книги из ГПНТБ / Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных

I P n{k) (*)| =

P 'ft+1) (г) dz +

Q ^O )

< А [к\

1 -

1 \k

2/i-

2пй

Аналогично показывается, что

и в общем случае

(3.16)

где s = l, 2,..., k

и 1— 2^г < ; | л | < ; і . Воспользуемся

неравен­

ством (3.16) при s = k. Это дает

\Рп{ х ) \ К А ? 1

М

<

„2Й Ш п

< а Р

( П ^ + 2 г) \ ( Ѵ Ш

2 +

•

(3.17)

/г2

i ‘„i.'t)

< i

V ' - *

+ ±

, 1

~ h ------

1

п

~ /г2

§ 4. Обобщение теоремы А. Ф. Тимана

1.

В § 1 был введен оператор ЯЛ,Ѵ( /;

л), ставящий в соот

ветствие непрерывном на отрезке

[—1, 1]

функции f(x)

алгеб­

раический полином степени не выше (ѵ+ 1 ) (N — 1). Полиномы

Pjsnif) х)

использовались для аппроксимации f{x).

[—1, 1]

Допустим теперь, что функция f(x)

имеет на отрезке

непрерывную r-ю производную, и построим

полиномы, прибли­

жающие эту функцию вместе

со

всеми

ее

производными

до

г-го порядка включительно. Для этого положим

QN‘r ( / ) = / -

[Е - PNt, + О ( Ï Ï

/ (£ -

Р„' , _ ,)) ( / (г)) =

=

/ ~ {Е - Р„,г +1) [I[Е -

PNr))

[Е- / Р„,г.г)]

■ •

•

. . . [ / ( Д - Р л м ) ] ( / (г)),

где Е —-тождественный

оператор

и

I — оператор интегри­

рования:

/(/;'*)=

Jf V ) d t .

—1

Лемма 4.1. Функция

Q^r (Î: х) является алгебраическим по­

линомом степени не выше (/'+2) (N — 1) +г.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Введем обозначения

Фо = / <г);

Ф* =

1{Е -

Pm) (Ф*-.),

ke=[l:r[.

В этом случае

/ -

Q«, ( / ) =

(£ -

Дѵ,, +,) (®,) =

/ {в -

РЯг) (« ,.,) -

І

г - ‘ р л, (+1(Ф ,)-

N

1

Y (YÏ - X-

*

., (4..5)

1

N2)

ШV /V

^ N2

Константа

зависит только от v.

sin-Nt

\ 2ѵн';4

^ д 7, ѵ+ 1

( г )

—

\

ч+і №) d t —

ѴЛГ, ѵ+ 1 ]

У дг gin

dt<C

Г2ѵ+4

JVM2V+4

sin ■

2v-f- 4

sin

_2ѵ+4

< 7ÏÏT

ІѴ

/W2-J

d t <

ûl/г.

л

ѵ + 1

Теперь имеем

Ліг

дг-2ѵ+ 4

.

.

Ж

±

У )< ~~77П 5Л; (•*) “ (8Л' (Л)) X

л(1)

Уіѵ-ЬІ

2ѵ4- 4

X

)

(Л& +

1)ѵ(Л/г +

2)|

[ [ sinj T j

dujdz<s£

\Л7г

4ѵ+4

“ /

„

\ 2ѵ+ 4

* М

М

- * 0 )

(/ +

1)ѵ(^+ 2)

sin-

dudt,

< ^ 8 Ж

J

Л+1

J

00

. 2ѵ+4

sin ■

:з-2ч

sin- iL \2v+4

1

(t + l)v (t + 2) dt.

— )

du +

2v + 3

2v+3

Неравенство

(4.6), а вместе с ним и

(4.4), доказано.

в силу

Переходя

к

оценке

P'N

г ( /; х),

замечаем, что

(1.11), леммы

1.3 и (1.9) для X œ (—1,1)

P'N . ѵ+1 ( /; *)■ = у —

j

f

(cos (14- y)) sm (t + y) X

X UNt v +1 (t) dt = y - L ^ - j

[ f

(cos (t + y)) sin {t +

y) —

IPN,ѵ+

(/; х) I

N

sÄ ' W ® ( V W ) x

і

VT-

N z

Лі+І

(А^г-f l)v(/Vz + 2)

Sill -

dz-Y

X

TN, V+I

(:hf sin -

<

N

,

,

n

2v+4

Y \ —Jta

8 * ( X )

со (8д, ( X ) )

л(1)

\

( и +

1 r

( « +

2 ) X

лѵ+1

(i

\ 2 v + 4

Sill -

du = A™ ■

N

=•8ЛГ(■*) tu(8yv (x)).

X

/ I

— л2

Полином P'N V+1 (/ ;

x)

имеет, очевидно,

степень, не превышаю­

щую (v+ 2)N=n.

Обозначим

его

через

Gn (x).

Поскольку

àN(x) ^

(v-I-2) 2ôn {x), то

| G , , ( x ) | <

, 4 < 3 ) ( v

- f 2

f

+1

Y î —x2 K (x) CO(8n (x)).

Воспользовавшись леммой 3.4, для х е [—1, 1] получим

I Gn (x) I <

A<2)A<3) (V +

2)2ч+і8Г1(X ) ш(8„ (х)).

В силу

теоремы

3.1 при

s e [ l : v

— 1]

IGis) (x) I <

A

, _ Ä

3) (V +

2)2ѵ+і8Г1_" (X ) со (8„ (x)).

Из последних двух неравенств следует требуемое:

I Я#ѵ+1 ( /; x) I <

Ä

" S (x) ш(о,j

(x)) <

all% 7s (x) o>(М * )),

где s e [ l : v ]

и

X œ

[ —1,1].

Лемма доказана.

Напомним определение функций Ф/4:

' Ф 0 = / ( г ) ;

Ф к = / [ Е - Р т ) [ Ф „ - 1 ) , £ е = [ 1 : г ] .

Лемма 4.3. Если /(х) ішеет на отрезке [—1, 1] непрерывную

r-ю производную, то для всех ѵ е [ 0 : г ]

а х е

[—1,1] будет

ds

( £ - ^ . , +і)(ф,; x)

<

Ä

T

( х )

со ( / < г); S/v ( x ) ) ,

( 4 . 7 )

dxs

где s e

[0 : ч],

(x) =

^

+

—

и

а*2)

— константа,

зави­

Д о к а з а т е л ь с т в о проведем индукцией

по ѵ.

Пусть ѵ = 0. В этом случае неравенство (4.7)

следует из тео­

ремы 1.2, если учесть, что Ф0(х) =/<г>(х).

I ед (X) | = | [ Е - Рт

) (Ф*_і;

х) I < a£LФ ^\(х) <о ( / (г); 8Лг (х) ) .

Значит, в силу леммы 4.2

I

PN,f t + i ) ( ® ê ; х) I

а*1'

( ;с ) ш

8 д - ( х ) ) ( 4 . 8 )

и при

s œ [1 : k]

I Р/ѵ,к+ 1 (Ф/Ц

х) I а

au - i ^ N

s (х) ш ( / м ;

8д- ( ^ ) ) .

rfS~1

dxs

X)

dx

+

I

(Ф*; х) I

(ßft-i +

Syv 5 (х)

X

X o ) ( / (r); 8JV(JC)).

(4.9)

Объединив (4.8) и (4.9), получим требуемое.

Лемма доказана.

тео рем ы . В силу (4.1)

Д о к а з а т е л ь с т в о

f

s) (X) -

(S)

X)

Px,r + i) (®i4

XY

Qffl ( / ;

dx*

Остается воспользоваться неравенством

(4.7) при v = r.

Теорема доказана.

3.

Более удобна для приложений другая форма теоремы 4.1.

Теорема 4.2. Для всякой функции f{x), имеющей на отрезке

[—1,1] непрерывную r-ю производную,

и любого натурального

п ^ г найдется такой алгебраический полином qn(x)

степени не

выше п, что при всех s е

[0 : г] и х Œ [—1,1]

будет *

l / W(х)-Цп}( *

) |< Л

Гг Г

Г

1ПТ-

^ /г-1