книги из ГПНТБ / Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных
.pdfпоэтому равномерно по х е |
[а, Ь] |
|
|
|
к |
|
|
<iki(x ) r z |
2 ê ' K H v W - |
|
|
|
V= О |
|
|
Отсюда и из (1.4). следует, что |
|
|
|
' g (•*) = |
2 S { x , ) l v(x). |
|
|
|
V=0 |
|
|
Значит, g‘ f= Hk. Лемма доказана. |
Д о с т а т о ч н о с т ь . До |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р емы . |
|||
пустим, что выполняются соотношения |
(1.1) |
и (1.2). На основа |
|
нии леммы 1.1 |
|
|
|
Рп (*) =Яг-1,п (■*) Н—(7~Т)Т J |
(X - |
~ 1’ (0 |
|
а
Поскольку равномерно по X œ . [а, 6]
Р ПІ Х) - 1 / ( Х) ,
J
Û
ТО
Яг -1, „ (*) ^ /(■ *)- тт^іут S i x - t y - 1? « ) * .
a
Заметим, что <7r _ j ne //r _ j при всех /г, поэтому в силу леммы 1.2
|
/(*) - |
(,._1Т)|' J (JC- t)r |
1®(0 dt = qr_ x(х), |
|||
|
|
|
Û |
|
|
|
где |
qr_ x^ H r _ х. Отсюда на основании |
леммы 1.1 заключаем, |
||||
что f(x) имеет |
на [a, b] непрерывную г-ю |
производную, рав |
||||
ную ф(х). |
|
|
|
|
|
|
|
Достаточность доказана. |
|
|
[a, b] непрерывную |
||
|
Н е о б х о д и м о с т ь . Если f(x) имеет на |
|||||
г-ю производную, равную ф(х), то на основании леммы 1.1 |
||||||
|
|
' |
|
X |
|
|
|
/w = ?f-iW+ (г-i)! J ^x-ty~\{t)dt. |
|||||
|
|
|
а |
|
|
|
По |
первой теореме |
Вейерштрасса |
(см. |
Введение) найдется |
||
последовательность |
алгебраических |
полиномов (Q,, _ г (■*)}, я = |
||||
=г + 1, г + 2, ... , такая, что равномерно на [a, b]
(X)? ( х ) .
fl.
Очевидно, что Рп е Нп, причем в силу леммы 1.1
Р а( (х) = Q„_r (х).
Последовательность {Рп {х)} является требуемой. Действительно, во-первых,
во-вторых, |
а |
|
|
Р\р (х) = Qn~ Г(х) —>- ? (х). |
|
'Теорема доказана. |
П~+оо |
; |
|
§ 2. Обобщение второй теоремы Вейерштрасса
Справедлива
. Теорема 2.1. Для того чтобы 2п-периодическая функция f(x) имела на (— оо, оо)'непрерывную r-ю производную, равную ц>(х), необходимо и достаточно, чтобы нашлась последовательность
тригонометрических полиномов {Гл(х)), Тпе Н п , п —1, 2,..., такая, что при п->- оо
( 2.1)
(2.2)
Предварительно установим лемму, которая в дальнейшем будет неоднократно использоваться.
Лемма 2.1. Если Ф(х) — 2п-периодическая интегрируемая на отрезке [0,2зт] функция, то при любом вещественном а
оа
■ Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть 2 n k^a < 2 n (k + 1), где k — це |
||
лое число. Тогда |
2тс (£+2) |
а |
|
а+2х |
|||
j Ф (х) dx = |
. J |
Ф (х Ц- 2тzk) d x ~ |
I" Ф (х) d x + |
il
'Лемма доказана.
С л е д с т в и е . |
В условиях леммы 2.1 |
при любом веществен |
||
ном X справедливо равенство |
|
|
|
|
|
2к |
|
2- |
|
|
I Ф (х — t) d t = |
Г Ф (^) dt. |
||
Действительно, |
о |
|
о |
|
|
|
|
|
|
2* |
|
ж |
|
2- |
Ф {X — t ) dt = |
J . Ф (t) dt |
= J Ф (t) dt. |
||
О |
л- - |
2г. |
|
О |
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е мы . Д о с т а т о ч н о с т ь . До пустим, что выполнены соотношения (2.1) и (2.2). В силу тео ремы А. 1 и (А.9) (см. Дополнение А)
|
|
|
|
(I ' |
■« |
* |
|
О оК, |
(2.3) |
|
|
Тп (*) = |
|
J Тпг), (t) Br ( X - |
|
||||
|
|
|
оо |
|
|
О |
9гс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
Вг (и) = |
2 ^7 cos |
— -у-) и 0оя).= |
J |
(0 d t- |
|
|||
|
|
|
ft = 1 |
' |
|
' |
о |
|
|
Переходя в (2.3) к пределу при /г-»- оо, получаем |
|
||||||||
|
|
|
/ W |
= y - |
+ y - J ? ( 0 Вг ( X - t ) |
dt, |
|
||
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
где |
а 0 = |
1 |
2z |
|
Поскольку при этом |
|
|
|
|
— J f ( l ) d t . |
|
|
|
||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2- |
|
|
|
|
|
|
|
ср (г!) ^ |
= |
Нш J |
Л'Г) (t) dt |
lim [7 t-1) (2~) — Гп _1) (0)] = О, |
||||
|
|
|
Л-*-со |
|
|
|
|
|
|
то на основании той лее,теоремы А.1 заключаем, что f{x) имеет на всей оси непрерывную r-ю производную, равную <p(x).
Достаточность доказана.
Н е о б х о д и м о с т ь . Если 2л-периодическая функция f(x) имеет на (— оо, оо) непрерывную г-ю производную, то на осно вании теоремы А.1
/ (X ) = - f + -L j > > (t) Вг ( X - t) dt. |
(2.4) |
о |
|
По второй теореме Вейерштрасса (см. Введение) найдется
последовательность тригонометрических полиномов |
{Q« (■*)}, |
Qnе Н„, п —1,2,..., такая, что при п-*~оо |
|
Qп £ £ 0 |
|
Ql (X) = Qn ( |
л |
1 |
2к |
|
) |
Qn (t) dt. |
|
||
В этом случае по-прежнему |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.5) |
однако теперь при всех /г |
|
|
|
|
2тг |
|
|
|
|
J Ql (t) dt = 0. |
(2.6) |
|||
о |
|
|
|
|
Введем обозначение |
|
|
|
|
1 |
2* |
|
|
(2.7) |
Tn{ x ) = ^ r - \ - ^ r \ Q l { t ) B r { x - t ) d t . |
||||
В силу леммы 2.1 |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
2тс |
|
2* |
|
|
J Q» (О Вг {х — t) dt = |
f Q*; (JC - 0 Br (t) dt. |
|
||
о |
|
0 |
|
|
Отсюда и из (2.7) следует, что T„(x) является тригонометри ческим полиномом порядка не выше п. Заметим также, что в силу (2.7), (2.6) и теоремы А.1
Т{п] (х) = Ql (х).
Покажем, что последовательность {Г„(х)} является требуемой. Действительно, на основании-(2.7), (2.5) и (2.4) при п-*- оо
~2-
Т„ (Л-) -> - f -Ч- 4 - 1 / М (О В' (* - t ) d t = f { x ).
о
С другой стороны,
у(0
Теорема доказана.
§3. Дробное дифференцирование периодических функций
1.Рассмотрим тригонометрический полином
П |
|
Тгі(х) = А п-\- ^ (ßft0 cos kx -f 0*л) sinàx). ' |
(3.1) |
fc= 1
Очевидно, r-io производную от Tn (x) при натуральном г можно представить в виде
Будем считать, что формула (3.2) определяет г-ю производную от Тп (х) при любом вещественном /'>0.
Теперь можно ввести следующее
О п р е д е л е н и е . * Пусть функции f и ф принадлежат С и г — положительное число. Если существует последовательность тригонометрических полиномов {Тп}, /г= 1, 2,..., такая, что при
п — ОО-
TnS f , г<г)-£ш, (з.з)
то ф называется непрерывной дробной производной порядка г от f и обозначается f(r).
Прежде всего установим корректность этого определения. Теорема 3.1. Если непрерывная дробная производная по
рядка г > 0 функции f œ С существует, то она единственна.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим |
противное. Тогда найдется |
|
последовательность тригонометрических полиномов (ДДл:)} |
||
Тп (л) = Ап + |
"V (ai'0 cos kx + |
б*0 sin kx) {n — 1,2, ... ) |
такая, что при i i - + |
со |
|
|
Т п - ^ 0 , |
(3.4) |
где 0 — нуль пространства С, а -ф(х) ^ 0 .
Покажем, что все коэффициенты Фурье функции ф(х) равны
нулю. |
|
|
|
|
Действительно, в силу (3.4) и (3.2) |
||||
1 |
2- |
|
|
2* |
— |
f ф (-*) dx = lim — |
Г ТІГ) (х) dx — 0. |
||
|
о |
|
п^°° |
о |
Далее, поскольку |
9- |
|
|
|
|
|
Тп(х) cos kx dx ^ 0, |
||
|
ai"’ = |
j" |
||
|
|
u |
|
|
|
1 |
z' |
|
|
|
= — Г T (x) sin kx dx —►0, |
|||
|
ï î |
J |
n |
П~*~oo |
|
|
0 |
|
|
то при всех натуральных k |
- |
2* |
|
|
J |
2я |
|
||
— |
Г ф (х) cos k x d x — lim — |
Г Tir) (x) cos k x d x = |
||
|
U |
|
0 |
) |
= iim Æ(n) lain)cos -y- -f 6*° sin -^-1 = 0.
* CM. [14, 15]. Другие определения дробных производных периодических функций были даны Вейлем [44].
Аналогично
J |
2* |
|
|
2к |
— |
f б (JC) sin kxdx = lim — |
Г T'jp(x ) sin k x d x — |
||
'L о |
|
* |
о |
|
|
= limÆr (— я!”' sin —ту—[- ôj^cos-^-] = 0. |
|||
|
' fi-м» |
l. |
*- |
“ J |
Таким образом, все коэффициенты Фурье функции ф(х) равны нулю. Отсюда в силу полноты тригонометрической си
стемы -ту, cos x, sinx, cos 2х, s i n 2 x , c o s их, sinnx,... в C
следует, что -ф(х)=0. Но это противоречит допущению. Теорема доказана.
2. Обозначим через СО класс 2я-периодических функций, имеющих непрерывную дробную производную порядка г>0,
и получим для функций из СО интегральное представление. Для этого положим
В г (* ) =
где г — любое положительное число. При r> 1 будет Вг е С. Заметим также, что
I '"-о , если х е ( 0 , 2^), .
2
(. 0, если- x = 0.
Пусть 0< г< 1 . Тогда |
|
|
|
М |
1 |
|
Вг (0) = cos-^- ^ |
— = оо. |
|
||||
Лемма 3.1. Функция Вг(х) при 0 < /'< 1 |
непрерывна в интер |
|||||
вале (0, 2я) à суммируема на [0, 2зт]. |
|
|
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Воспользуемся преобразованием Абеля |
|||||
N |
N - |
1 |
|
|
|
|
Uh°k~ |
2 |
(И* _ ' Uft+ 0 |
|
|
||
Л= 1 |
* = 1 |
|
|
|
|
|
где Ѵй= Пі + у2+ • • ■+ ил. Получим |
|
|
|
|||
|
|
1 |
1 |
1 |
Dkr (x) |
&Nr (X) |
|
|
|
||||
|
й = 1 |
Аг - |
(А + ІУ |
N r |
||
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
Dkr (л) = |
cos ( x |
----+ |
cos { 2 x ---------- |
|
|
+ . .. |
||
|
|
|
|
, k -|- |
1 |
|
n \ |
k |
... 4- cos I kx — |
|
c o s ( — 2 — x ------- |
|
— s i n - y JC |
||||
|
|
|
sin • |
|
|
(3.5) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что для x œ (0, 2д) |
|
|
|
|
||||
|
|
со |
|
k x ----- |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
||
|
s |
- |
|
k T |
|
|
|
|
|
|
|
|
; A + |
I |
|
m \ |
k |
- S te |
|
1 |
|
cos I-— 2— x -----2“ |
sin ~2 ~ x |
|||
|
|
|
|
|
|
(3.6) |
||
(* + l)r |
|
|
sin |
• |
|
|||
ft= l |
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k T |
(k |
+ |
l ) r |
,r+ l |
> |
|
(3.7) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
то последний ряд равномерно |
сходится на |
любом отрезке, со |
||||||
держащемся в (0, 2я). Значит, функция Вг(х) является непре рывной в интервале (0, 2я)/
Покажем, что при всех натуральных k
|
2- |
|
|
|
j |П Аг(х)|Д а: < |
я (21п £ + я). |
(3.8) |
В силу |
(3.5) |
|
|
2* |
. k |
|
|
|
sin - J - x |
|
|
Г |
I Dkr {x) I dx < |
-dx = 4 |
siï/^ 1 d x ‘ (3-9) |
|
sin ■ |
|
|
Для оценки последнего интеграла воспользуемся неравенствами
2 |
|
|
■ |
- |
|s i n x |^ |x |; s i n x > — х, если |
X œ . О |
, . Получим |
||
sin k x I a f x < |
2 |
I |
I sin k x |
IX d x < C |
sin X |
X |
|
||
|
|
|
||
2ft
<
2ft
Отсюда и из (3.9) следует (3.8).
16
Теперь нетрудно |
показать, что |
функция Вг(х) |
суммируема |
|||||
на [0,2л]. Действительно, в силу (3.6), (3.7) |
и (3.8) |
|||||||
2іс |
|
|
2л |
|
|
|
|
|
J [5г( х ) | ^ < 2 1 й т | | ДАД х ) | У х < г * 2 ~ Л Т ^ < > - |
||||||||
О |
fc= l |
|
0 |
|
|
ft= l |
|
|
Лемма доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Лемма 3.2. При любом /> 0 ряд |
|
|
|
|
|
|||
|
со |
|
Пг |
|
. r i z |
|
\ |
|
|
|
cos —2“ |
stn—g— |
|
|
|
||
|
-------- cos Æx + |
— -— sia Æx |
|
|||||
|
2k = 1 |
Ær |
|
|
kr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является рядом Фурье функции Br(x). |
|
|
|
|
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Покажем вначале, что |
|
|
||||||
|
2~ |
со |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
cos I k x ---- |
dx = |
0. |
(3.10) |
||
|
|
kT |
||||||
|
П-> со |
ft2= |
|
|
|
|
||
|
|
л+1 |
|
|
|
|
|
|
Действительно, в силу преобразования Абеля |
|
|
|
|||||
N |
N - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
ик ° к ~ ^ |
[а к ик + \ ) Ѵ ft “Ь 11рУ N |
|
а п+-У ш |
||||
k= л+1 |
&—fl+1 |
|
|
|
|
|
||
Vk—VI + ^2H- • ■. +£+, будем иметь |
|
|
|
|
||||
N |
/ |
n z \ |
N - 1 |
|
|
|
|
|
'% ^ |
cos 1kx': |
|
^jU r |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
Г |
А іг W + |
||||
k = n+1 |
kT |
|
( |
|||||
|
|
ft = л+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(•*> |
^«r (■*) |
|
|
|
|
Отсюда следует, что для х Œ (0, 2л)
|
|
COS\ k x --- г% |
1 |
1 |
|
X |
|
|
|
|
|||
|
2 |
kr |
kr |
(k + |
l)r |
|
|
|
h = /Ï -|—X |
|
|
|
|
|
к --- л+1 |
|
|
|
||
|
|
X Dkr (x) |
(« + l ) r |
|
(3.11) |
|
|
|
|
|
|
||
Учитывая (3.11) и (3.8), получаем |
|
|
|
|||
2л |
|
cos [kx — nz \ |
|
|
|
|
|
|
|
12 In А + |
71 ^ |
2ІПЯ + Д |
|
|
|
~2J dx |
л |
|||
|
|
|
|
|
||
S |
|
kr |
f t - л + 1 |
|
|
|
ft= n+l |
|
пр.учко -техни ,ѳ н й .* { |
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Сі.Сгьіоіа,.е СОСР |
||
|
|
|
; |
г.тзгигтляр |
||
|
|
|
і |
ч’-і'"‘Ч-»ьйего зала |
||
Остается перейти в последнем неравенстве к пределу при п-х- со. Соотношение (3.10) доказано. Теперь уже нетрудно до казать и утверждение леммы. Действительно, пусть ѵ —: нату ральное число. Тогда при /г^ѵ
2 |
я |
|
cos ■ |
|
Вг (х) cos ix dx ■ |
||
|
|
||
+ |
f |
cos ( kx — |
COS vxdx. |
|
kr |
||
|
|
|
|
оLft = n +l
Переходя в этом равенстве к пределу при /г-*-оо, на основании (3.10) получаем
2* |
|
|
1 |
rit |
|
■ 1 |
|
|
(3.12) |
||
|
|
|
V C0S-T - |
||
О |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Аналогично показывается, что |
|
|
|
||
„ 2- |
|
|
1 . |
rn |
(3.13) |
|
|
|
— Sin- J - . |
||
|
|
|
V |
|
|
Наконец, поскольку при любом натуральном п |
|
||||
2ъ |
|
2 к |
оо |
|
|
Br i x ) dx = |
J |
cos I kx ---- |
dx, |
||
2 |
|
||||
|
|
0 \6 = и + 1 |
|
|
|
TO |
|
|
|
|
|
1 |
2r |
Br (x) dx = 0 . |
|
(3.14) |
|
— j |
|
||||
Лемма доказана.
Сл е д с т в и е . Яри /->0 и &= ±1, '± 2 ,... справедливо ра венство
|
— Г Br (x) e~lkxdx = —Ц- , |
(3.15) |
||
|
к J |
гК ’ |
{ik)r ’ |
|
где |
|
|
|
|
2тг |
2и |
|
2т: |
|
j |
ВГ(x) e~~lkxdx — J |
Вг (л) cos k x d x — і j Вг (х) sin kxdx, |
||
и по' определению |
|
|
|
|
|
(ik)r = I k Ir exp (i |
sign k]. |
(3.16) |
|
Действительно, в силу (3.12) и (3.13) при k — l, 2,...
■— f Вг {X) e~ikx dx = -----Ц |
- = |
. |
|
J |
с — |
(//г) |
|
0 |
kre |
2 |
|
Если же k = —1, —2,..., то
f Br (-*) е - 1кхd x = ± - J Br (X) е11*1Xdx =
W
\k\re 2
Утверждение доказано.
Для дальнейшего нам понадобится представление тригоно метрического полинома Тп{х) вида (3.1) и его дробной произ
водной Гя *(х) вида (3.2) в комплексной форме. По формулам Эйлера имеем
Тп (х) — Ап + |
(л) |
еікх + е Ікх |
(«) еikx |
Ikx |
& k'------- чі----------b bk |
21 |
|||
|
ft= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= An + 2 \ ^ { a ï n)- i b ï n))e ikx + ^ { a l n) + ibïn)) e - ikx} = |
||||
Ä= 1 |
|
|
|
|
|
= |
V M e lkx, |
|
(3.17) |
|
|
k=—n |
|
|
где
-^-[а[п)~ i b {kl)) при k(= [1 :/г],
^л) = A„ при k = О,
|
■^[a-l + ib-l) при |
А е [ — ѣ\ — 1]. |
|
|
Аналогично |
|
|
|
|
T V (X) = |
2 |
U |
|
- |
ß _ 1 ' ^ |
\ |
|
' |
|
JL //,(”) ( у М _ ф ( “+Д)}= |
|
|||
- 2 Ф М " > - й П / Д 2 « '" + |
|
|||
|
k = l |
|
|
|
+ ф (аР + |
гбГДі'е 2 |
= |
2 ’ |
(З-18) |
k= —n