книги из ГПНТБ / Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных
.pdfгде штрих у суммы означает, что отсутствует слагаемое, соот ветствующее k = 0,.a (ik)T определяется формулой (3.16).
Введем обозначение
2л
М Ф ; *) = ~ J b ( t ) Br ( x - t ) d t .
о
Функция /ѵ(ф; х), которая называется дробным интегралом по
рядка г > 0 от Ф(а), непрерывна, если і|і е С. Это следует из ра венства
|
|
2т: |
|
|
Fг (ф; А') = 4 - } ф (а - |
/) ВГ(t) dt, |
(3.19) |
||
|
|
о |
|
|
справедливого в силу леммы 2.1. |
|
имеет |
||
Лемма 3.3. Пусть тригонометрический полином Тп (х) |
||||
вид (3.17). Тогда |
|
|
|
|
Fг {Т |
X) = |
J |
|
(3-20> |
Действительно, в силу |
(3.19), |
(3.15) и (3.14) |
|
|
|
2- |
|
|
|
Fr (Тп- X) = -L f |
Тп {X - |
1) ВГЦ) di = |
|
|
|
О |
|
|
|
fe=—n V |
ü |
|
/ fc=—n |
|
Лемма доказана.
Теорема 3.2. Для того чтобы непрерывная 2я-периодическая функция f(x) имела непрерывную дробную производную по рядка /•> 0, равную ф (а), необходимо и достаточно, чтобы
2- |
<р (х) dx — 0, |
|
J |
(3.21) |
|
о |
|
|
и имело место представление |
|
|
f i x ) = ^ t + |
~ j «p (О ВГ(X - t) dt, |
(3.22) |
|
о |
|
ade a0— некоторая константа.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Д о с т а т о ч н о с т ь . По второй тео реме Вейерштрасса (см. Введение) найдется последователь ность тригонометрических полиномов {Qv}, п= 1,2,..., такая, что при /г-»- оо
Положим |
|
|
|
Ql{x) = Q;1( x |
) - ^ |
rQnJ{t)dt. |
|
|
0 |
|
|
В силу (3.21) по-прежнему |
|
|
|
Q: |
«p, |
„ |
(3.23) |
однако теперь |
|
|
|
2- |
|
|
|
I Q*a{t)d t = 0. |
(3.24) |
||
0 |
|
|
|
Введем тригонометрические полиномы
тя ( Х ) = ^ - + Fr (Q*„; х).
На основании (3.20), (3.18) и (3.24)
7 {Р( х) = Q*n (X). |
(3.25) |
Учитывая (3.23), (3.22) и (3.25), при п—у оо получаем
тп - > - f - + Fr (с?) = /, і ѵ = Q: Л cp.
Значит, ф является непрерывной дробной производной порядка/- от f. Достаточность доказана.
Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть последовательность полиномов {Г,,.} такова, что при п-*-оо
|
Т |
<р. |
(3.26) |
|
В силу (3.20) |
|
|
|
|
. |
Тп (х) = A n + Fr {T(nr); |
х), |
(3.27) |
|
2- |
|
|
|
|
где А п= — J Trl(é)dé. Переходя в (3.27) |
к пределу при п - у оо |
|||
о |
|
|
|
|
и учитывая (3.26), получаем |
|
|
|
|
fi |
2— |
2тс |
|
|
/(*) = |
|
|
||
I /(0 ^ + 4- .[ ?(О^ (X- ОЛ. |
|
|||
|
О |
Ö |
|
|
Остается заметить, что в силу (3.2)
2- |
, |
2* |
( |
ср (х) dx = lim |
Г Тп](л) dx = 0. |
о |
п""“ о |
Теорема доказана.
Сл е д с т в и е . Если при некотором / > 0 для функции ф е С ,
2тс
имеющей нулевое среднее j* ty(t) dt = 0, будет
о
j à{t)Br { x - t ) d t = |
Q, |
о |
|
то ф (х)= 0 . Действительно, в противном |
случае получили бы |
в силу (3.22), что непрерывная дробная производная порядка г от f ( x ) = О определяется не единственным образом. Но это про тиворечит теореме 3.1. Утверждение доказано.
3. Приведем простейшие свойства операции дробного диф ференцирования.
I. Дели fi, и f2 принадлежат СМ, то при любых вещественных
а и р будет afi -bß/г е СМ, причем
Кі + РЛ)<') = «/{'> + РЛ'>.
II.Пусть последовательность функций {/Д из СМ такова, что при s —>- ОО
(г)С
/Л ® , /
Тогда Ф Œ СМ и фМ= ср.
III. Если f е |
№ , то / е С (г-<,) при всех а Е( 0, |
г) и |
|
2- |
|
/ (г |
/М (t) В, (X — і) dt. |
(3.28) |
|
о |
|
Свойства І и II непосредственно следуют из теоремы 3.2. Докажем'III. По определению непрерывной дробной производ ной найдется последовательность тригонометрических полино мов {Тп} такая, что при /г-*-оо
Т п -Я /, |
(3.29) |
г Г - 2 > /(Г). |
(з.зо) |
В силу (3.18), (3.20) и (3.16) |
|
7 f - K> = Д а (7 І> ).
Отсюда и из (3.30) следует, что
Tj[~a) Л д а( / (Г)). |
(3.31) |
Объединяя (3.29) и (3.31), получаем (3.28)'.
22
Утверждение доказано.
4. В заключение покажем, как непрерывная дробная произ водная выражается непосредственно через исходную функцию.
Если г — натуральное число, то функция і р е С будет непре
рывной производной /'-го порядка от / е С в смысле определе ния, введенного в п. 1, тогда и только тогда, когда она является обычной л-й производной, непрерывной на всей вещественной прямой. Это следует из теоремы 2.1.
Теперь рассмотрим случай, когда г — не целое число. Теорема 3.3. Пусть k — Дл я того чтобы у функ
ции f Œ С существовала непрерывная дробная производная по рядка г, равная <р, необходимо и достаточно, чтобы функция F k - r{f-, х) имела обычную непрерывную производную k-го по рядка и выполнялось равенство
|
|
|
= |
г , |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Прежде |
всего заметим, что |
дробный |
||||
интеграл порядка а> 0 |
от любой функции ф е С имеет |
нулевое |
||||
среднее |
значение. |
Действительно, |
в силу леммы 2.1 |
и (3.14) |
||
2т, |
2-, |
|
|
2* |
|
|
J |
JФ(t) Ва(Л- — t) cltdx = |
f ф (0 j Ва (X — i) dxdt = |
||||
О О |
|
|
0 |
0 |
|
|
- - |
|
|
|
|
||
|
|
2- |
2- |
В~{х) dx = 0. |
|
|
|
= |
j |
Ф(О dt j |
(3.32) |
||
Обратимся теперь к доказательству достаточности. На осно вании теоремы 2.1 найдется последовательность тригонометри ческих полиномов {Тп} такая, что при п-^-оо
У F,.АЛ, |
(3.33) |
ТІк)Л, <р. |
(3.34) |
Учитывая III и (3.34), получаем |
|
7 ? “ r) = F ,(7 ? )) - ^ F r (ср). |
|
Далее в силу (3.27) |
|
Тп (х) = Дл + Fк- г (7? ~ г); х), |
(3.35) |
где А п = 1 2гТп (^) dt. Поскольку Fh- r(f\ х) имеет |
нулевое |
о |
|
среднее и выполняется соотношение (3.33), то Лл^—^ 0. Перей дем в (3.35) к пределу при /г-*- оо. Получим
F k - r ( f \ x ) ^ F k _ T( F r ($y, X ) .
Перепишем последнее тождество в эквивалентном виде:
2.TZ
J / Ѵ ) — % - ± - ] ч { г ) В г { і - г ) с І г Bk- r (х — t) dt = 0,
О-
где а0 — j На основании следствия из теоремы 3.2
и (3.32) заключаем, что при всех х
2*
/(■*) = f -+ -i- I с? W B r (X - t) d t -
Кроме того,
2тг |
2тс |
Г <р (х) dx = lim |
Г Т[к)(X ) dx = 0. |
оп~*°° о
Значит, f(x) имеет непрерывную дробную производную по рядка равную ф(х) (теорема 3.2).
Достаточность доказана.
Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть |
СГ |
с |
|
|
Т п —»/, |
—>ф. |
|
||
Введем тригонометрические полиномы |
|
|
||
• Т п,и-Г{х) = |
Д й_ г ( Г й; |
х). |
|
|
Очевидно, что |
|
|
|
|
Тп, к — г ' |
|
|
|
(3.36) |
Далее, поскольку Т „%( -Г(л) = |
К,(,г) (л), то |
|
|
|
'pik) |
С |
ср. |
|
(3.37) |
* П, k —Т |
|
|||
Из (3.36) и (3.37) на основании |
теоремы 2.1 |
следует, что |
||
Fk~r(f; х) имеет непрерывную k-ю производную, |
равную ф(х). |
|||
Теорема доказана. * |
|
|
|
|
* Дальнейшие сведения о дробном дифференцировании и интегрировании периодических функций, а также библиография по этому вопросу приведены в [23, 24].
Г Л А В А II
ОЦЕНКИ СОВМЕСТНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
§1. Вспомогательные предложения
1.Введем при натуральных N я ѵ функцию
|
|
|
|
|
Nt |
\2 V-|-2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
sm ■ |
|
|
|
|
|
^'Ѵ; Vѵv(W0 =— ф |
l |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
\ N sin ~ |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nt \ 2 V+2 |
|
|
|
|
|
^Л'ѵ — |
. |
t . |
dt. |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
VN sin — |
|
|
|
||
Из определения следует, что |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
§ U N4(t)dt = 1. |
|
|
(U ) |
||
Лемма 1.1. Функция |
является четным тригонометри |
|||||||
ческим полиномом порядка (ѵ+1) |
(N — 1). |
|
|
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку21 |
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
^ 2 |
|
D'k (t) = —Q—|- cos t - j - c o s kt = |
---------2— |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 s i n ~2~ |
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
*2* ° k w |
= 1г + * 2 |
w |
- |
cos ki = |
|
|||
ft= о |
|
|
k\= 1 |
|
|
|
||
t_ |
, |
, 3t |
, |
2 N - |
|
|
|
|
sm 2 |
+ |
sin — |
+ . . . -I- sin |
|
|
|
2 |
( 1.2) |
|
|
2 sin |
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Остается заметить, что при возведении четного тригонометри ческого полинома порядка N — 1 в степень ѵ+1 получается чет ный тригонометрический полином порядка (-ѵ+1) (N — 1).
Лемма доказана.
Лемма 1.2. Существуют такие положительные константы А™ H Л<2), зависящие только от ѵ, что при k œ [0 : 2ѵ]
Л(і) |
|
|
|
|
|
sin |
Nt |
2м |
2 |
4 2) |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
(1.3) |
||||
< |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
N ft+i |
|
|
|
|
|
t_ |
|
/Ѵ*+> |
||||
|
|
|
|
|
|
|
• |
|||||
|
|
|
|
|
|
N sin 2 |
|
|
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Воспользуемся |
двумя |
элементарными |
||||||||
неравенствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I sin Л < |
111; |
|
|
|
(1.4) |
||
|
sin t |
|
|
—ц - 1, |
|
l e |
’ |
2 |
|
(1.5) |
||
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin Nt |
2м H-2 |
|
|
|
|
sin Nt |
\ 2', + 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
\ t \ ‘ |
|
j |
|
|
d t |
= |
2 k + 2 \ |
i k \ N sin T l |
dt^ C |
|||
KN Sin |
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
||
2ft+2m |
2M + 2 |
( |
( |
sin Nt |
\ 2v+ 2 |
|
|
|||||
|
|
|
l |
|
|
|
di4Z |
|
||||
< ^ r ( ~ |
) |
î +2 l |
t k ( ^ î +2 d t < |
|
||||||||
N k+\ |
[ 2 |
|
|
\ |
" |
\ t |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
sin t 2M-1-2 |
|
|
|
|
|||
TC2v+2 |
|
|
|
1 |
4 2) |
|
||||||
< |
|
|
|
|
|
|
|
d t + |
= |
|
|
|
N ft+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
N ft+i |
|
||
С другой стороны,
|
т |
' |
2,+ 2 |
|
|
•2N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sm —рг |
|
^ ' > |
2 f t + 2 ‘ *к I |
sin ЛДгі \ 2v+2 |
dt: |
|||
'*1 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
N sin t |
|||
, N sin - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2N |
|
|
|
|
|
|
.2fe + 2( A |
f +2 |
1 |
tkd t > |
4 |
/2n2v+1 1 |
A ™ |
||
|
||||||||
|
|
|
|
Ъ + 1 |
N ft4-1 |
ft4-1 |
||
Лемма доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
С л е д с т в и е |
1. Справедливо неравенство |
|
||||||
|
|
|
1 |
< ~ N . |
|
(1 .6) |
||
|
|
|
Ф/w |
^ |
Л<!) |
|
|
|
С л е д с т в и е |
2. |
Пусть |
Р 0ѵ(х) = V ак х к— произвольный |
|||||
|
|
|
|
|
|
h —О |
|
|
алгебраический полином степени не выше 2ѵ. Тогда |
|
|||||||
- |
|
|
|
|
|
А (2) |
2ѵ |
|
П М " И ) і ^ < н л < - й г 2 К І - |
п-7) |
|||||||
- - |
л |
|
|
|
|
ѵ |
fe= 0 |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . В |
силу |
определения UAh{t) и нера |
||||||
венств (1.3) и (1.6) |
получим |
|
|
|
|
|
||
2і |
|
N t |
y 2 v+ 2 |
|
|
|
s i n - ^ |
|
|
||
V I |
Iflftl |
|
d t < |
||
|iW |Ä| -— |
I |
||||
2 J |
ФN i |
||||
l / V s i n l T |
|
|
|||
ft= 0 |
|
|
|
\ a u
k = 0
что и требовалось доказать.
2. В пространстве С непрерывных 2ге-периодических функ ций cp (t) введем оператор
T N i ( ? : 0 = 1 ? ( г ) U N I ( z ~ t ) d z -
Поскольку для всякой функции Ф е С выполняется равенство
(1.8)
где а — любое вещественное число, то можно записать также
|
|
|
|
(1.9) |
Из леммы 1.1 следует, что 7'yVv (tp; t) |
является тригонометри |
|||
ческим полиномом |
порядка |
не |
выше |
(ѵ+1 ) t( N — 1), причем |
если ф(t) — четная |
функция, |
то |
полином ГЛ,Д®; і) тоже будет |
|
четным.
Теорема 1.1. При любом, натуральном N справедливо нера венство *
где А\ — абсолютная константа, а о |
(ф; Ô) — модуль непрерыв |
|
ности функции ф (см. Дополнение Г). |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
В силу (1.1), (1.9), неотрицательности |
|
Um (t) и определения модуля непрерывности получим |
||
? (О — Tm (cp; t) ] = |
I [? (0 - |
®{t + 2)] и т (г) dz < |
Теперь замечаем, что в силу (Г.4)
« ( I г I ) = (в [ N I г I |
< (Л /| г I + 1 ) ш |
, |
так что
Остается воспользоваться неравенством (1.7). Это дает
Теорема доказана:
Д ж е к с о н [40, 41].
Сл е д с т в и е . Для |
каждой функции ф е С и любого нату |
рального п найдется |
такой тригонометрический полином |
что |
|
|
|
I |
I |
? |
|
— |
|
Q |
|
J |
|
< |
2 |
До к а з а т е л ь с т в о . По л о жи м N = |
|
п |
+ 1. Тогда ГЛЧ(ф; і) |
||||||||||
будет |
тригонометрическим |
полиномом |
2 |
порядка |
не |
выше |
|||||||
|
|||||||||||||
2 (N — 1)<Тг. Обозначим его через Qn (t) . Учитывая теорему |
1.1, |
||||||||||||
|
1 |
2 |
и (Г.З), получаем требуемое. |
|
|
|
|||||||
неравенство - д р О — |
|
|
|
||||||||||
Утверждение доказано. |
|
|
|
функция |
cp(t) |
имеет |
не |
||||||
Лемма 1.3. Если 2п-периодическая |
|||||||||||||
прерывную k-ю производную |
( ф е О Т ) , |
то |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Т№(г, |
t) = |
7 \ѵ „ (cp(ft); |
t). |
|
|
|
( 1. 10) |
||||
Это непосредственно следует из |
(1.9). |
|
отрезке |
[—-1, 1] |
функция. |
||||||||
3. |
Пусть f(x) — непрерывная на |
||||||||||||
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Руѵѵ(/: х ) = J / (cos 0 £/„,(* —arccos je) dt.
Если ввести обозначение <p(/) = f (cos t), то |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
p NAf> Х) = |
7 ;Vv(?; arccosх). |
|
|
|
(1.11) |
|||
Из этого |
равенства, |
леммы |
1.1 и (Б.2) следует, |
что |
х) |
|||||
является |
|
алгебраическим |
полиномом |
степени |
не |
выше |
||||
( ѵ + 1 ) ( Я |
— |
1). |
любом |
натуральном N |
и |
произвольном |
||||
Теорема |
1.2. При |
|||||||||
х е [—1, 1] выполняется неравенство* |
|
|
|
|
|
|||||
|
I/(*> - р т (/; |
*) I < Л » (/; |
|
+ |
/ ) . |
|
||||
где Аг — абсолютная константа. |
|
(О ^ г/^ я ). Так |
||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Положим, у ==arccosх |
|||||||||
же, как при доказательстве теоремы 1.1, будем иметь |
|
|||||||||
|/ ( х ) - Я Ѵ1 ( / ; X) I = |
j |
[/(cos у )- /( c o s |
(у + 0)] |
UNX(t)dt |
||||||
|
|
|
|
|
|
Um {t) dt. |
|
|||
А. Ф. Т и м а н [28].