Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

С л е д с т в и е. В условиях леммы Б.2 выполняется неравен ство

			+	(Б.5)
Это следует из (Б.З) и леммы Б.1.
Теорема Б.1.	Пусть	Рп{х) — произвольный алгебраический
полином степени не выше п и
		max	\|Я л(л:)\|-<Т.
Тогда	1Л‘1< 1
Тогда
	max		I Рп (л) \| <	AL,
	л-£1-1,1}
где А — абсолютная константа.
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Положим Qn(z) = Рп
Очевидно, что
	I	max	I Qn (z) \| <	L.
	I	Z I <	1
Если 1 < \| г ( < ;і	-f-	то в силу (Б.5) получим

< L	H -	i-M^3		< AL.
< L	H -	n		< AL.
Таким образом,
	max		I Qn (г) [ < AL.
Пусть теперь х — произвольная точка из отрезка					[—1, 1] и
г = --- —j —. Тогда Рп {х) = Qn (z). Поскольку \|г \| <					1 +	, то
1 2яТ
\|Qn(z) I ^ AL. Значит,	\Рп {х) \| ^			AL и, следовательно,
max		[ Рп (х) I <; AL.
■Л-£[-1,1}

Лемма доказана.

3.Лемма Б.З. Для полиномов Чебышева имеет место пре

ставление \

t M = ^ { - \ ) kK^ F Ck^ k2n2k- 1x'l--k.	(Б.6)
k = о

9 0

Д о к а з а т е л ь с т в о . При п —1 и /г= 2 равенство (Б.6)	про
веряется непосредственно (см. (Б.2)). Предположим, что	(Б.6)

имеет место для всех натуральных п, не превосходящих т, и до кажем его справедливость для п = т + 1. Для этого заметим, что из очевидного тождества cos (m +1 ) Ѳ+ cos {m — 1 )Ѳ= 2 cos Ѳcos mQ после подстановки Ѳ= arccos x следует

t,n+1(^) ~	^m—1	m =	2, 3,...		(Б.7)
Рекуррентное соотношение	(Б.7) справедливо			для х е	[—1, 1],
а значит, и для всех вещественных х.			и	(Б.7),	имеем
Пользуясь индуктивным	предположением

ІТ-.

tш-Ь 1( х ) = У, (-1 )*

Ä = 0

+ й2= 1

Заметим, что
m п ъ	I	m— 1 n k—1
лг — /г	и -	m — £ m—k

При четном m в силу равенств

We	Q/д—2ft OT—2Ä+1		+
^ т — k Л		ж	+
W - 1	сутп— 2k	m—2Ä+1
^ m—		X

ш \ пі+ \ — k

	[ m		+ 1 =	m + 1
	"2			2
получим		!
	'т+ 11
tГП+ 1 (X)	2	•(	/Я -г 1		2йчm4-l—2Ä
	1	•(	/Я -г 1		2йчm4-l—2Ä
	1	< H	т + ! _ А ^m+1-kZ		X

Нетрудно проверить, что последнее равенство справедливо и при; нечетном т. Лемма доказана.

В дальнейшем нас будут интересовать в основном полиномы Чебышева нечетных степеней.

Пусть N — нечетное число. Тогда из (Б.6) после подстановки

N — 2k = 2j + l получим		'
	N- 1
tN М - 5 ]( - !> * ,£ * ( Л . ,2 " -“ - ^ - “
	1^0
N - 1	N - 1■- J.			ІУ -І
2	N - 1■- J.	К___~J пѴ	2/+1 _ V	2
( - 1)		К___~J пѴ	2/+1 _ V	л<Л'>зА'Т1
( - 1)	N-1-1 °ЛГ+1		^ л	— /	\| ЛІ л >
S	—9---- 1-7 ~			У =	0
у = о	2			У =	0

где

		N	N- 1
		N	c ЛЧ2 -1	'	(Б.8)
		N + 1 '	c ЛЧ2 -1	'	(Б.8)
			2 +^
Следующая лемма — вспомогательная.			Она	будет'	исполь
зована при доказательстве леммы Б.5.
Лемма Б.4. У функции
f ( л ) = CLXX	1 -у- Cl^X	— . . . —}—О.Щ + 1^		,
где все сіі отличны от	нуля и	< % < ■• • < ^m+i— любые ве

щественные числа, не может быть более m положительных корней.

Д о к а з а т е л ь с т в о . При m = 1 лемма очевидна. Пусть она верна для какого-нибудь значения m, а для m + 1 неверна. Тогда найдется функция

f {х) = сіхх 1-f- О'іХ “	.. + &т+ \хь,п+ \ -\-а,п.Ѵ2Х п11”,
число положительных корней	которой больше,	чем tn + \. Все
эти корни будут также корнями функции
-Щ *- = ах+ а2х 2 h + ... + a m+xx 'm+l h ~h' -		2X- - W a

Но тогда по теореме Ролля производная этой последней функ ции будет иметь больше m положительных корней, что проти воречит допущению, ибо эта производная имеет вид

Ьхх х4- Ь.гх 2 +

хх т+\

Лемма доказана.

Лемма Б.5. Пусть N — нечетное число и QN (X) — произ вольный нечетный алгебраический полином степени не выше N:

N- 1

<2лд-*о = У П лД/+1- У= о

Тогда

[а, \| < U H	max	\QN (X )\,	(Б.9)
где ДуѴ)— коэффициенты, полинома		Чебышева	tÂ\{x).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что при некотором /
\|а; \| > \| Д Н	max	\|( М * ) \|.	(Б.10)

Введем полином

,4(Л')

ЛГ-І

Дѵ ( л )

c »X2A + 1

=.tN { x ) - - - L - Q]V(X) =

Положим

ft=0

/Ѵ-1

W(}>) =

с у .

S = 0

/V —1

У полинома

W (у)

не более чем —^— отличных от нуля

коэффициентов

(Cj = 0).

Рассмотрим

узлы

у,

= cos2

0ыN — 1 Очевидно, что

1 — Уо >

Уі> • • • >

Удг_і >

°-

< Найдем значения W (у)

в узлах уу.

Яд/ I cos

Â{N)

(

W ( у;) =

/71

17.

( - D 1---- ~ Q N [ ^ S ~

COS

cos ■

Учитывая

(Б. 10), заключаем,

что

W (у)

меняет

знак при пере-

ходе от уі к уі+1 и, значит, имеет не

менее

чем

ZV — 1

—^— положи

тельных корней. Это, однако, противоречит лемме Б.4.

Лемма доказана.

[ Q.r(х ) | <11,

С л е д с т в и е . Если в условиях леммы Б.5 max

то для j

/V— П

0:-

будет

\ а . \ < {Ы + 1)2/+1

1 V 1 ^

( 2 у + 1 ) ! •

Действительно, в силу (Б.9) и (Б.8)

N - 1

2/+1

7V + 1

+ J M

іа/ і < 2Ѵ

. с л Д . ~ ! < 2

/V — 1

-У)!(2/-Ы)!

—ö---- h j

д-j

—

92/4 - 1

[

92/ + 1

/Ѵ+ 1

< ( 2 у Ч - 1 ) !

{ N + Л

( 2 / + 1 ) !

- У '

N + 1 \2	/Ѵ + 1	^ ( / Ѵ + 1)2' + 1
	2	^ (2/ + 1)!

Утверждение доказано.

4. Следующая теорема используется в основном тексте. Е доказательство базируется на свойствах полиномов Чебышева, приведенных в предыдущем пункте.

Теорема Б.2. При любых натуральных р, m и		п найдется
алгебраический полином	Qn (xf' степени не выше п такой, что
для X<= [ — 1, 1] будет*
	пу
где константа Арт зависит только от р и ш.
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Рассмотрим вначале случай р=1.
Если п ^ 2 т — I, то	можно положить Qn (z) =	l. Действи
тельно, тогда

Поэтому в дальнейшем будем считать, что п> 2т — 1. Обозначим через N наибольшее нечетное число, не превосхо-

дящее	2п	+	1. Очевидно, N ^s 3. Кроме того,
дящее	2т — 1	+	1. Очевидно, N ^s 3. Кроме того,
			п	/	1	1	2т — 1
	П ^ п		2л 1	^	2	1 п	(Б.11)
			2т— 1		2т —1	п

Рассмотрим полином Чебышева tN{x). В силу (Б.8)

			N - 1		Л '-1
			N - 1
			2		2	4 N)x J+1■
i N (X) =		(-1 ) *		N x +	2	4 N)x J+1■
Отсюда					i = 1
Отсюда
				N —1
	x = b0t „ ( x ) + %				c*)xV+\
N -	1			7 = 1
N -	1
где bQ= (— 1) 2	-jj-. Теперь заметим, что
				(2s +	1) N -	1
					2
/,Ѵ+1 ( X )		=	hsx 2s+ll+		2	dJS)x2J+1’
				j = S + 1
причем
				7V~1
	A ,=		( - l )	2 ^	+1ф 0 .

(Б.12)

(Б.13)

(Б.14)

* P. M. T p и г у б [32].

	СМ			5 =•• 1		2			tn — 1, имеем
Полагая.последовательно bs =— —			’	5 =•• 1		2	’’	‘ •’	tn — 1, имеем
	*	hs	’		*’		’’	‘ •’
N - 1		З.Ѵ- 1
2				(2)	2у+1
2 4 Ѵ	' +і = ы ?ѵ (* )+	2		(2)	2у+1
2 4 Ѵ	' +і = ы ?ѵ (* )+	2		с'-
				* Л
У = 1		j =	2
ЗЛГ-1	5 / V - l

V	4 V '‘« - é ^ w +		y		(Б.15)
j =	2		7 = 3
(2m - 3) A '- 1			(2m-I) Л'—1
			(/n) Д/ +1
			7
j = m— 1			j = m
Объединяя	(Б.12) и (Б.15), получаем основное тождество
	т — 1
	• *.= 2 ^	+I( x ) + x 2m+,Q(x2),			(Б.16)
	j== О
где Q (г) •— полином, степень которого не превосходит
{2m- \)N- {2m+\) _			(2m- l)(W- l)	1	•
	2	~	2	1	•

Таким образом, Q(z)—Qn{z). Покажем, что полином Qn {z) — требуемый. Для этого на основании (Б.16) и (Б.11) достаточно установить, что

		777-— 1				л(і>	(Б.17)
		2	м	г 1(X)	< -	л(і>
		2	м	г 1(X)	< -	дг~
		j = о
Продифференцируем				тождество		(Б.16) 2ѵ+ 1	раз,
1 ^ V	— I, и положим х=0. Это даст
		j2v+l	т—1			= 0.
		йх,2ѵ+Г 2		b*tN	(X)	= 0.
			s =	О		Х = 0
Учитывая	(Б.13), записываем
	аъ+1 ,2ѵ +1, ,				Ä,(2v +l) l
	dx	*N		(■*)	Ä,(2v +l) l
	dx			л- =	0
и при s €= [ѵ + 1 : tn — 1]
		d2v+1		Jts+i.
		dx,2v+			Jf=0
					Jf=0

Значит,
J2V+1 V		- 1					= — A,(2v +			1) \b*.	(Б.18)
dxS T							= — A,(2v +			1) \b*.	(Б.18)
dxS T
	i = 0				Л' —	0
Положим
						(2ï+ 1) N -		1
<W > N ( X ) = ^ +1 ( x ) = .							V	tff'x2l+ \
							j=0
Поскольку max		1G(2j+]) N (x) \| =				1, то в		силу		следствия из
леммы Б.5 будем иметь
		d f \ <		((2s +		2) N f i + 1
		d f \ <			(2у+1)1
					(2у+1)1
С другой стороны,
1			10, если		2ѵ 4- 1 > (2s -f 1 ) /V,
dx2T+ T Î N + 1 { X )			lrf^(2v +		l)!		в противном случае.
	,v=o		lrf^(2v +		l)!		в противном случае.
Таким образом,
	d2'!+1					<	((2s+	2) TV)		2ѵ+ 1	(Б.19)
		Т $ +1(*)		д-=о		<	((2s+	2) TV)			(Б.19)
	2л2ѵ+-			д-=о
Учитывая	(Б.18),		(Б.19)	и (Б.14), для ѵ е					[1 :т— 1]		полу
чаем
					5 = 0
Поскольку			1	I	I<	л (3)			: т ~ 1 ],		откуда
Поскольку	I ЬйI — -дГ > то			I	I<	~іг ' ѵ е [1			: т ~ 1 ],		откуда
следует неравенство			(Б. 17), а вместе с ним и неравенство
		\|A ' - x 2m+1Q„(*2) l < 4 f						•			(Б.20)

При р=1 теорема доказана.

Возьмем натуральное р>1. Если п ^ т ( р — 1)+р, то можно положить Qn(z) = l. Действительно, в этом случае

I ^ _ x P+b*Qn [х 2) I < 1 < ^ ( Р - ))+Р) Р .

Поэтому будем считать, что п>т(р — 1) +р.

9 6

п — т ( р — 1)

Заменим в неравенстве (Б.20) п. на N =

возведем его в степень р. Тогда получим

					а р
	х р + ^	Csp ( - \ ) sx p- sx {2m+1)sQ%{x2)	<	- Л т
	х р + ^	Csp ( - \ ) sx p- sx {2m+1)sQ%{x2)	<		~ЙР'
или
X	х Р-\-Ъп 2	s - \ n s !х Ц т (J -1 )		■	лР	(Б.21)
	х Р-\-Ъп 2	( — 1 ) J _ 1 C		•( р
	S =	1		•( р
	S =	1

Сумма, стоящая в левой части последнего неравенства, есть полином относительно х2 степени не выше т (р — I) + N p ^ n . Обозначим его через Pn(z). Полином Pn {z) — требуемый. Дей-, ствителы-ю, в силу (Б.21)

\ х Р- Х Р+2тРп{х2) \ ^ < Np ‘

Осталось заметить, что

J_	< J _ . ______ 1’______. ________P_______ L <
N	n n — m(p— 1). j	j	m (p —	l) + p n	'''•
	p		n

<p(m(p—\)+p+ 1 ) - ^ .

Теорема доказана.

С л ед с т в и е . При любых натуральных p, m и п найдется алгебраический полином Qn(x) степени не выше п такой, что для X œ [0, 1] будет

\x r - XP+”Qn(x ) \< ± bfL .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно в теореме Б.2 заменить р на 2р и X 2 на х.

В.Кратное интерполирование

1.Пусть заданы числа

■*і. Уі.У{1).---.у{в,“ 1),

*2. У2>У ^ , - - - > У ^ _1),Х

(V -1)

Хт> У«. Уй}. ■ ••- Ут

и пусть У аг = /г+ 1 . Требуется построить алгебраический по-

і= 1

лином Ln (X) степени не выше п такой, что

■	(а*) = yik) ( s e [ l : m ] , £<=[0 :0, — 1 ]).

Поставленная задача разрешима и притом единственным образом. Это следует из того, что линейная относительно коэф

фициентов полинома Ln (x) однородная система (ад) = О имеет только нулевое решение, ибо полиномом n-й степени, имеющим с учетом кратности п+1 нуль, может быть только по лином, тождественно равный нулю.

Очевидно, L„ (х) может быть представлен в виде

аі~1

Ln{x)= У

У у \» Н і}{х),

(В.1 )

іТ і f T О

где Ніі{х) — полиномы

/г-н степени,

определяемые условиями

’ 0,

если

s Ф і,

Ігф j,

[*.)

если

s =

г,

если

s =

г,

k — j.

Действительно,

ГП аі 1

а -1

IÏ’M “2 2 Л Л 'М “ 2 yWM-y?’.

I = 1 j = о

у=0

Покажем, что

(х \

— 1

Q 0-')

‘ у

1 [ (■* — -*г)иЛ (ѵ)

f r

— x V 1

(R 9)

(х-Х;)°Г'

2 і

ѵ!|_ Q(JC)

Іѵ^д-Л^

Xi) ’

(B-2)

-1= 0

где

2 (A') =

fl (A — A;)“

/ <= 1

Пусть яфі. Так как

Ни (х)'= (а — AJ)a^Qy (а), где Qij{x)

полиномы степени п — as, то

H if (Ai) = 0 для

£<= [0 :as — Г], / е

[0 :ог — 1].

Далее Нц {х) = (х — Хі)іРі}{х) ; отсюда

H tf (а,-) = 0

для k е

[0 :j

— 1 ].

Осталось показать, что

Н \Н х і) = 1;

Н ${ { х і)

0 для

kf=[j +

1 :о( — 1].

(В.З)

По формуле Лейбница для й-й производной от произведения двух функций получим

(

)

(

й(л)

]

P W " 1

[(А-АгУО(V)

Q(x)

Ml}

Л W

.(х— *йХ

J U

V !

Jѵ=і- Х

V —

■‘+J

s (Л

(ft-P)

X (X — Х,;)Ѵ

р =}

(Х— x{fl ,v- = .v;

(P—J) ! X

(P-J)

{X — Xifi

S {X)

JA- = Xt p\

Воспользуемся равенством

c kCjp =

CJkCpkZjj. Это даст

и « 1w

c i

е д

j Г

1(ft-P)

(x —Xjfl

(p - i )

[(X-

Xi) \ X= X, L

Й ( Л

p=y

k~J .

J(ft- j - 1) Ux-xtfï](0

c i - J

JBOi

(JC— Xi)al_x = xl

Я4

1 = 0

W I d k ~

a (x)

(x — xi)ai

— bft

—

(.X —Xifl

a W

dxb-j

откуда и следует

(В.З). Утверждение доказано.

jct= —1;

х2=1; аі =

Рассмотрим

частный

случай: т = 2;

= а2= г+ 1 .

силу (В.1)

и (В.2)

получим

следующее

пред

ставление для интерполяционного полинома:

L2r+iW =

(1 — *2У [y[»ar. (x) +

yU)brJ {x)),

(B.4)

j =;°

где

arj(x)

и brj(x) — некоторые

алгебраические полиномы сте

пени не выше 2 (г —j) +1.

Г.Модули непрерывности

1.Пусть f(x) — непрерывная на отрезке .[а, Ъ] функция. Положим

ш(8) = о) (/;	8) =	sup \| / (-»Ci) —/ ( * 3) 1 ,
	I -^i —''’a ! ^ 3
	х 1гл\л<=[а} Ь]
где 0 ^ ô < oo. Функция	со(Ô)	называется модулем непрерыв
ности функции f(x). Модуль		непрерывности обладает следую
щими свойствами:

I.со(0) =0;

II.со (б) не убывает с ростом ô;

III.Для любых неотрицательных ôi и б2

ш(^і + 83) о* (8j)-J-<о (82);

IV. со(ö) непрерывен на [0, оо].

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ