] > 1,

неравенство

(Б.З)

не

выполняется.

Заметим,

что

іп (х )Ф 0, поскольку все п корней полинома tn (x)

лежат внутри

( - U ) -

Имеем

L <

Рп (X)

(Б.4)

tn (х)

Введем в рассмотрение полином

R n(-О

Рп (И

tn (X) -

Рп (х)

t„(x)

ы

. ,

и найдем его значения в точках

х„

[О : и]:

: COS---

, Я

Rn(xk) = (-

1 у - Ѣ Щ

. - Р М .

tn (X)

имеет тот же знак, что и (—1)/г Р п ( х )

Таким образом, поли­

І„ (х)

от хп к хи+і и, следова­

ном Rn{x) меняет знак при переходе

РП(Х) =

Рп (X)

tn (■*) •

tn(x)

В частности Рп (1 ) =

Р" ^

что противоречит (Б.4).

п

і„(х)