книги из ГПНТБ / Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных

ш(S) = ш(ср; 8) = sup

I ср (^) — ®(t2)

I =

I Л - М

■*: «

— со <cii, /^<0°

= sup sup

I ср((-{-h) — (о (£) \ .

I II I < 6 — o o < C < o o

Свойства I—IV в этом

случае

сохраняются, так что со œ Q.

непрерывность справа

со (б)

при 6= 0, которая следует из того,

что непрерывная

2п-периодическая функция ф(/), заданная на

всей оси, является равномерно непрерывной.

3. Обозначим

через

йі

множество

тех со е Q, для которых

со (I) =1.

(o'

миноранте

для модулей непрерывности). При

Теорема

б е [0, 1] и любом со е

Пі выполняется неравенство

со (8) >- m (8),

(Г.6) .

где

0, если

8 = 0,

m ( 8) =

1

1

-<8 <

_1_

п = 1, 2,

— ;—г-, если

л+1

п

п

-|-1 ’

1,

если

8 =

1.

бого

б о е[0 , 1] можно

указать

такой

модуль

непрерывности

со6 е

2 j , что будет выполняться равенство

\

(So) =

m (8o)-

(Г-7)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

При 6= 0 и

6=1 неравенство

(Г.6)

обращается в равенство для любого

модуля

непрерывности

сое Q,. Поэтому будем считать, что б е (0 , 1). Пусть при неко­

тором п

1

п

п+ 1 < 8 <

Тогда в силу II и (Г.З) получаем

1 = со ( 1 ) = со ( (п + 1 ) • ^

) < (П + 1 ) ш

<

< ( Я

+ 1) СО(о)

=

откуда и следует (Г.6).

/

Зафиксируем бо^(0, I), выберем натуральное щ из условия

^ q r y - ^ ° o < — и построим модуль

непрерывности co^eSj,

для

( кйЬ, если 0 -< § < - !---- 80,

и 1

^ ^ п0

и’

1 г ,

если 4~ — во < 8<

§о,

«о Н~

V— 1

если

+ 80 < 8 ,

"*.(8>=

! 5Й ГГ+4« 8

По

Щ

t п о

\ \ : п п

у-Л

е с л и ^ < 8 < ^ + 80, ѵ е [ 1 : Яо- 1 ] ,

Й Г -

/70 +

1 - ’

■ "

«о

1,

если о >

1,

где k0 =

^

-~ 5оу •

На рис.

2

изображен

вид функции

(о5о (8) при «о=1

и /г0 = 3.

“ (S) > T ^ T -

(Г.8)

Действительно, при

6= 0 и. 6=1

неравенство

(Г.8)

очевидно.

Пусть ô e ( 0, 1)

и ^ j

5 <

. Тогда в силу

(Г.6)

получим

- Д т < Д

Д

= Д

г т = м и

< “ (8)-

Утверждение доказано.

и любого со е

Qi

С л е д с т в и е

2. Для ô е [0, 1 ]

Д 5 ) > 1 § .

(Г.9)

Это очевидным образом следует из (Г.8).

В неравенстве (Г.9)

константа -у не может быть

заменена

на большую. Действительно, допустим противное. Тогда для

любых б е

[0, 1] и ш е й і

будет выполняться неравенство

.

» (8) > (4" + е) s-

(ГЛО)

Пусть

для

определенности

0 < е < ; - ^ - .

Зафиксируем

80е

^

2с

, lj

и рассмотрим

модуль

непрерывности,

(8),

для

которого выполняется

равенство

(Г.7). В силу выбора е

имеем у

< 8 0 <

Г. Поэтому

°Ч (S0) =

т (%) =

~2 <

Е) V

что противоречит (Г. 10).

Ô

1

На рис. 3 изображены все три миноранты: m(ô),s-q—j и -у-8.

4.

Пусть

теперь

м е Й

— произвольный

модуль

непрерыв­

ности. Зафиксируем два значения

бі и бг

(бг>0, бг^б і^О ) и

покажем, что

Действительно,

допустим

противное. Тогда найдется

точка

а'і œ (0, я), для которой

tpÄ(JCi) =

min tpft (A ) < 0 .

Имеем

®'k (*1) = cos л-j + cos 2xt + . . . +

cos k x t = Dk (хД —

=

sin [k -I- - i - j x x— sin - i i

—

n ■ x i

~

2 sin ~T

Отсюда sin (k +

x x = sln 4 p . Так как | cos 2 1= Y 1—sin2 2, то

=

А.

c o s ^ .

= Sin

(cOS Щ - —

COS ( k

+ 4 “] * 1 ] > 0,

получаем

0 > cpft (x,) =

(x,) +

> <P*_ 1 (-«1),

T. e. фй_і(А!) ^

0.

Но это противоречит индуктивному

предпо­

ложению.

Итак, для всех а œ (0, я)

?*(■*)>

min

срй( г ) =

min

{срА(0), <р* (те)’} = 0.

ге [0, я]

Неравенство (Д.1)

доказано.

Аналогично доказывается и второе неравенство:

<Р„ (х) <

it — X для всех X ее (0, те),

которое можно переписать в виде

Ф„ (*) < тс для

всех

X ее (0, я),

(Д.2)

ярл (х) на

[0, я]

не

может

достигаться

во

внутренней

точке

отрезка [0, л].

противное. Тогда найдется

,

Действительно, допустим

точка

X2œ (0, л), для которой

àf, (х,) =

шах

ф/. (х) >

л.

,ѵе|П,Е|

Имеем

'Ь (JC3) = 1 +

cos х 2+

cos 2xj

cos kx> = Dk (x2) +

4 - =

sin I k +

- І - 1*3 +

sin

= 0.

: sin -Xo

Отсюда

sin [k-{- — | x 2 =

sin-к1- и

cos ( k +

x 2

= cos-

Учитывая, что

siaÆx, =

— sin

[cos — +

cos (k + ~

) ^2 ) < 0,

получаем

* <

% Ю

= V i W

+

< V i (-«a).

T. e.

(x2)

л.

Но

это

противоречит

индуктивному предпо-

ложению.

(0, л)

Итак, для всех х е

Фй(•*) <

шах

(г) =

шах {ф/г (0), фй (л)) = л.

2і=[0,г.]

2

sin kx

(Д-3)

k

k—n.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Неравенство

(Д.З)

достаточно дока­

зать для X е = (0, я ) . Но в этом случае

4 ^ 1 S in k X

IC — • X

так что

2d1

т ~ — ~

’

2

Sin k x

І

~~1

' Л - 1

! =

Теперь (Д.З)

очевидным образом следует из теоремы Д.1.

2. В этом

пункте будет

доказано

неравенство С. Н. Берн­

штейна для производной тригонометрического полинома.

Лемма Д.1. Если, тригонометрический полином

Тп(х) по­

рядка не выше п обращается в нуль в 2п+\

точке полусегмента

[О, 2л), то Тп (х) = 0 .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

П

Тп (х) = А +

У

(а,, cos kx + bk sin kx)

fe =

l

и Xs œ [0,2я), s= 1,..., 2/г+1, суть

корни этого

полинома. По

формулам Эйлера имеем

Тп ( х ) = А +

J

а„ _eik x +

e ~ ik x

glttX— g--i kx

+

bk

2Г

k = 1

2п

=

2

dke ^

= e ~ ^

2

dk - n ^ x-

fe=- и

1

ft = 0

Заметим, что точки

= elXs являются корнями алгебраического

2п

полинома P2n(z) =

2

dkп2'1■

Поскольку xs

принадлежат

k = о

[0, 2я), то точки zs попарно различны,

а

так

как

их число

равно 2 п + 1 , то Pîn(z) = 0 .

Учитывая,что

Тп(х) =

e~inxP2n[elx),

получаем требуемое: Тп(х)=0.

Лемма доказана.

Тп (х) — произвольный

тригонометри­

Теорема

Д.2.

Пусть

ческий полином порядка не выше /г. Тогда

М С / г Ц Д ,

(Д.4)

IТУ I< ,Т IТпI

(Д-9)

* В [35] и [6] получено обобщение неравенства (Д. 9)

на случай дроб­