книги из ГПНТБ / Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций

выполнение

У С Л О В И Й

Кошн -- Рнмана —— =

дѵ

'

дѵ

du

dx

ду

~дх

ду

а при

дополнительном

предположении

днфференцнруемости

функции и(х,

у)

и t'(.v,

у)

условия

Кошп - Рнмана

являются

и достаточными

для

днфференцнруемости

f{z).

Определение 2. Ф у н к ц и я / ( z ) , дифференцируемая

во всех точ­

ках области

D,

называется

а и а л и т и ч е с к о й

млн

р е г у л я р -

и о й

в этой

области.

Определение 3. Функция

/"(г)

называется

а н а л и т и ч е с к о іі

или

р е г у л я р н о й

в т о ч к е

2,

если она

регулярна в неко­

торой

окрестности

этой

точки:

Определение 4.

Функция

f(z)

называется

р е г у л я р н о й

Рассмотрим

функцию іс> = f (z),

дифференцируемую

в точке z,

причем

Г (z)^Q.

Функция

w=f(z)

переведет некоторую

окрест­

ность точки z в окрестность

точки гс\ Тогда точки

z

и

z -І-Дг

окрестности z перейдут соответственно в точки w

и w-\-Aw

окре­

стности

а1 , а произвольная

кривая

у, на которой

л е ж а т точки г

гг zH-Az,

перейдет

в крпгую

Г,

па

которой

л е ж а т

точки

w

и

;:Ч-Лсс. Вектор-хорда Az,

сое.'чпшюшаи

точки

z и z-j-Az па

\\

и

ректор-хорда AU; 1 , соединяющая точки

со п со + Лса па

Г,

имеют

длины

соответственно |Az| и |Лсс[

(рис. IRK Отношение

длин

этих

I АсСІ

хорд равно

- .

.

I

à

z ;

Пѵсть А~-:-0, тогда точка г-j

Az

no

у

стремится

к г,

a се + Лсо

по

Г стремится

к се.

Предел

lim

, ч ~ ,

называется

к о э ф ф и -

Лг-0

I

~ I

и и е и т о M л и и е и и о г о р а с т я ж е н и я. Но

..

| Д И У |

=

..

Azt'

lim

- рт —

р

lim

іг-П

I -iZ

j

"Дг"

І2-0

поэтому модуль производном характеризует изменение линейных

размеров

в точке

z.

Итак,

геометрический

смысл

модуля

производной

заклю ­

чается

H том,

что

| f (z)|

равен

коэффициенту

линейного растя­

жения

в точке

при отображении

£' — / ( z ) .

Пример

1. Так,

при

отображении

функцией

!с>=4г'! —5?-|-1

ко­

эффициент линейного растяжения равен-

w'\ — \ Viz2—5|.

В

точке

z =

1

I w'

I — 7,

т.

е.

линейные

размеры

в этой

т о ч к е

у в е л и ­

чиваются в 7 раз.

Обратимся теперь к выяснению'геометрического смысла аргу­

мента производной. Аргумент Az

— угол

между

вещественной

осью плоскости z и вектор-хордой Az,

argA-cC— угол

между

ве­

щественной

осью

плоскости се1

и вектор-хордой

Aw

(рис.

16).

А-гс — arg

АСА

против

часовой

стрелки. Но

arg

Az = arg

" д " •

При

Лг - ЧІ

н А:с-»-0, а направление хорд Az

и Асе' стремится

к иапрасленню

касательных

к

кривым

у п Г в точках z и w со-

lim -

(Ѳ - « ) = lim -

д ~

= arg / ' (z) = f t 0 — ?

0 .

Гакпм образом,

геометрический

смысл

аргумента

заклю ­

ч а е т с я в том, что arg/'(z)paBeii

углу

поворота

кривой у

в точке z

при отображении

w =

f(z).

Рис.

17.

плоскости z равен по величине и по направлению

отсчета

углу

между кривыми

Г. п Г2 плоскости

а>,

соответствующими

уі

и уо

при отображении

tc' = / ( z ) .

Это свойство

отображений

называется

с в о й с т в о м

к о н ­

с е р в а т и з м а

у г л о в .

Определение

1. Отображение

xu = f(z),

о б л а д а ю щ е е в точке z

свойством

консерватизма углов,

и

постоянством

линейных

рас­

тяжений,

называется

к о н ф о р м н ы м

в

э т о й

т о ч к е .

Определение

2.

Отображение

w = f(z)

называется

к о н ­

ф о р м н ы м

в

о б л а с т и

О

если

оно

конформно в каждой

точке области

D.

В дальнейшем 'будем отмечать

не только величину угла, но

и направление его отсчета.

Под

направлением

отсчета

будем

понимать направление, в котором

надо

по кратчайшему

пути

в р а щ а т ь

первую

сторону .угла до ее совмещения со второй сто­

роной угла.

Таким

образом, мы

будем

отличать

углы, отсчиты­

мых в противоположном

направлении .

Конформное отображение сохраняющее углы как по величи­

не, так и по направлению,

называется

к о н ф о р м н ы м

о т о ­

б р а ж е н и е м 1 - г о

р о д

а.

Конформное

отображение 2-го

рода

изменяет направление

отсчета углов.

рода

во всех

точках, в которых производная

функции

отлична

от нуля.

.

Пример

2, Отображение iv=az-\ b конформно

на

всей

плоскости

т.

к.

w'(z)~a^0.

Это

конформное

отображение

1-го рода.

Пример

3. О т о б р а ж е н и е

w = z2

конформно

всюду,

кроме

z=0,

т. к. w'(z)=2z=£0

всюду,

кроме

Z

— Q .

Пусть

z=re'f,

w=peie,

тогда

p — r-,

Ѳ = 2? .

Отсюда следует,

что

при

этом

отображении

все точки, л е ж а щ и е

на

л у ч е

arg;2 =

cp0, п е р е й д у т

в точки,

л е ж а щ и е

на

л у ч е argio =

290 , а

т о ч к и ,

л е ж а щ и е на

окружности

I z

I = / ' о , — в

точки,

л е ж а щ и е

на

о к р у ж н о с т и

3 Зак. 227

33

Рис. 19

Если f(z)

регулярная

функция

в некоторой

области,

то ото­

бражение

ze = ((z)

—

конформное

отображение

2-го рода везде,

где / ' ( г ) = 0 ,

так

как

здесь

имеем

дело с наложением двух ото­

бражений:

w\=f(z)

— конформное

отображение 1-го

рода и

w — w\ —

зеркальное

отображение .

§ 1.

Интеграл функции комплексного аргумента

Понятие

гладкой кривой.

Пусть z{l) — к о м п л е к с н а я

функция

действителытого аргумента

/, определенная для t £ \ t u

t.,\. З а д а ­

функций ,ѵ(/) и ! / { / ) таких,

что

'z(l)

=x(t)'+

iy(t).

Взяв

z

опреде­

ленное ^oG [ Л .^ЗІІ получим

на

комплексной

плоскости

опреде­

ленную

точку г ( / 0 ) =

x((0)+iy{t0).

Если

ж е

переменная

/

(ее на­

зывают

п а р а м е т р о м )

пробежит

последовательно

все - значения I

от t\ до

h,

то точка

i{t)

зачертит

некоторую

кривую.

Пример:

z{t)

=

eu,

—

Здесь

| г ( / ) | = 1,

параметр

/

играет

роль

аргумента

комплексного

числа z(l).

При

непрерывном изменении

/ от — я д о я точка

про­

бегает

окружность | г | = 1 от г ( — п )

—е~ы=

— 1 до

z (х) = еіг-=

— \

(рис.

20) .

І 2 Ё

J—>x

3*

35

Определение 1.

Плоская

кривая

г{() {t^f

•:'/.,)

называется

г л а д к о й , если функция z(l.)

имеет

в

[/,. to]

непрерывную про­

изводную z'(I) =7=0.

Условие гладкости

означает, что

направление

нием точки касания .

Определение 2. Плоская

кривая

z{t) ( ^ , < ^ < Д . ) называется

к у с о ч и о - г л а д к о й, если

она

состоит из конечного числа

нейшем будем иметь дело лишь

с

кусочно-гладкими кривыми.

Интеграл

от функции

комплексного

переменного.

Пусть в

не­

которой ограниченной области D плоскости z задана

однознач­

ная непрерывная

функция

w=f(z)

=

/ (X

-Ь і\>) =

и (X, у)

+

іѵ (х,

у)

и пусть

L—некоторая

кусочно-гладкая

кривая из D,

с

концами

в точках

z = a и z =

b.

\ .

Р а з о б ъ е м

L

произвольным образом

точками

z0—a,

z,,

z2,

z „ . i ,

zn

— b

на п

участков,

обозначим

zK — zK-.\

= AzÄ =

=SxK

+

i\yK.

2. Выберем на к а ж д о м участке

(zK

i ,

zK)

кривой

L

произ ­

вольную

точку

я к + ' ? к

1 1 вычислим

в

ней

f

( f j j .

3.

Составим сумму произведений

аи= v

f^K)àzK.

Сумма

ап ,

вычисленная

для

определенного

разбиения

кривой

L

и определенного

выбора

точек

' І к .

называется

и н т е г р а л

ь-

н с и

с у м м о и

функции

f(z).

довательности разбиений кривой

L ,

удовлетворяющих

условию

( 1), называется и н т е г р а л о м

от

ф у н к ц и и /(г)

в д о л ь

к р и в о й L и обозначается символом

Доказательство

П о к а ж е м ,

что lim оп существует

и не

зависит ни от спосо-

бон

разбиений

кривой L , ни от выбора

точек т\к.

Действительно,

lim

о„ =

li m 2

[а(ак,

Ѵк,)+ІѵЫк,

ß j ] •

{bcK+i

Ьук) =

=

lim V

{[ « ( V

Лл-„ -

V (аА .,

6 J Д )

Ѵ ] +

/

[ г, (^,

j j j д ^

+

+

и К .

Р«) Д У„] ) =

Hm 2

[ « К ,

ß«)

-

f

(««, h)

Д У*1 +

- И lim 2

f ^ K , ß«) Д ^ + и ( о Ж 1

У

Ду/J .

л - - ѵ /.-=і

Из

непрерывности /(г)

в D следует

непрерывность и (х,

у) и

с (л\ //)

в соответствующей

области

'плоскости оху,

кривая

L —

ных сумм

существуют

и

равны

криволинейным интегралам .

Таким образом,

имеем

>

\

f(2)

dz

= \

и{х.

у)

dx

— v(x,

у) dy

-Î-

ï

I

+ i\

ѵ(х,

у)

dx-\-u{x,

у)

dy.

(2)

Используя

(2), можно

показать, что на интеграл от комплексной

функции распространяются

на свойства

криволинейных

инте­

гралов данные

в вещественном

анализе . Так, например,

величи­

на - интеграла зависит от направления на

кривой

L, т. е.

в а ж н о

какой конец L начало, какой — конец пути интегрирования. От­

мстим еще одно

свойство.

Т е о р е м а 2.

(об оценке

интеграла) . Если на кривой L дли ­

ны / | / ( z ) | < Ж , то If/ ( г )

dz1

к

Ml.

К І Ч Ѣ f(i*)

д * « i < 2

Л г * І = Ѣ І / Ы Н Д * * ! < -

К=\

K"l

к - 1

л

А так как lim у\ | A z K | =

/,

то

к = 1

I Г /'(z)r/z

1 =

1 lim

a l

< /И lim V

!д г Л . ! = Ж / .

I I

1

I л - ~

I

( ( . = 1 I

I

нейным. Д л я этого в подннтегральноіі

функции следует

выделить

действительную

и

мнимую

части

f(z)=u-±-iv

и

умножить

и-\-іѵ

на dz =

dxJridy.

В результате подинтегральное выражение

примет

вид

/ ( г ) dz = (и-\-іѵ)

(dx

+ idy)

=

udx

— vdy

+ i (vdx

+

udy).

Пусть

кривая L

задана

параметрически:

x=x(t),

y =

y(t),

t 0 < t < T .

Буде м считать, что началу

кривой L

и концу

ее соответ ­

ствуют значения

параметров

t=t0\\

t—T,

т . е . zQ=

X (t0)-\-i

y(t0),

Z — x(T)-{-iy(T).

Тогда

\f{z)

dz

= j udx — vdy

+ l

f vdx

4- udy

—

L

L

L

=

f I " [X (О,

У (0! x\t)

-V

[ л- ( 0 , y(t)]

y'{t)\

dt

4-

'o

+

ij{v[x(t),

y(t)]x'(t)

+ u\x(t),

y(t)\

y'(t))

dt

=

=

S\u\x(t),

y(t)\ -iv[x(t),

y(t)]\.{x'(t),

1 / ( 0 )

<rt

=

. 0

= J / [ z ( 0 ] - 2 ' ( 0

dt.

to

Итак,

справедлива

ф о р м у л а

\f(z)

dz=(f\z(t)\-z'(t)'dt.

( 3 )

Из определения интеграла функции f(z)

следует, что его зна­

чение зависит, вообще говоря, не только

от Функции

((z),

но и

от пути интегрирования L , т. е. соединяя

концы пути

интегриро­

вания а и b различными

кривыми L \ и L 2

из области

D и

вычис­

ляя J f(z)dz и J'f(zlffe ,

мы получим,

вообще говоря, разные

числа. Возникает вопрос:

каким условиям

д о л ж н а удовлетворять

функция

f(z)

д л я того,

чтобы значение

ее интеграла

не зависело

от пути интегрирования, а определялось лишь положениями

на­

чальной

и конечной точек пути? Если

(рис. 21)

а — начало, ft —

конец на

произвольных

кривых

L,

и L - , из

D

и ]' f(z)dz

=

= J' l(z)dz

,

то

Рис.

21

J

f(z)dz

-

J

/

(z)tfz

=

0

II

j

f(z)

dZ+

j

/ ( z ) r f z

=

j

/

(z)rfz

= 0 .

Здесь з а м к н у т а я

кривая

aL\bLza

обозначена через L .

Так

как L \ и Li

произвольны,

то L — произвольный

замкнутый

кон­

тур из D, обходимый против

часовой

стрелки.

Наоборот,

если j

/ (z)dz

=

0,

то

отсюда

с л е д у е т

что

Г f(z)dz

= j 7

(z)dz.

Теорема

1 (интегральная теорема К о ш и ) . Если f(z)

регуляр­

на

в односвязиой

области Д а / .

— любой замкнутый

контур из

D,

тогда J J(z)dz=

0.

I.

Доказательство

Д о к а ж е м

теорему в предположении,

что

производная f'(z)

непрерывна

в D. Д о к а з а т е л ь с т в о

теоремы

без

этого предположе -