Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Теорема 1.1. Справедлива асимптотическая формула*

4	. п	m
апіп II „2	ln	m + \ + 0 (1),

где 0(1) — величина, ограниченная по модулю абсолютной кон стантой . -

Д о к а з а т е л ь с т в о . Введем обозначения

m + 1

2 « + m 4 - 1

ГР

/ .

^ .

— f - = Р ,

Х 2------- =

\ Р > —

Г >

Тогда в силу (1.2)

ю ...\= J -

f l

siT + + 4 !l Pt±dt.

nm1

9^г

sin-

Учитывая, что

функция ----Ц------- — ограничена

на

отрезке

sin’ ^ r

[О, я] и

получаем

-g-,

Уо

d* +

0 (l) =

-+гб

0 ( i ).

2-Г

|sm_^sin£]rfa +

Однако

р - . .

s i n

и I

(■’ I s i n r u

s i n U I

I s i n r u

J + .

J 1

■ du

поэтому

r I s i n r u I s i n и 1

0(1).

—

------ w ------ d u +

теперь

тем, что

S in

ограни

Воспользуемся

функция —^ ------ —

чена на

[0, я ] . Это дает

( 1.8)

* С. М. Н и к о л ь с к и й [22].

Покажем, что при г ^ І

sin ru I

(1.9)

-------1 du

= —

n r +

0(1).

ТГ

Пусть ss^ r< s + l, где s ^ l . Тогда

S — 1

(v+ 1) 7E

sin ru \ d u =

> (

l )

sin ru

du + 0 { 1) =

v=0

s — l

sin ru

d u -\-0 { 1)=

sinrttX

SV=oJ о

S —

V7t

\d и -j- O (1 ).

Заметим, что

:s-a+ —

sin ru

f sin и

------ d u —

------ du.

sln ru

V7C

. du

^ v= l

V=1

и sin ru

u sin

и du.

V-

4 V=

vV== 1l

Теперь имеем

i Si2£ttJ_da =

_ £ _ jr

з1пг^

| +

( 1

) =

v =

= -^-lns I sin ^

O (1 ) =

-^-lns +

O (1) = -^-lnr +

O (1) ■

Соотношение (1.9) установлено.

Объединив (1.8) и (1.9), получим

4 .	п + т	+ 0 (1),
= ^5- lnr+ 0(1) = - г ІП	т 4 - 1	+ 0 (1),

что и требовалось доказать.

С л е д с т в и е . Для всякой функции f Œ С выполняется нера венство

II/-	(/) II <	’ 4	і „	я+.от + І	+ 0(1) Ял(/), (1.10)
		тез	ш	m + 1
где	Е п ( Л =			mï \ \ f ~ T n\\.
			т„^нт

Действительно, пусть Тп(х) — произвольный тригонометри ческий полином порядка не выше п. Тогда в силу (1.5) и (1.1)

II/ - °вт (/) И= Il I / ■- Тп] - °пт( / - Т„) II <

< ( 1 + | [ « Я« І І ) І І / - 7 ’Я||.

Значит,

I I / - «««(/) IK (1+11 «w II )£«(/)•

Остается воспользоваться теоремой 1.1. Утверждение доказано.

4. Теорема 1.2. Если 0^ п г ^ п , то

			inf	4 - 2г Ѵ л т( 0 - 7 \ Д / і И К 2 .				(1.11)
		ітп<=н\		ô
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Прежде всего заметим, что
		1	п+гп			V	m-fl —k COS ( Я + k) t.
Ѵ п М =		1	2 Dk (t) = Dn (і) +			V	m-fl —k COS ( Я + k) t.
	m +		1			k = 1	m 4- 1
						k = 1
Положим					ni
	T*{t) = Da (t) -				ni		C0S (л ~
	T*{t) = Da (t) -				2 "lm + ~ k		C0S (л ~	*)■L
					k ==0
Тогда в силу		(1.3)					11
Vnm(<0 — T\ (t) = COS Ht + 2 COS						m	11	b
Vnm(<0 — T\ (t) = COS Ht + 2 COS						2	Ш ~m	C0S kt =
						* =1
= 2 COS /Z^			+	2	k	C0S	\ = 2 cos ntVom (0-

Учитывая, что Ѵ0т {() > 0 и J Ѵ0т (t) dt = я,	получаем
о
2-
о
откуда и следует (1.11). Теорема доказана.
С л е д с т в и е . Справедливо неравенство
£ „ К » ( / ) ) < 2 Я я (/),	( 1. 12)

Это утверждение легко выводится из (1.1) и теорем А.4 1.2:

§ 2. Существование полинома наилучшего совместного приближения

1.Через СМ будем обозначать, как и раньше, класс 2я-пе-

риодических функций,	имеющих на		(— о о , непрерывнуюо о )
/--ю производную.
Для произвольной функции / (= СМ положим
Znr(f)	inf	max	Еа ( / W)
	Tn =Hl «е[0:г]		Еа ( / W)
	Tn =Hl «е[0:г]
где n — целое неотрицательное число и
£„(?)= .inf		II ?	тпII.

Предполагается, что En (f)>0. В этом случае, как будет по

казано-ниже, En(f^) > 0 при всех s e [0 : г].

м у

Тригонометрический полином Тп<=Нп, для которого

	max	$ n r U ) ,
	JE=\|0 : г]
		Е п ( f ( s ) )

называется полиномом наилучшего совместного приближения функции f и всех ее производных до r-го порядка включительно, или полиномом наилучшего совместного приближения.

Нашей ближайшей целью является доказательство суще ствования полинома наилучшего совместного приближения.

2. Введем обозначение

■4"'=TJT T •£= о,+1, ±2,...

Лемма 2.1. Для		всякого	полинома	TnŒHJ,	справедливо
представление
		О
Тп W	=	ШГ+ \ 2	Т« ( ^ Я))	\ Х - ^ Я)).	(2.1)
		й= 0
где Dn{u) — ядро Дирихле.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Заметим прежде всего, что
	f п + -4г,		если k = О,
А ,( * П	=	2	k — + 1,	+ 2,..., +	2/г.
	(	0, если	k — + 1,	+ 2,..., +	2/г.

Выражение, стоящее в правой части равенства (2.1), явля ется тригонометрическим полиномом порядка не выше п. Обо значим его через Qn(x). Тогда для всех t e [0:2п] будем иметь

92"

Q.И"> ) = 5ÏTT 1 Т° К "1) о , Н 5.) = Т„ (*'/')).

				k=0
В силу леммы Д.1 отсюда следует
			Тп (•*) —Q„ W					= 0,
что равносильно			(2.1). Лемма доказана.
С л е д с т в и е . Пусть				{Тпі},		г=1,		2...... — последовательность
тригонометрических полиномов порядка не выше п.
Если при і-э - оо
				т „ Л о п,
где Q„ Œ. Н п,т		то при любом натуральном s
				7 - М		С	s-,(s)	•
				*	ni	—> Ѵл		•
Лемма	2.2.		Если	последовательность					полиномов		{ГПг},
г = 1, 2,...,	принадлежащих Н І,						равномерно по г			ограничена,
				IIT’J K M				,
то найдутся такая подпоследовательность индексов										{ір}	и такой
полином Qn е		Н тп, что при р				оо
				Т ■ - £ о
Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу							(2.1)
			9		2л		'
	^	W			2	Т ш №		°п	- 4 Я))-
					£= 0

Поскольку		числовые последовательности						[Tnl ( 4 П))} при	всех
/г е	[0 :2/г]	ограничены,		то	найдутся		подпоследовательность
индексов {ір} и числа ао, аи ...,						аоп такие, что
			тпір[*1к )) —+■ak,				[0:2/?.].
			4	' p-t-OO
Положим
				9	2n			4'°).
			Qn (■*) = 2^ r y		21 ab°n (X -			4'°).
					А = 0
		T	C
Тогда QnSZ/л			и T„i ~^>Qn прир-^оо.
	Лемма доказана.
	Теорема 2.1. Для любой функции tp е С							существует полином
Г д е //л , для которого
			К® — Гд\|\| = £„(?).
	Полином	Т'п	называется полиномом наилучшего приближе
ния функции ф.				По	определению			£ п(ф) найдется	та
кая	Д о к а з а т е л ь с т в о .			По	определению			£ п(ф) найдется	та
кая	последовательность			тригонометрических полиномов {7\»}
из	что
			II ?	Тпі Ц		> Еп(ср).		‘	(2.2)'
					І —)- со

Очевидно, последовательность {Г„і} равномерно по і ограни чена. В силу леммы 2.2 существует сходящаяся подпоследо вательность последовательности {Тпі}

Поскольку J) ср — Тпір || -—* I) ср — Г* ||, то, учитывая (2.2), получаем

Лср — Г„ II = Еп(ср). Теорема доказана.
С л е д с т в и е .	Пусть f <= СН Если En(f)>0, то	En(f(s))> 0
при всех s е [0 : г].		некотором
Действительно,	допустим, что En {f(s))— 0 при

s e [l : г]. Обозначив через Qn^Efn полином иаилучшего при ближения функции /<*>, будем иметь

ll/<i,-Q*«\|\| = £ « ( / (i)) =	o>
так что fW{x) =Q n (х). По теореме АЛ'
1	'
f i x ) = -ÿ-+ V- J Q» (* - о ^ (о л .
0
3 В. Н. Малоземов	65

Значит, f Œ Н гп иEn (f) =0,	что противоречит	предположению.
Утверждение доказано.
3. Теорема 2.2. Пусть	и En(f)>0.	Тогда при любом

целом неотрицательном п существует полином наилучшего совместного приближения функции f и всех ее производных до г-го порядка включительно.

Д о к а з а т е л ь с т в о . По определению Snr(f) найдется по следовательность полиномов {Тпі}, і'=1, 2,..., принадлежащих

Н тп, такая, что

шах	І-*-оо #„,(/)■	(2.3)
s 1= [0 : г] Еп	І-*-оо #„,(/)■

Из (2.3), в частности, следует, что последовательность {Тпі} равномерно по і ограничена: На основании леммы 2.2 заключаем, что существует сходящаяся подпоследовательность последовательности {Г,,,-}

ТШр

причем в силу следствия из леммы 2.1 для всех s e [ 0 : г]

	‘ГІЛ	__	'pis)
	* ni		■п .
	P
Теперь имеем
I A s ) __-г(s)				f(S) _ T(s)
\J	ni			f(S) _ T(s)
max			max
,se\|0:rl En (/^)		p->-oos<=10:r) En (/^*)
С учетом (2.3) получаем
	]/(*)— умГ
max		,		= &nrLf),
je[0:r]	£n(/())

так что Tn(x) является полиномом наилучшего совместного приближения.

Теорема доказана. 4. Положим

&пг= sup &пг(Л

(по определению <§„,.(/) = 1, если f е Нтп),

и пусть p = min{n, г}. В § 4 будет показано, что при /?->-оо

&пг = InР + О (ln ln ln/?).

§ 3.	Оценка величины	<g nr(f). Некоторые следствия
1.	Основным аппаратом для получения результатов этого
пункта являются суммы Валле-Пуссена			(см. § 1).	полином наи
Лемма 3.1. Пусть Tnm(x)—Tn (onm(f); х ) есть
лучшего	приближения порядна п		суммы	Валле-Пуссена
onm(f; х),	составленной для функции, f Œ ОТ. Тогда при m = ^ j
справедливо неравенство *
	Il A s ) _ T (s). [I
	4 Г . Г М + )	< ? ' " ^ + 1) + O «),			(3.1)

где p = min (я, г) и 0 (1) — величина, ограниченная по модулю абсолютной константой.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Заметим, во-первых, что в силу (1.6) при всех s e [0 : г]

Значит,
						olsU f ) - T < % II.	(3.2)
Учитывая	(1.10), записываем
		(S)\	<	4 ..	11 + m -г î	0(1)'	(3.3)
HZ'	( /	(S)\	<	—г ln-------г-.----		0(1)'	(3.3)
HZ'	( /			л2	m + 1

Далее, разность önm(f) — Tnm является тригонометрическим по линомом порядка не выше п+т, поэтому в силу (Д.9)

II а«! ( / ) - Т%г II < (Я + /Я Л І °ят ( / ) - Т „ т |і =

= (n +m)sE„(aem(f)).

Воспользуемся теперь, неравенствами (1.12), (А.19) и (А14). Это дает

II (/) - T il II < 2 (я + т)*Еа( /) <

< 2 К	п -f т	п + т		(3.4)
< 2 К	« + 1.	, п + 1
Подставляя (3.3)	и (3.4) в (3.2), получаем
ІІ/М	п + т + 1	0 ( 1 ) + '	п + т	E n k f (*)]
ІІ/М	т ~г I	0 ( 1 ) + '	1Г+Т	E n k f (*)]
* А. Л. Г а р к а в и [4, 5]. Менее		точный результат был		получен Ципце-
ром и Фрейдом [36].

Il / (,) - T™ II < |4 - Ш (п + 1 ) + О (1 ) + *}Еа{ f (s)) =

= { 4 і п ( / ? + 1 ) + 0 ( 1 ) ) я Л / И).

Если же г ^ п , то

\|\|/ (,г>— 7 '^ [\|< \|- ^ - ^ п \|				■+ n	+ 0(i) + «l			п + 1	X
\|\|/ (,г>— 7 '^ [\|< \|- ^ - ^ п \|				I * I	I		1 "V	п + 1
X Еп( / (i)) <	4	. , ,	іч	Л /ІЧ	,	Л ,	I V	( / (i)) =
X Еп( / (i)) <		In (r +	1) +	0 (1) +		* (l +	-jrj	( / (i)) =

= ( ^ 1 п ( р + 1 ) + 0 ( 1 ) |£ ’Л / М).

Таким образом, при всех s e [ 0 : r ]

■ | | / w - rJÄ II < { 4 - in (р + 1 ) + О (i)} £ Л / W).

откуда и следует (3.1). Лемма доказана.

Теорема 3.1. Для любой функции { œ CW справедливо нера венство

%nr{ f ) < A r ^ { p - { - \ ) + 0 { 1),

где р = тіп{п, /•} и 0(1) — величина, ограниченная по модулю абсолютной константой.

Достаточно сослаться на определение <g«r(f) и лемму 3.1. 2. Из теоремы 3.1 могут быть выведены важные следствия.

Теорема 3.2. Пусть f œ CT) и Тп — произвольный тригономет рический полином порядка не выше іі. Тогда *

\|І /(Г) - 7	I] < nr I I / -	ТпИ+ <Г„г ( /)	\пГЕп( / ) + £ „ ( /	(Г))І <
<	nr \ \ f - TJ	+ fl + - f ) %nr(f) E n{ f r))-		(3.5)
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Обозначим	через TnrŒ.Hh	полином

наилучшего совместного приближения функции f и всех ее гіро-

* А. Л. Г а р к а в и [4, 5]. Менее точный результат был получен ранее Фрейдом [38].

изводиых до т-го порядка включительно (в силу теоремы 2.2 такой полином существует). Для всех s <= [0 : г] имеем

	\| \| / (i)- ^ i < ^ ( / ) £ «	( / W).	(3.6)
Пользуясь (3.6)	и (Д.9), получаем
II/<г) - т Р II < \| \| / г)- Г Й? I +		ИТ%} -	Т (пг) И<
<	8пг (f ) E n{ f r)) + >iTII T „г- T n \ \ <

< %„г ( Л Eni f r)) + H'r \%nr{f)EnU)Jr \ \ f - T n\\] =

= «r I I / - TnII + <^яг ( / ) \ѣтЕп(/ ) + Еп (/ (г))}.

Тем самым установлено первое неравенство в (3.5). Второе не равенство следует теперь из (Ä.19) и (А.14). Теорема доказана.

С л е д с т в и е . Пусть feCM. Если последовательность поли номов {7\,} такова, что

	\ \ f - T n\\<AEn{ f ),
то
II / (г) -	7ІГ) II <	(і + - ^ ) { ( / ) + Л }£„ (/ (г)).	(3.7)
Д о к а з а т е л ь с т в о		очевидно.
На основании	(3.7) и теоремы 3.1 делаем следующий вывод:
если последовательность тригонометрических полиномов			{7/}

доставляет для функции f œ СМ приближение порядка наилуч

шего, то и {7'|,г)} доставляет для /М также приближение порядка наилучшего.

Отметим, что обратное утверждение не имеет места.

Для любого натурального г, любой функции f е СМ и произ вольной последовательности положительных чисел {am} можно указать последовательность тригонометрических полиномов {Qn}, удовлетворяющую условию

Ь " - 0 . П < А г Е п{ ^ 1

где А г зависит только от г, и такую, что при всех п = 0, 1, 2,...

будет

II/— Q J	> < V
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть	Т \ — полином наилучшего

приближения порядка п функции f,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ