книги из ГПНТБ / Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим N - г + 2 -f 1. В

этом

случае полином QJV,-(f; я)

имеет степень не большую, чем п

(см.

ремы 4.1 при всех s е

[0 : г]

и х е

[—1,1]

I/W {х) _

{х) I < Л Г ут^-д»

, 1

у

X

N

/V2

ч/ ... I

f(r).

Л

л2

I

1

(4.10)

w------Ндпг

Заметим, что при п ^ г

1 < ( 2 г + 2 ) - і -

(4.11)

N

Действительно,

если п е [г : 2r+ 1],

то

1 = 1 < ( 2 / - + 2 ) і .

N

Пусть п ^ 2 г + 2. Тогда

N

п

1 . г + 2 1

< ( 2 г + 2 ) — .

+ 1 ^ 7 “ г

п

^ '

'

' п

г-1-2

Неравенство (4.11) установлено. Из (4.10) и (4.11) следует,

что

| / (s) (л) -

(X) [ <

(2г +

2 f +-2А, (р

^

~

+

^ ) Г~ S X

х И

Hr).

V l - x *

,

J _

Л

п

'

п-

Теорема доказана.

С л е д с т в и е . Справедливо неравенство *

2r+iA' J / r ) . _ L

l / W (*) -

(*) 1<

a ö e s e [ 0 : r ] ,

х е

[ —1,1]

и

г.

[—1, 1] будет **

3 а м е ч а н и е. Покажем, что при п ^ г и х е

^

+1)( я ') |< Я « 2“ ( / м ;

(4.12)

*

Д ж е к с о н

[40, 41], случай s = 0 ; С е г ё [42], случай s = l ;

А. О. Г е л ь ф о н д

[8], общий случай.

**

P. М. Т ри г у б [32].

Q'vr+I) ( / ;

X)

= 2

(ф &; х ) = Лѵ! ( / (г);

Л') +

Ä = 0

+ 2 PN, Æ+X(Фа; .я).

(4.13)

)

А= 1

На основании леммы 1.5.

P'N I ( / (г>;

х ) I <

АЪМ

( / (г);

8,ѵ(х)), х е (-1,1).

Ѵ і

—

JC2

Учитывая,

что

PN і ( / м; х)

является алгебраическим

полино­

мом степени не выше, чем 2N, в силу леммы 3.1 получаем

I А Д / А

х ^ в Л ^ л Л ^ / И

. А -j.

(4.14)

Возьмем теперь

А е [ 1 : г ] .

Поскольку

f ф* (X) I = I [Е -

Рт ) (Ф*_і; х) I < А А А

(X) со ( / (г);

8дг (X )),

то на основании леммы 4.2

А'А-ко(/ <г);

oN(х)).

IP$k+і (Ф*;

Je)!

Полином

А * ГА

(®s; х)

имеет

степень,

не

превышающую

(k + 2)N. Учитывая леммы 3:3 и 3.1, получаем

(*+1)

А Ч

(k + 2)4М о ( f \

У2

(4.15)

I РN,

й+1 (Фа; л ) I < 4 J) 4 А

Объединим

(4.13) —(4.15).

Это

даст

|Q!VA ( / ;

х ) | < л А Ѵ 2ш ( / м ; ± у

(4.16)

Поскольку

дп (х) =Qntr{f',

х)

при N

—

+

1,

то

в

силу

(4.16)

и (4.11)

А

/ А

±

Утверждение доказано.

4.

Из теоремы 4.2 легко следует

имеет на отрезке

[—1,1]

Теорема 4.3. Пусть

функция f(x)

непрерывную производную г-го

порядка и

{рп {х\ } — последо--

\ f (s) (X) - р{,? (X) I < | / (*>(X) -

qV (X) I +

+ I

{x) — Pa) {X) I.

(4.17)

Учитывая (4.17), (4.18)

и теорему 4.2,.получаем

I f (s) (x) - p{ns) (x) I <

[К + (1 + А*) Ar] K~s (x) ш( / (r);

8„ (x)).

Теорема доказана.

5.

Теорема 4.2 без труда может быть распространена на тот

случай,

когда

вместо

[—1, 1]

рассматривается

произвольный

конечный отрезок [а, b].

имеющей на отрезке

Теорема 4.4. Для всякой функции f{x),

[a, b] непрерывную r-ю производную, и

любого

натурального

ѣ ^ г найдется такой алгебраический полином gn(x)

степени не

выше п, что при всех s e [ 0 : r ]

и x œ [a, b]

будет

I / И (X ) -

gl->(x) I< д;(Ѵѵ>- Tа--

°L

+

А

=

± р X

F { t ) = f [ a + ^ - { t + 1)),

* е [ - 1 ,1 ] .

В силу теоремы 4.2 найдется

полином qn е Нп такой, что при

всех s e [0 : г] и 1 е [—1,1]

>

м ( ^ ) - ^ ) ( 0 І < ^ Х “ 5(7)ш(Д(г); 8Л(0).

(4.19)

Зафиксируем

X œ [Ü, b], и

пусть

2

■{x —а).

t — — 1 + ~qj _

f

is) (о

=

(je),

2 /

(Ä — x) (jt — a)

л b — a

S, (O = T — a \

n

' 2n?

(/*>;

8) =

» (/'> ;

E = i s ) ,

то в силу

(4.19)

I/^ (*) - ?«} (*)I= /6_aV / W (JC) — 4n ( - 1 +

ÏZ T jX

X (л — a)

(J)

+ ш Д ~ ' х

< л ; (

X » ( / ', ;

) + j g L )

Полагая

g-,, (ж) = qn

1 +

і Д

а (x ~~ a) )>

получаем

требуемое.

Теорема доказана.

й)

( / і - *

/

(Г ).

ѴТ-

(5.1)

І / (і) (■*) - Sn ( * ) 1 < Л

Константа Атзависит только от г.

Эта теорема усиливает теорему 4.2.

опишем

построение

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Прежде всего

gn(x). По теореме 4.2 найдется такой полином

е Яп, что

If is) {x)-qF C*)l<^'• Гѵ,Х

і

+ і і

x

х » ( ^ П

= * + Л

_ },

(5.2)

* И. Е. Г о п е н г а у з [10,

11].

С. А. Т е л я к о в с к и й

[27],

случай s = 0 .

причем

^ + i > ( * ) |< V 2m( / <0; дг)-

(5-3)

Здесь s e

[0:r],

х е

[-1 ,1 ]

и п > г ,

Обозначим через

G2,-H M

алгебраический

полином

степени

не выше 2г + 1, для которого

0£Ѵі(±1)

= / W( ± l ) - ? (ni)( ± l ) , s e [ 0 : r ] .

(5.4)

Как известно

(см. Дополнение

В),- G2r+\(x) можно

предста­

вить в виде

Озг+і (х) =

2

(1 -

*2У W + i ( - 1 )a,j (х) + Giï+i (1) Ьту■(*)},

/ = о

где а,-j (х)

и

b,-j{x)

— некоторые

полиномы

степени

не выше

2(г —/) + 1.

_

_g

Положим N =

. В силу следствия из теоремы Б.2

для любого / е [0 : г] найдется

Œ # JV такой, что

I (1 _

X2)J _

(1 _

Л'2)

- ^ .

(1 - Л'2) |<

І у , Г + І — /

(5.5)

Введем обозначение

N2j.'

g (*) =

2

{(1 - ■**)' “ (! - *8)r+1/?*y a - *2)} X

y =°

^

X {C?î/+i(— 1) arJ (X) + Gttli (1 ) brj (X) }.

Функция g{x)

является

алгебраическим полиномом, степень

которого

не

превосходит

2r+2+2N + 2r+ 1 = 2 Я + 4 г+ 3 ^/г.

Поэтому

будем

писать g(x) =gn(x). Искомый полином gn(x)

определим следующим образом:

=

+

(5-б)

.Покажем, что для gn(x) выполняются неравенства

(5.1).

Лемма 5.1. При п ^ 4 г + 5, s e

[0:г]

и ж = [ —1,1] имеют

место соотношения

+ і ) ' -

г x

I/и <*> - gP <*)I< А ? [ Щ

Х

X » ( / w; Х І Е Х +

-L) ,

(5.7)

- | г Г ' > М | < 4 ' Ѵ « ( / м ; ^ ) ,

(5.8)

/ (") ( ± 1 ) - ^ ’ ( ± 1 )

=

0.

(5.9)

Константа АТЬ) зависит только от г.

,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Прежде всего

заметим,

что при

/г^4г + 5

1 < ( 4 г + 7 ) і .

(5.10)

N

Действительно, если я е

[4г + 5 : 4г + 6], то

1 = l < ( 4 r + 7)-J-.

N

Пусть n^zAr+7. Тогда

1

п

1

<

—

< (4г + 7) —

N

п — 4г — 3'

п

^ _ 4г + 5

п

Неравенство (5.10) установлено.

Теперь в силу определения gn {x),

(5.5),

(5.4), (5.2)

и (5.10)

имеем

iI,м

I< Л» ±

»(/«; 4 )< 4 ”

+ 4г)'х

х е

Воспользуемся теоремой 3.1. Это даст для

всех s е

[0 : г] и

[—1,1]

гМ (X) < А Л » І Я = * + ± Г

X

Хсо

/'>• У Т= *

+ ± ,

’

(5.11)

Л

\J

п

’ ~ п2)

гГ+,,М І<л,4Ѵ»(/и; 4).

(5.12)

Объединяя (5.3) и (5.12), получаем (5.8). Неравенство (5.7)

следует из (5.6),

(5.2)

и

(5.11).' Осталось

заметить,

что при

s e

[0 : г]

f s ) ( ± 1)

-

g ,P(

( ±

1 ) =

;(■?)

As)

Огг+і ( ± 1) -

g if' ( ± 1)

_ЁІ (1 -

x 2)r+1 2

^V;(l

-

X2) \Q ii\ ! ( - \ ) a rj(x) +

dxs

7 = 0

+ G ^ . I ( 1 ) ^ W |

= 0.

Л‘ = ± 1

S n (/;

X) = 4 - 1 f ( t ) Dn ( х - t) dt =

= 4-

2/î + l {x — t)

■dt ,

2 sin x — t

где Dn{u) — — +

^

cosk a — ядро Дирихле.

c«m( /; X) = — T f 2

•*) (Л>0, га>0) .

k =

п

= 4- f Я * - о v n,n (t) dt,

' (1.1)

г д е V nm ( и ) =

2 D k ( « ) •