книги из ГПНТБ / Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций

Примеры.

Пусть z—некоторое

комплексное число. Исследу­

ем

сходимость

рядов.

2"

(0! = 1).

л = 0

Ï !

+

2!

+

-

+

п\

Используем

признак

Д а л а м б е р а :

lim

•«•/1+1

lim

2Л + 1

• ni

=

lim

/ / - И

Л - * •»

и - ~

г

li m

1 ,

0.

1

„ - „ /г-гі

Следовательно,

ряд сходится

при любом 2.

2.

~5/і -

1

z

+

V

( —

— -

= -

- -

3!

1

U

(2 / 7 - 1)!

1!

~5

г 2 л

-1

"ВТ

12л —1)

1

' ••'

По

признаку Д а л а м б е р а

этот ряд сходится

при любом z.

3.

V ( — 1)" —

1

+

2! ' 41

l i m

Z,i\\

= lim

2

2 " . (2« — 2)!

= | z 8

| lim

1

= 0.

(2/7.)!

z 2 " - 2

(2//-1)2/7

П -* со

Л — 0°

П о признаку

Д а л а м б е р а

этот

ряд сходится

при любом z.

4.

л - С

Здесь

л

/"

л

l i m ' " ] / 12„ I = l i m

1/

По признаку Коши этот ряд сходится

при

| z [ < l и

расходится

при \ z\ > 1 . Составленный

для этого ряда ряд (3)

V

I z"

I

= 1

2 »

л = 0

при | z | = l расходится,

ибо модуль его общего

члена

равен

еди­

нице и не стремится

к нулю. По этой

причине

расходится

при

бом z Ф О, сходится

только при z = 0.

§

2. Функциональные

ряды

Пусть в некоторой области D

заданы

функции

f\{z),

f2(z),...

/ „ (z), . . . Составим ряд из этих

функций

V / „ (г) =

/,(z) + f2(z)

+ . . . + / „ (г)

+ ...

(4)

Определение

1.

Множество

точек, в которых ряд (4)

сходит­

ся,

называется

о б л а с т ь ю

с х о д и м о с т и

этого ряда .

Пусть

/.(г)

+ Ь ( г ) +

. . . + /„(г) = S „ ( z ) ,

В

области

сходимости

ряда

определена

ф у н к ц и я — с у м м а

ряда

f(z)

= \\m

Sn (z) .

П -

ео

Остаток

р я д а —

# „ ( z ) =

/(z)

- 5 „ ( 2 ) = / « + i

(z) - r / „ + 2 ( z ) - t - ...

В каждой точке

области

сходимости

ряда

(4)

lim R„{z) = 0.

П - es

Другими

словами,

если ряд в точке z сходится, то для

любого

в > 0 можно

найти

такое

число /V, что при n>N

остаток

ряда

удовлетворяет неравенству

J R„ (z)|<e .

Это

число Л' зависит

не

только

от е, но п от взятого

z:

/ Ѵ = У Ѵ ( Е , Z ) .

Определение 2.

Р я д

(4)

называется р а в н о м е р н о

с х о д я ­

щ и м с я

н а м н о ж е с т в е

т о ч е к

В,

если

для любого

е > 0

можно найти такое

/V, что при n>N

будет" | / ? „ ( г ) | < е для всех z

из

В.

Здесь

номер N зависит

лишь от е,

но не от

г.

2 2" сходится

в

круге

| z ' | < l

(см. пример

4 § 1 данной г л а в ы ) .

Н а й д е м его сумму. Ч а с т н а я

сумма

S„(z)

=

l + z

+ z

2 4

- .. . + z » - i =

I = £ » .

Так

как

zn

-> 0

(ведь

| г | < 1 ) , то

Поэтому

т^—

=

У.

z".

Остаток

ряда

RN

(z)

= f(z)

- S „

(г) =

1

1—z

1—г

1—г

П о к а ж е м , что наш ряд V

z"

сходится

равномерно

в любом

зам -

кнутом

круге

\z\

:

1—Ô,

( 0 < ô < 1 ),.'целиком

л е ж а щ е м

в

круге

И < 1 .

Действительно,

для

любого

z из

круга

|z| <

1—6

верно

неравенство

\—z

<

( 1 -^3 ) "

(1—о)"

ибо

1 — б < 1 . А это

означает,

что по любому е

Но lim — ^

= 0,

п - ~

rj

можно

подобрать

такое

число N. что

как

только

n>N,

так сей-

час ж е

1

1—о|"

образом, для

всех z

из

круга

|z| <

1—б

— , — L

< s . Таким

о

(1—5)"

справедливо

неравенство

| j

z

<

— р

< г

при /;>/Ѵ .

Здесь

найденное Л' зависит только от е и не зависит

от z.

Этим

и до­

казана

равномерная

сходимость

прогрессии 2

*"

в

любом

круге

\z\ < 1—о .

л = 1

Но в самом круге

| г | < 1

ряд

хоть

и сходится,

но

неравномер­

но. Действительно,

осуществить

неравенство

\R„

(z)

| < е для

всех-

z и для

n>N

невозможно, ибо каково

бы ни

было взято

п

Д л я

установления

равномерной

сходимости

часто

удобно

пользоваться

признаком

Вейерштрасса .

любых п

и z

из

D

| /„ (z)

| <

а„, то ряд

V fn

(г)

сходится в

D

равномерно.

л-1

Доказательство

Пусть

/'„ — остаток

числового

ряда,

Rn

(z)—функциональ­

ного. Тогда при любом z из D имеем

\R„(z)\

=

\f„+l

(z)-\-fn+,(z)

| < | / , 1 М ( г )

Ц - | / я +2(г) | 4- ...

<

•< а„+і 4-

ап+-: + ...

= г„ .

Из

сходимости

числового

ряда следует,

что

r„ - >0, а это

озна-

« - -о

чает,

что

по любому

е > 0 можно

найти такое ;Ѵ (УѴ = /Ѵ(е)),

что

как только n>N,

так

сейчас

ж е

/ ' „ < е ,

следовательно

тем

более

\Rn(z)\<e

при

/г>УѴ,

при любом

z из £>.

Пример

2.

-v.

gtt

Р я д

V —;,

сходится

равномерно в | г | < 1 .

Дейст-

~

1

л=1

z"

1

<

при всех z из \z\

< 1 и

—-

—

вительно,

ряд

^

—г сходится, а

я -

и1

/ ; = І ,

2, . . .

'Отметим

без

доказательства

некоторые

в а ж н ы е

теоремы

о

равномерно

сходящихся

рядах.

Теорема

2.

Пусть

/ 2 ( г ) , ...

... —

непрерывные в D

функции. Если ряд V

f,( (z)

сходится

в D

равномерно, то

сумма

ряда j'(z)

непрерывна

в

D.

Теорема

3.

Пусть

/ і ( г ) ,

/ 2 ( 2 ) ,

. . .

f„(z),

.. . —непрерывные в D

функции,

а ряд

V

fn(z)

сходится в D

равномерно к / ( z ) ,

тогда

L

C

D

,

л-1

есл и

то

H

(z)

dz

=

V

Un (г)

dz

,

т. е. ряд

можно

почленно интегрировать вдоль любой

кривой

L

из

D.

Теорема 4

(Вейерштрасса) .

Если

функции

j \ (z),

f2(z),

. . .

/„

(z),

. . . регулярны

в D, а

ряд

.-о

fn

(г)

сходится

в D равно-

V

л=1

мерно к f ( z ) ,

то f(z)

регулярна в D.

'

Замечание

1.

При условиях

теоремы

4 ряд

V

/„ (z)

можно

почленно в D сколько

«=.1

дифференцировать

угодно

раз,

т. е:

fx"H~±

ff

(г)

•

л=1

Замечание

2.

Теоремы

1—4

останутся верны, если область D

заменить связным

множеством,

например

крпвоіі L . Тогда в тео­

реме

3

интегрирование

можно

производить

по любому

участку

этой

кривой.

.'§ 3.

Степенные

ряды

Определение

1. Функциональный

ряд

вида

с 0 - К

(z—a)

+ с2 (z—а)2

+ ...

4

сп

(z—a)

"

\- ...

=

=

V

с„ (z-a)",

(5)

/1=0

где г — к о м п л е к с н а я

переменная,

а

сп

п а постоянные,

назы­

вается

с т е п е н н ы м

р я д о м .

Теорема

1 ( А б е л я ) . Если степенной

ряд

(5) сходится

в

точке

г0=?==<7, то он абсолютно сходится в-круге

\z—a|<[z0—о\\

а

в

лю­

бом

замкнутом круге

\z—а

| <

р (р <

| г 0 — а\)

сходится

равно ­

мерно

(рис.

30).

Доказательство

Из сходимости

ряда

(5) в точке

z0

вытекает,

что общий

член

ряда

со

c„(zo—а)"

стремится

к нулю, т. е.

lim

c„(z0—а)"

=

0.

V

л=0

сп (za—а)"

"

Тогда

переменная

является

ограниченной

(теорема

2,

§ 3,

гл. I I ) , т. е. существует такое R,

что для всех

п

\сп

{z,-a)"\<R.

Д л я

замкнутого

круга

\z—а|<р,

поэтому

имеем

с„

(z—a)

* I =

I с„ (zo-a)"•

'

Z

~ u

zo-a

\c„{z0.-ay

z—a

{zo-a

так

как

-.—-—<1,то

числовой ряд

У

\

( -;— — .-

I

] (геометрнче-

Uo—a\

и

£ 0

\z0—a\

е к ая

прогрессия)

сходится,

а

вместе

с

ним

сходится \н

ряд

R • 2

[:

j

J

. Тогда

по

признаку

Вейерштрасса

из

(6)

вы-

л - 0 \ І Г 0 ~ а \

j

Т е о р е ма

2.

У любого

степенного

ряда

(5)

существует

круг

сходимости

]z—Q)<R,

который может вырождаться в точку

z —а

(случай /? = 0)

или

во

всю

конечную плоскость

(случай

R =

cn),

Р а д и у с сходимости степенного

ряда

можно

найти,

пользуясь

признаками

Д а л а м б е р а или Кошм. По

признаку Д а л а м б е р а

по­

лучаем, что

ряд (5) сходится,

если

I і ш

С + 1

(z—а)"+'

<

1.

С„ ( 2 - 0 ) "

и расходится,

если

lim

сп

(г-а)

"

1.

// -

Но

с „ + і

Vz—a V

um

=

\z—a\

• lim

сп

(z-a)»

Я - ^

Поэтому

ряд сходится,

если

\z—a\

<

1

— lim

g/i+l

lim

n - с о

C„

л — »

и расходится,

если

Jz—а\

lim

Cn + l

л -*co

Т а к им образом, радиус

сходимости

ряда

(5)

R

=

lim '

С "

С л - И

Пользуясь

признаком

Кош и,

можно

показать, что

радиус R

степенного

ряда

может быть

найден п так

«

=

І і ш л

4 г г

•

Примеры.

у

\сн\

I . Радиус

сходимости

ряда

^

п\

(z—/)"

л = 0

R =-

lim

( « - D !

If in

-

/г

-

=

0.

ni

Этот ряд сходится

лишь

при z = i.

-

(2— 1)"

2. Р а д и у с

сходимости

ряда

2

2"~п2~

3. Р я д

»

( 2 + 9 ) "

сходится

при любом

конечном

z,

так

как

2

іг~

имеет бесконечный

радиус

сходимости. Действительно,

/? =

lim

„

—

=

lim

п=

оо .

Обратимся теперь

к свойствам

суммы / ( г )

степенного

ряда

с 0 4 - с ,

(z-a)

+

с 2

( Z - Ü ) 2 + ».

+

с„

( 2 - й ) " +

...

=

/

( 2 ) .

(7)

Если радиус

сходимости

этого

ряда

ЯфО,

то

ряд

по

теореме

Абеля сходится равномерно в любом круге \z—а\

где

R\<R.

Тогда по теореме

Вейерштрасса

f(z)

регулярна в этом

круге, а

значит регулярна и во'всем круге сходимости \z—a\<R.

Из

за­

мечания

к

теореме

Вейерштрасса

вытекает

возможность

по­

членного

дифференцирования

ряда

в

круге

сходимости, т. е.

можно

записать

Г (г)

=

с{ -4- 2с2

(z-a)

+ ...

+

псп

[z-a)

" - ' - f

•••

;

/"(z) = 2 с а

+

3 - 2 с 3

(z—a)+

...

+п(п-\)

сп

( z — о ) " - 2 + . . .

;

/<">(г)

= л !

с„ +

( « + ! ) !

сп+і

(г-а)+

...

П о л о ж и в

здесь z = a, получаем,

что

Па)

„

fW{a)

2!

'

"

/г!

'

Тогда ряд (7) запишется в виде

/<*)

=

/ < « )

+

^

( г -

о

)

+

^

- (

^

- о

)

'

+ ...

+

+

Ä

( z

_ a )

»

+ ...

(8)

Теорема 3. С у м м а степенного ряда

(5) регулярна в круге его

сходимости. При этом р я д (5) является рядом Тейлора

своей

суммы.

Эта теорема позволяет утверждать,

что полученное

л ю б ы м

5*

67

§ 4. Р я д ы

Тейлора

регулярных функций

Теорема

1. Если / ( г )

регулярна в

круге

| z — a \ < R ,

то она в

этом круге

р а з л а г а е т с я

в ряд

Тейлора.

Доказательство

Возьмем

в круге

\z—a.\<R

произвольную

точку

z и

проведем

окружность

L : \z—a\

= Rl(Rl<R)

так, чтобы

точка

z попала

Рис.

32

внутрь

круга

\z—a\<Ri

( р и с . 3 2 ) .

Так

как / (z)

регулярна в

[z—ß| <

R\, то в этом круге

можно

применить к /(z)

интеграль­

ную формулу

Коши

(§ 5, гл.

3)

/

w

1

г /

а

д .

(9)

2,і

і

С-

П о к а ж е м ,

что

интеграл

(9)

можно

представить

в виде

сте­

пенного

ряда. Д л я

этого

дробь

т—^

преобразуем

так:

,—z

1_

1

1

X - z

С—a—

(z—а)

.у

1

,

z—а

(r-.-a)

1 — _ — -

4

С—а

Так как точка с берется на

L (\"-.—а \ =

/?,</?),

а точка

z за­

фиксирована

внутри

круга

| z — a \ < R \ ,

то

z—а

z—a

Ri

Если

обозначить

z—a

через w,

•

то

функцию

\ — w

можно

, — а

'

рассматривать, как

сумму

сходящейся

в

\ w\ < 1 геометрической

прогрессии

*

=

1 + та' +

и)2 +

... 4- wn 4-

1—да

которая

в

| д а | < / ? < 1 сходится

равномерно. Тогда

функциональ ­

ный ряд

г-а

1 С - а

^ С—а У ^

+

[ï-a

J +

-

1

С - а

сходится

равномерно на о к р у ж н о с т и ! . Следовательно,

ряд

Z=z~

-

- t t

+

<£=är

+

-

+

(C-a)»+» + -

'

1

(

1 0 )

отличающийся

от предыдущего

лишь

с по-

множителем

——

шь

г -

сто я иным

на L

і

і

і

11

равномерно

сходится

модулем

-а

-75-, т о ж е

А 1

I

fin

на L. В этих условиях подинтегральную

функцию

^

м о ж н о

Ж . =

Ш . + _ / R _

( z _ f l )

+

+ _ _ Ш

_ {

z _ a ) n

+

После

интегрирования

Пг)

_ - L -

f

^

d -

+

—

i

-

^ c T

-

л.

r (

)

2rU

J

C—a

2 «

l

(C-a)*

* '

'

(Z_a)«. с

/о

Таким

образом, получаем, что в любой

внутренней

точке

кру­

га \z—a\<R

функция [ ( 2 )

разлагается в степенной ряд

f(z)=c0

+ cl (z—a)

+с2

(z—a)2

4

... +cn

(z—a)"

+ ... ,

С " =

" 2 І Г 1

( ; - a ) W Ä

-

» = 0 , 1, 2, ...

(12)

Здесь L — л ю б а я

окружность

с центром в точке z = a,

л е ж а щ а я

внутри

круга \z—a\<R

и обходимая

против

часовой

стрелки.

Вместо окружности L можно

взять

любой

другой

замкнутый

контур

L , , с о д е р ж а щ и й

внутри

точку

z = c, ибо по интегральной