книги из ГПНТБ / Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций

6.

w=e'az,

a — действительное число. При этом

преобразова­

нии о = г, Ѳ = да + я. Следовательно, к а ж д а я точка

z остается

на

своей

окружности \z.~r

и лишь

поворачивается на

угол

а,

т.

е.

отображение

w—e'''z

сводится

к повороту вокруг точки

z =

0

на

угол

а (рис.

13).

7. Функция

w = z-\-b

осуществляет

сдвиг

плоскости

на

век­

тор Ь. Рисунку 14 соответствует

/> = ß,-j-i

[і,.

Здесь при

г=х-т

іу,

w=u+iv

имеем

« = JC-}-£!,,

v

=

y+^.2.

8. w = az+b.

где а=ке,а,

z.

b = ßl + ißo.

Это

линейная

функция

комплексного переменного

Отображение

посредством

этой

функции

можно

рассматривать как результат 3-х

последова­

тельных

отображений W1

= KZ, w2=ëia- w,,

w3=w=w->-\-b.

Таким

образом,

л и н е й н о е

о т о б р а ж е н и е

w = az + b

сводится к

р а с т я ж е н и ю

(сжатию )., п о в о р о т у

и с д в и г у .

гп=*п+1Уп,

л = 1,2,3, ...

положительное

число /Ѵ = /Ѵ(е), -что

как только ii>N,

так

сейчас

ж е

|г„ — г

I <

г.

Если z -— предел

последовательности

г„,

то

говорят

еще,

что

последовательность zn

с х о д и т с я

к z.

2„->г.

Определение 2. Число со называется

пределом

последова­

тельности 2,,, l i m г „ = о о , если для

любого

е > 0

найдется

такое

У Ѵ> 0 , Ч Т О

а-"

как

только n>N,

так сейчас ж е \z\

>

s.

Определению конечного

и бесконечного

предела

последова­

тельности

можно

придать

следующую

г е о м е т р и ч е с к у ю

ф о р м у:

Последовательность z„

называется сходящейся к z,

если для

л ю б о г о , F > 0 все точки (последовательности,-начиная

с

некоторо­

Д л я

случая

конечного предела

последовательности

справед­

лива

следующая

теорема:

Теорема 1.

Соотношение

lim (л-„ -} /у„)==л-

і іу

эквивалентно

двум

соотношениям

lim

л'„ = л",

lim

\'„ = у.

Доказательство

1.

Пусть

lim

(x,r'riyn)^=x-{-iy.

Требуетея доказать,

что тогда

lim

х„ — х,

lim у„ — у.

Действительно, так как г„-->г,

то по любому е > 0

можно

паи-

ти

N>0

такое, что для

n>N

\z„-z\

=

/

(x-xf~+

( у „ - у ) 2 " <

s.

Но

ведь

I xn—x

I <

I z n - z

| <

г,

| у „ - у | <

| г „ — г | <

г

д л я n>N

Отсюда видно, что выполняется следующее: для

любого

е > 0

можно найти такое N, что выполняется

| xn

— x | < s ,

лишь

только

/7>Л'

и I у„ — у I <

s, лишь

только

»>/V,

а

это

п означает,

что

х„^х,

у„->у.

2.

Д о к а ж е м

обратное

утверждение. Пусть лгл->-л*

и

)'„-»->'.

Требуется доказать,

что тогда

zn->z.

П *» et

Л -» ^

Так как А ' „ - > Л -

и у „ - ^ у , т о

по

II - -V

можно

найти

такое N,

что

в > 0

« - ^

и - о=

как только

n>N,

так сейчас

ж е

\хп—х|<

Е Л

,

I ѵ„— vi < - 4 - .

Д л я

таких /7

выражение

IZ »--Z I =

I ' (•*„ - * ) Ч (У„ - )У2

/

s-

-у + ~2

< ] /

=

£'

т. е. для

е > 0 найдено

число

N

такое,

ч т о | г „ —z\

< s ,

как

только

/г >

/V.

Определение 3. Последовательность

z„

называется

о г р а н и-

ч е и н о й,

если

для

всех

n существует

число

R

такое,

что

| г „ К Я .

Геометрически

ограниченность zn

означает,

что

существует

круг радиуса R

с центром в точке z = 0,

в .котором

находятся все

то ч к и п осл едо в а тел ь ности.

Теорема 2. Если последовательность имеет конечный предел,

то

она

ограничена.

можно

найти

Л^>0 такое, что все z„,

у которых

n>N,

попадут в

круг J z„—z

I < s и N точек

Z\, z2 , .. . • z,\

останутся

вне этого круга.

Возьмем такой круг

в котором

находились

бы

все*2і,

z2 ,

. . . zx

и круг

I

z—z„< s . Существование

такого

круга | z

|</?,

в котором

находятся все точки последовательности,

и

доказыва ­

ет

теорему.

Пример.

Справедливо

у т в е р ж д е н и е

Приводим без

доказательства .

§ 4. Предел функции: Непрерывность

Пусть

некоторая

однозначная

функция

комплексного

пере­

менного l l ' = / ( Z )

определена

в

окрестности

точки

z0.

В

самой

точке 2о функция

может

быть и не определена:

Пусть

w0

конеч­

ное или бесконечное комплексное число.

Определение

1.

Число

w0

называется

пределом

функции

ïv = f(z)

при стремлении

г к г „ .

ш 0 = 1 і т / ( г ) ,

(3)

•г-Zu

если

для

каждого

е > 0

найдется

такое

ô > 0 (ô = ô ( e ) ) ,

что

w = f

(z)

отобразит

все

точки

ô-окрестностн

точки

z0

(кроме,

может

быть, самой точки z0)

па точки

е-окрестности

ш0 .

Это определение можно сформулировать

и иначе, при помощи

неравенств.

Так,

например, если

г 0

и х'0 —конечные

числа,

определение

(3)

можно дать в такой

форме:

число œ'0

называется

пределом

функции /(z) , при стремлении z к г0 , если для любого

е > 0

най­

дется

такое

ô > 0

(Ъ — 3(E)),

что

неравенство

\f(z)~гг»0

| <

е вы­

полнится,

как только выполнится

неравенство

z — z0

< ô . Д л я

случая,

когда

z0

— конечное,

w0

— cn,

определение

предела

можно

дать

такое: оэ называется

пределом f

(z)

при стремлении

z к zo, если для любого

е > 0

можно

найти

такое

ô > 0

(ô =

ô ( e ) ) .

что

неравенство]]/"(z) | > s

выполнится,

как

только

будет

выпол­

нено

неравенство

| z — z 0 | < o .

lim / ( Z ) =

™ u t ^ C O

и

l i m / ( z )

= co.

Предоставляем это

читателям.

Теорема 1.

Если

lim / ( z )

=

іаиф со,

то ф у н к ц и я / ( z )

рестность

точки z0 . Здесь

ô = ô ( M ) .

Доказательство

Если z0

конечное число, то на основании

определения 1 функ­

ция w=(f)z

отобразит б-окрестность точки

Zo на е-окрестностъ

тачки ai0 .

'

Поэтому,

если \z—z0|<ô,

то \f(z)—wa j <s . Последнее .нера­

раз /(г) окажется

внутри

круга с центром в точке wQ радиуса е.

Очевидно,

существует

такой

круг | w\<CM,

который

содержит

внутри себя \w— ш 0 [ < £ .

В этот круг

попадут и все точки w = f(z),

попавшие в круг ]f(z)—tc'o|<e,

т. е. для них будет выполнено

неравенство

\f(z)[<M.

Д л я 20 = ооокрестность

] z — z 0 ] < ô

заменяется при доказатель ­

стве лишь

окрестностью со, т. е. | z | > ô .

Если w0 = иа-\-i

t'o, a zp-=x0

+ i _у„,

то аналогично

т е о р е м е

1 § 3 м о ж н о

д о к а з а т ь

с л е д у ю щ у ю

теорему:

Теорема 2. Комплексное соотношение

lim

f(z) = wQ

Z - Z u

эквивалентно

двум действительным

соотношениям:

lim и (х,

у) = и0,

lim ѵ (х, у) = ѵ0.

х - х а

.ѵ-.ѵ„

У - Уо

>'-Уо

Можно т а к ж е

доказать, что все правила

действий

с преде­

лами функций

действительных

-переменных

распространяются

без изменений

и на пределы

функций

комплексного

перемен­

ного.

Пусть

функция /(z) определена

в окрестности точки z0

и в са­

мой этой

точке.

Определение 2.

Функция f{z)

называется

н е п р е р ы в и о й

в т о ч к е

Zo,

если

I i m / ( z )

= / ( * „ ) .

(4)

Z - Z 0

Воспользуемся

определением

1,

сформулированным с по­

мощью неравенств для конечных z0 и w0

и, обозначив z—ZQ = A Z —

приращение

аргумента,

f(z)— f(zQ)

=

— приращение

функ­

ции, условие

(4) запишем

в виде

lim Aw = О,

часто употребляемом. Сохраняя

старую терминологию,

назовем

б е с к о н е ч н о

м а л о й

функцию, имеющую

своим пределом 0.

Определение 3. Функция

называется и е п р е р ы в н о й в

о б-

л а с т и

D,

если

она

непрерывна

в

каждой

точке

этой

об­

ласти. Ma основании изложенного можно

доказать

следую­

щую

теорему.

Теорема 3. Утверждение,

что функция zv=f(z)

непрерывна в

точке 20

эквивалентно утверждению, что функции

и (к, у)

= Re/(z)-

и ѵ (х,

у) =

Im f(z)

непрерывны

в точке (х0,

у0).

Теорема приводится без доказательства .

Примеры.

1.

Рассмотренная

ранее

функция zv — az-rb

являет­

ся непрерывной на всей конечной плоскости. Действительно,

если

•wa~az0-i-b,

то

w-wn^az-\-b

— (aztl-\

b)

a

(z

z„),

поэтому

Arc' = (?Az

в точке

z„. И если

A z - H ) ,

то и

Д - І С - К ) .

2.

Функция w =-4~

непрерывна

на

всей

конечной

плоскости,

кроме

точки

z = 0 , в которой

она не определена.

Действительно,

если

г0=<--0. то

/ ( г 0 ) =

-^,

w—w0

- - - —

^

и Дш =

— ^ -

Az, так

как

гФО,

z„=M),

то при Дг - Ч ) имеем

Z-ZQ

Пусть

в окрестности точки

гфео

определена

однозначная

функция

w—f(z).

Возьмем

в

этой

окрестности другую точку

z + A z M вычислим в н е й / ( z - i

l^.z). Составим приращение функции

bw=*f(z+bz)—f(z).

Определение 1. Если существует

Д-сіі1

конечный предел lim . — , то

Д2-ОД£

он называется

п р о и з в о д и о й функции -w — / ( z )

в точке z, а

сама функция

называется дифференцируемой в точке z.

Употребляются

обозначения

Д г - 0 л2

ИЛИ

d m

Aw

(5)

=

LIM —.—

dz

ДГ-О

Az

Здесь

имеется

предел при

Az

->0,

т. е. при условии, что

точка

г + Дг

стремится к точке

г, причем стремление это должно

осу­

ществляться

по любому

пути.

Это условие и накладывает на

дифференцируемую

функцию

комплексного а р г у м е н т а / ( г )

более

реицируемость

функции

/ ( г ) в точке z влечет и непрерывность

функции в этой точке, но не наоборот.

Пусть w = f(z)

= u(x,

у)~\-іѵ(х,

у).

Допустим,

что f(z)

дифференцируема

в точке

г. Пусть

Дг=Дл- + і Д у ,

Aw

= j(zA-Az)

— f (z)

= ii(x--Ax,

у4Ду)

+

+

i V (х+Ах,

у + Д у ) — и (х,

у)—

i V (л-,

у ) = и (х+Ах,

у + Ду) —

—

и(х, у ) - М

[v{x+Ax,

у + Ау)—ѵ(х,

у)] = Д « ( л ,

y) + iAv(x,

у).

Тогда

lim -

Aw

=

,.

Аи(х,

у)

+

іАѵ(х, у)

.

^

lim -

Ах+іАу

Д 2 - 0

û

Д.ѵ-0

ДѴ-ll

Этот предел существует и не зависит

от

способа

стремления

Az к нулю.

Пусть (рис.

15, и)

Az=Ax

( Д у = 0 ) .

Тогда

lim

=

lim

An(x,

у)

Дх

Ах

Д.1--0

Д.1~0

У)

ди(х,

у)

дѵ(х,

у)

Ах

дх

+ і

дх

Пусть теперь

(рис. 15, б) Az — /Ду (ДА-

0).

Тогда

f'(z) = lim

bLi±jWï^y±

=

_]

да (х,

у)

Ду^О

ду

дѵ(х,

у)

да(х,

у)

,

дѵ(х,

у)

+ 1

ду

ду

ду

Полученные выражения для f?(z)

равны

ди(х,

у)

.

дѵ'(х,

у)

: -

да

(-Ѵ, у)

дѵ (л\ у)

дх

дх

/

дѵ

поэтому

du

(x,

y) __

дѵ

(x,

y)

dx

-

d'y

àv{x,

y)

du(x,

y)

(6)

dx

dy

Условия

(6)

называются

у е л о в и я м и

К о ш и - Р и м а н а

(условия

С.—R.)

или

Э й л е р а - Д

а л а м б е р а.

П о к а ж е м , что если функции

и(х,у)

\іѵ(х,у)

(6)

дифференцируемы

в точке

(х, / / ) , то из выполнения

условий

будет

следовать

диффеоенцкруемость

функции

f(z)

в точке z — х

-і- і\>. Действи­

тельно, еслѵ\і((х,

у)

и V

(х,

у)

дифференцируемы

п точке

(х,

у),

тогда

да

, .

<

? «

. ,

.

.

Ди

=

ду

А у -|- а,Дх

-г а,Ду,

Дг»

=

Лл--

где

а.,, ß,, ß2

стремятся

к

нулю,

когда ДА- и Ду стремятся

к нулю.

Так как условия

( 6 ) , по

предположению,

выполняются,

то

можно

ввести

обозначения:

du

дѵ

= CL,

du

àv

=

b.

dx

dy

dy

~dx~