книги из ГПНТБ / Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных

браический полином Gn е

Я „ , ч т о для всех Ï

E

[ —1, 1]

|/(А-) -

Gn ( X ) I <

47Цсо (/;

.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно

положить Gn (х) = PN 1(f; х),

где іѴ :

1,

и воспользоваться теоремой 1.2.

4.

Последнее утверждение может быть

усилено. А имен

справедлива

Теорема 1.3. Для каждой непрерывной на отрезке [—1,1]

функции f(x) и любого натурального п найдется

такой алгеб­

раический

полином gn(x)

степени

не

выше п,

что для всех

X 6= [ —1,

1 ]

будет *

l

/

w

Л»

(/;

а

д

,

(U 2)

где А3— абсолютная константа.

Предварительно докажем одну лемму.

Лемма

\ А. Если

] / 1 —

H J C > 0 , т о **

IЛ ѵ, < /; * ) -

А , , ( / ;

1) I<

А " ( / ;,

* И. Е. Г о п е н г а у з

[10], С. А. Т ел я к о в с к и й [27]. Дальнейшее

обобщение этой теоремы получено в [2].

** В. Н. М а л о з е м о в

[19].

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Установим,

например, первое

неравен­

ство. Положим у = arccos X'. Так

как

,ѵ>0, то уе^О ,

-^г) > по­

этому

2

cos2

>

1.

(1.13)

Кроме того, по условию

sin у <

(1.14)

Имеем

IPNl U- , x) — PNi (f\

І)| =

J [/(cos(* +

y )) - /(c o s * )] X

X Um ( t ) i t <

f

“

sin ( t +

sin ~

UN1(t) dt.

(5

Теперь замечаем, что в силу (1.13) и (1.14)

sin ( t + -£-) sin ~

<

Jsin £ sin у I +

2 sin2 У <

< \ t J sin у -f

sin2 у <

sin у

~ w ~ ( W l

+

D ,

rAf) = f —pNi( Л ;

L х)( / ;= - ^ 4 ^ / ( 1 ) + /-( ^- Di

= Лѵі ( /) +

L (/•„ (/)).

По построению

f - g n

= rn{ f ) - L ( r n(f)).

Докажем, что

для полинома gn е Явыполняется неравен­

ство (1.12).

I

/

W

-

£

„

(

*

)

!

+

4

± г п (А - 1 )

+ А-ш (л 9 < ЗЛ2Ш(^ Tv

<

( V I - #

6ЛзШ \ — п

Пусть

теперь V \ —х 2< -j~-.

Для

определенности

будем

счи­

тать, что JC> 0. Имеем

I

/

Sn (

W

) I *=

[ra(/; - X) -

rn(/;

1)] +

X

X

\rn (/;

1 ) - / • „ ( / ;

-1 )]

< ! / ( • * ) - / 0 ) 1

+

+ 1Л ѵі ( / ; * ) - Л ѵі ( / ; 1 ) I + Л (1 - X) со

l

.

В силу леммы 1.4

\pNAf>x) ~ pm(f>

1

) | <

A

V i —#

■4Ш1— ÂÂ

Далее

J

/

W

-

/

<

(

i

< )0

(

К

Наконец, в силу (Г.5)

( 1

c o ( i )

< (1 -Л -2) О) ( i ) <

А

ш (1 _

Л2) <

2

с о

( ^

^ ) .

Объединяя

четыре

последние

неравенства и

учитывая,

что

д г < — , получаем

!

/

(

*

)

-

А2£) ш

„

(

■

*

)

Теорема доказана.

5.

В заключение этого параграфа будет установлена

Лемма 1.5. Для

Ï Ë

(—1,

1)

выполняется

неравенство*

IД ѵ і(/;

АьN

УТ — xs

Jc)|< ,V\ —x*

/ ;

N

Лѵі (/;

х)

=

г

1

Г /

(cos t) UNI U — arccos x) dt

У

1— x-

J

Полагая

здесь

ÿ = arccos.t

и

учитывая, что

функция U m’ (z)

является нечетной, получаем

P ’N \ (/;

х) = у - і —=-

f [/(cos (J + y)) - / ( c o s

(z1- y ) ) ] u'Ni{t)dt.

Отсюда

"

x

0

PNI (/;

JC) I<

1

0) ( 2 s in

S in y ) I £ /v i ( 0 I

/1 — Л2 J

r

f

0

<

Уі —

(VT.

I 4

Г

d /

sin —

i

<

/V— 1

(1.15)

dt

.

/V sin - y

Действительно, поскольку

1

.

2k + 1

+

COS t +

. . . +

cos k t

sin--- —

—

— ------------ J -

2sin-4-

t

.

3t .

.

2k — 1

,

-

sin kt

COS —R

j- COS —R—

COS---- ^-----t

=

---------- -

2 Sin —

то при нечетном N = 2k + 1 будет

. 2k +

1

,

d l sin~ т ~ і

_2_

d (Ц- +

cos t

4 - ... + cos kt <

dt 1

t

N

dt

2

N sin - g-

< 4 ( l + 2 + ...+^)=^(Æ+ 1)

4N

N

"!2 B. H. Малоземов

33

_d_ 1 sin kt

_2_ d t

t

,

Zt

2k — 1

,

dt

N

ICOS

г cos •

COS — R—

t

N s in 4 -

^ Ж I ~ "b ~ + ■• ■+

2A — 1 _ k°- _ N ^ N — 1

“ /V " 4 ^

2

Неравенство

(1.15)

установлено.

Учитывая

(1.15)

и (1 .6 ),д л я х е (—1, 1) получаем

X u>

(4 * + l)

sin t

dt.

t ~

ü

Лемма доказана.

T N I (? ft; t) = Т т (<р; t + h).

(2 .1 )

■?I-

Тт (?)

<

N

АII у' И

(2.3)

где Л, — абсолютная константа.

определения Дѵі(ср)

Соотношения (2.1)

и

(2.2) очевидны из

и (1.9). Неравенство

же

(2.3)-

следует из

теоремы 1.1, если

9 — О^Дср) = ( £ - r wi) ^ ( o ) .

(2.4)

t) — GNr (ф(і); t)

(2.5)

„ ( і )

G $ (? )

,{Г) :

N

<

N r

Лемма

2.1. Если ф ^

СО, то

где А\ — абсолютная константа.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим Ф/і(0'= 'Ф(^+^1)—-ф(0-

В силу (2.1) и (2.3) при фиксированном h будет

sup

\ ( E - T Nl)W;

t + h) — (E — TN1)-{f,t)\=^

— Oö< t

<00

А, Фи

" _ і “Р < Д Е _ 7 " 0 ( ф»: 4 I <

дг

Отсюда

ж ) =

suPj

t + h)

f,,« F

I^

SUP 4

ФАI/V

[E

^Ni) (І5

=

S 4

U

fSP

U

P

+

(

0

І

=

N

.I

1

— CO<

t. <03

/V

V iV /

|Al<Tv

* И. П. Н а т а н с о н

[20], случай s = 0 ;

И. Ю. Х а р р и к

[33, 34],

общий

2*

35

Лемма доказана.

тео рем ы .

Рассмотрим

вначале

слу­

Д о к а з а т е л ь с т в о

чай s = 0. В силу (2.4) и теоремы 1.1

II ? -

аяг(?) Il

=

Il

(Е - Тт у*> (?) Il = II (£ -

7)Vi) X

X

((£ -

г

»

і ! ' <?)) II <

A “ ((f -

Wjr -m ) '

(? );(2 .

N r

( 2.8)

При s = 0 теорема доказана.

(2.4)

и (2.5)

Пусть теперь s e

[1 :г]. В силу

?

( J )

-

G

$

( ? )

XII [ Е - т ту~>

-4<PW) II = 2s 1«pW- a N,r- t («,«) Il <

<

2 4 - S+I“ ( TW;4-) <

5(r)^~FT

N r

N r~

где x4r = max

s+1.

Теорема доказана.

j e

[0 : г]

С л е д с т в и е . Для

всякой функции

ф œ См и любого

нату­

рального

п

найдется

такой тригонометрический

полином

Тп œ И І, что для s e

[0 : /•] будет *

2г+1Дгш

1_

; п

7f>II <

Достаточно

положить

Тп = GNr (œ), где

N =

л

1,

и

вос-

~2

Лемма 3.1. Пусть п — натуральное

число

и

Рп{х)— алгеб­

раический полином степени не выше п. Если для X œ ( —

1, 1)

Рп (

А

I

У 1 — X-’

_ 1

(3.1)

1 -

<

п?

V

**

где и е й

— некоторый

модуль непрерывности

(см. Дополне­

ние Г), то для всех x œ [—1, 1] будет

I рп

(

А

I

<

А

«

Здесь Л0 — абсолютная константа.

1

Г,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Допустим, что | х |

1 — 7ГТ ■ В этом

2п-

случае

■ В

силу

(3.1),

(Г.5)

и определения

класса Й получим

у 1 —

1А, W i e - У 1— Л-2

ут-

X-

< 2 (2«=) « Ш

+ 2А> Ш

< 6 А Ш .

Значит,

max

Рп (X) I <

6п2ш

ном Tn {t) порядка

не выше п (п — натуральное

число),

при

любом целом г^О справедлива формула *

Tn(t) = 22rn2

nz

2г

Т п {z + t)Hrn{z)\

dz,

(3.2)

где Hm — некоторый

тригонометрический полином, не

зави­

сящий от Тп, для которого на всей оси \Hrn(z) | ^ 1 .

Q2(ft+1),,3

. nz Ч 2 « * * 1»

s m -

Tn (0)

= ---

,

\

Гв ( г ) Ъ + ,іЯ(г)

^

z

äs,

(3.4)

n sin

причем

(2) I <

1. Формула (3.4)

справедлива

для

лю­

бого

тригонометрического

полинома

порядка

не

выше

/г,

и в частности для

Tn {x + t)

при фиксированном х. Таким

обра­

зом, при любом вещественном х '

(

nz

(А-І-1)

T',, ( X )

2~

sm —

dz.

Лемма доказана.

------ т -

п sin —

не

Лемма 3.3. Если

алгебраический полином Рп(х) степени

выше п при некотором целом г>0 и всех

х е

[—1, 1] удовле­

творяет неравенству

I Р п (

•

*

)

V 1 — X2

<

/1

-

Л*

(3.5)

п I

/г

где

ш е

Q, то для х е

(—1,1) будет

I Рп (X) I

А^п

У \ —х2

п

Константа АУ

зависит только от г.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Применим лемму 3.2 к тригонометри­

ческому полиному Pn (cos0), заменив в

(3.2) г на г+ 2: