книги из ГПНТБ / Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций

Если функция w=ez

полосу (рис. 68)

о т о б р а ж а е т па всю

плоскость

to

с разрезом

вдоль отрицательной части веществен­

ной о?н,

то

обратной

функцией

для

нее

будет

регулярная

функция

z =

ln w = ln I w

I i arg да,

—

<

arg to <

- .

Пример.

Отобразить

область м е ж д у двумя касающимися

о к р у ж н о с т ь ю

и

прямой

на полуполосу,

именно

область

J -

> - L

R e z > 0 на 0 < І т а д < ~ ,

0 < R e « y < + oo

2

"

2

отобразится в полосу. Функция и>!=

переведет нашу об-

ласть

в полосу

(рис.

70).

Очевидно, если z — ai

(а — вещ . ),

то

Wi=

і

, если

ж е

z — a,

1

,

1

a

то ш , = — , т. е. функция и\ =

z

a

точку полосы.

Ф у н к ц и я

ш 2 =

•ке1-

• шя=

Ыті

преобразует

нашу полосу в

горизонтальную

полосу

ширины те

(рис. 71)

Ф у н к ц и я

w-j = ew> п е р е в е д е т эту

полосу в

в е р х н ю ю полу ­

плоскость. В

примере 2

§ 5

показано, что ф у н к ц и я

w=

плоскость (рис. 59). Значит,

функция ш 4 из

„ , =

/ _ j ± 5 i \

Рис. 70

Рис. 71

сделает обратное о т о б р а ж е н и е , т. е.

ф у н к ц и я

Рис. 72

Рис. 73

Главная

ветвь л о г а р и ф м а

wb=\n

wt

п е р е в е д е т этот

полу ­

круг

в п о л у п о л о с у (рис.

73).

И з

полученной полуполосы по­

л у ч и м

н у ж н у ю , п о в е р н у в

данную

на

угол « и подняв ее

затем

вверх

на к

единиц

Рассмотрим такое движение .несжимаемой однородной

жид ­

кости

(или г а з а ) , при

котором

скорость

каждой частицы

есть

вектор,

параллельный

одной и

той же

плоскости Оху,

и за­

кость. _В таком случае изучать движение

всей жидкости можно

по движению проекций частиц жидкости

на плоскость Оху, т. е.

зывается

п л о с к о - п а р а л л е л ь н ы м

движением .

Оху.

Итак,

рассмотрим

движение

жидкости

в

плоскости

Пусть

д в и ж у щ а я с я

жидкость

занимает на плоскости

область

D.

Будем

считать,

что

оставшаяся

область

плоскости

Оху з а н я т а

неподвижными

твердыми телами,

обтекаемыми

жидкостью .

В точке М(х, у)

из D вектор скорости жидкости имеет проекции

и(х, у)

и

ѵ(х,

у),

которые

мы

будем

считать

непрерывными

функциями

в D.

Пусть

/ — некоторая

кривая

в D;

п—нормаль

к кривой, проведенная в каждой точке

/ в одну

определенную

сторону

от

нее,

t—направление

касательной

к

/ такое, что

по­

Н о

л

/ л

л

dx=ds-

cos [х,t) =

rfs-cos

x,ti

-f

2

cfs-sin (Jc,n)-=

= — r f S ' C O S

(n,y),

dy = ds-cos

(~

x,t

\ = ds • sln(x,t)=ds

> sin (x,n +

)

=ds-<zos(n,x).л

П о э т о м у

(11)

запишется

теперь

так:

\ itdy

—

vdx.

(12)

Предположим, что D\ CD

и что внутри Dx

нет ни источников,

откуда

жидкость

могла

бы

появиться,

ни

стоков,

куда

она

могла бы вытекать. Тогда

количество

жидкости,

вытекающее

из D и втекающее туда будет одинаково, т. е. общий

поток

ж и д ­

кости через / будет

равен

нулю

(13)

Поскольку

/ — произвольная

замкнутая к р и в а я

области

D,

условие

(13) в ы р а ж а е т независимость

криволинейного интеграла

от пути. Если

ж е предположить,

что функции

и(х,

у)

н ѵ(х,

у)

имеют и непрерывные частные производные, то

из теории

независимости

криволинейного интеграла от пути в D из

(13)

следует,

что в D

_ди_

д(-ѵ)

дх

ду

•

{

І Ѵ

Уравнение

(14)

называется

у р а в н е н и с м

и е р а з р ы в-

н о с т и

дл я несжимаемой

жидкости .

Рассмотрим

теперь криволинейный

интеграл

(15)

Если предположить, что в некоторой

односвязной

области

D2c.D

циркуляция скорости

вдоль

любой

замкнутой

кривой /

С D2

равна нулю; тогда опять по

теории

независимости

криволиней­

ного интеграла (15) от

пути

в D2

будет следовать,

что

ди

_

дѵ

ду

дх

ИЛИ

да

д

(—ѵ)

~ду~~

дх~

•

(16)

дѵ

du

дх

ду

Вихрь скорости характеризует вращательное движение ж и д ­

кости,

а

условие

(16)

означает, что вихрь скорости в любой

точке D2

равен нулю.

Предположим,

что

в D2

выполнены

одно­

временно

и

уравнение

( 1 4 ) — э т о означает отсутствие

источни­

ков и стоков, и уравнение

( 1 6 ) — э т о означает

отсутствие

вих­

рей. Уравнения (14) и

(16),

как

мы

у ж е

знаем,

являются

урав ­

нением

К о ш и - Р и м а н а

для аналитической

в D2

функции

f ^ ^ u i x

,

y)

—

iv{x,

у),

z=x+iy.

Функция

f\{z)

имеет

своей

первообразной

функцию

f(z),

которую

можно найти

в

дайной

односвязной области D2 с

точ­

ностью до произвольного постоянного слагаемого .

Функция

f ( z ) ,

д л я

которой

f(z)

=

u-iv,

называется

к о м п л е к с н ы м

п о т е н ц и а л о м

или

х а р а к ­

т е р и с т и ч е с к о й ф у н к ц и е й

т е ч е н и я .

f'(z)—

AZ

ді. —

л!,

до

ду

дх

дх

ду

П о э т о му

до

до

дх

ду

д'і>

д-1)

дх

• = — ѵ.

—^— = и.

'

ду

Отсюда следует,

что

( х і

У)

-

+

Следовательно,

^ ' И Л ' ,

}') — — v d x +

udy.

(-ѵ.У)

о (х,

у)

=

»(*„, у0 )-г-

j

udx

+

vdy;

,У)

( Л %

) ' ) =

Ф (*п . Уо) +

I

— vdx

+

udy.

Функция ср(.ѵ,

у ) — в е щ е с т в е н н а я часть

комплексного

потен­

циала

называется

п о т е н ц и а л о м

с к о р о с т е й ;

функция

•ф(-ѵ> У) — м н и м а я

часть,

комплексного

потенциала — называется

ф у н к ц и е й

т о к а .

Рассмотрим

семейство

кривых

и

? U , У) = const;

(17)

•Ь(х,

у)

=

const.

(18)

Н а

кривых

(17)

do

= udx

+ vdy

= 0.

(19)

Эти

кривые

называются

л и н и я м и

р а в н о г о

п о т е н ­

ц и а л а .

На

кривых

( 18)

ФЬ =—

vdx

- j -

udy =

0

или

-

*

L

=

- *

L .

(20)

U

V

Эти

кривые

называются

л и и и я м и

т о к а .

Условие ( 1 9 ) — у с л о в и е

перпендикулярности

векторов

и.-\-іѵ

Отсюда непосредственно вытекает, что линии

равного потен­

циала

и линии

тока

взаимно

ортогональны;

из

совпадения

вектора

скорости

с

касательной

к линии тока

вытекает, что

л и н и и т о к а с о в п а д а ю т с т р а е к т о р и я м и

ч а с т и ц .

Пусть теперь

область D содержит отдельные точечные источ­

ники,

стоки или

вихри (т. е. точки, в которых вихри отличны от

н у л я ) .

Исключим

их из области. Получим

многосвязную об­

ласть D', к к а ж д о й

односвязной подобласти

которой применимо

скоростью

и + іѵ,

является однозначной в области D' аналитиче­

ской

функцией. А функция

f(z)=q> + ity, будучи

вообще говоря

многозначной,

как и раньше

будет комплексным

потенциалом

движения жидкости, р а с п а д а ю щ и м с я

в к а ж д о й

односвязной

подобласти

D\c.D'

на однозначные аналитические

ветви. Та к

как

производная

от каждой

из них совпадает с одной и той ж е

функцией

и — іѵ,

то

различные ветви

комплексного

потенциала

могут

отличаться

только

на постоянное

слагаемое .

Сделаем

вывод из всего

сказанного

выше. Мы показали, что

к а ж д о м у плоскому установившемуся движению

несжимаемой

жидкости

в некоторой области D соответствует функция f(z) —

комплексный

потенциал

движения — аналитическая

во

всех

точках

области D, за исключением тех точек, в которых имеются

источники,

стоки

и вихри.

Функция эта вообще

многозначная,

но ее производная,

сопряженная

со скоростью и + іѵ,

является

однозначной. Границу области можно рассматривать

как сово­

купность

очертаний

(проекций

или сечений)

стенок сосуда, в ко­

тором

заключена

жидкость,

или ж е тех цилиндрических тел,

которые

обтекаются

жидкостью . Та к ка к частицы

жидкости,

.непосредственно

прилегающие

к стенкам

сосуда,

д о л ж н ы сколь­

зить

вдоль

них, то граница

области д о л ж н а входить

в систему

линий

тока.

Справедливо

обратное

утверждение .

Если

в

некоторой об­

ласти D имеется

аналитическая за исключением

отдельных то­

чек

функция

f(z),

вообще

многозначная,

но с однозначной

про­

изводной

f'{z),

то

эту функцию

м о ж н о

рассматривать

как

комплексный

потенциал

некоторого течения

жидкости в

обла­

сти D. При

этом

особые точки

функции f(z)

можно

истолковать

как

источники,

стоки или вихри

течения, а

границу области —

как

очертание

обтекаемых

жидкостью

твердых тел. Н а границе

области Im/(z) =І])(Л', у)

д о л ж н а

сохранять

постоянное значение

(на

к а ж д о й

кривой

границы — свое), т. е. граница

д о л ж н а

вхо­

дить в-систему линий тока.

Примеры.!.

Рассмотрим

функцию

f(z)=az+bi

Д л я нее

f'(z)=a.

Функцию f(z)

м о ж н о

рассматривать

ка к комплексный

потенциал

поступательного

д в и ж е н и я

жидкости

со

скоростью

f(z)

— a.

Если я = а і + Ш 2 ,

o = ßi + / ß 2 ,

то

потенциал

скоростей

? (х,

у)

=

а а У + Р і ,

а ф у н к ц и я

тока