книги из ГПНТБ / Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций

О т с ю да

х —

и2+ѵ2

'

А

{х2+у2)+Вх+Су+В=0.

Если А—0,

то

о к р у ж н о с т ь вырождается в п р я м у ю

Bx+Cy+D=0.

А

.

Ва

Сѵ

+ D =

0

иг±ѵ2

иг+ѵ*

или

A + Bu—Cv+D

(и2+ѵ*)=0.

Последнее — уравнение

окружности

в плоскости да.

Если

JD = 0, то эта

окружность вырождается в

прямую

А + Ви—

Сѵ = 0.

Обратимся к

примерам .

1*

iL

Примеры.

1.

П р я м у ю 2л: 4-4у — 1 = 0

функция іш=—^- пе­

реводит в окружность, так как бесконечно

д а л е к а я

точка,

лежа ­

щ а я па прямой, переходит в начало координат,

а

остальные

конечные

точки

прямой

переходят

в

конечные

точки

плоскости

ю. Уравнение

этой

окружности

(рис. 47)

или

2 И - 4 - 0 — и 8 — г ; г = 0

( « - 1 ) 2 + ( г / + 2 ) 2 = 5 .

2. П р я м у ю

у = кх

функция

w — — п е р е в о д и т

в

прямую

ѵ = —ки

(рис. 48).

3. Окружность

| г | =

2 функция

w—-^-

переводит

в

окруж ­

ность

I w

I =

-—- (рис. 49). Внешность

i<pyra|z|>2

перейдет пр

этом во внутренность

круга | w | <

так как точка z — co области

I

| г | > 2 отобразится

в точку ш = 0 области

\w\<~~2~

•

4. О к р у ж н о с т ь

\z—1|

=

I преобразованием

w=

—^-

п е р е ­

водится

в

прямую,

ибо

точка

2 = 0,

л е ж а щ а я

на

этой

окруж ­

ности,

переходит

в

w = cc.

Найдем

эту

прямую . Точка

2 = 2

I

. .

окружности

переидет

в точку IÜ = —^-

прямой. А так как в

точке

2 = 2 окружность

и вещественная ось пересекались

под

прямым

утлом, то их образы по конформности преобразования г«у=—^—

пересекутся

т а к ж е

под

прямым

углом. Но вещественная ось

при нашем отображении переходит в вещественную ось. Тогда

уравнение

искомой

прямой

будет

и=~^-

(рис. 50).

Поскольку

ж е

точка

2 = 1

отобразится

в

ш = 1 , то

внутренность

круга

\z—1|<1

перейдет

в

полуплоскость

іі>—^-.

5. Найдем

окружность,

в

которую перейдет

с

помощью

преобразования w =

-^— окружность \z—2—i\

=2.

Уравнение

этой

окружности

можно

записать

иначе

Рис.

50

П о с к о л ь к у

здесь

г = 0

п е р е х о д и т в

ге'=со,

то круг \ z—2—

— 1 | < 2

п е р е х о д и т в

круг

| г ѵ — 2 - Й | <

2.

§ 4. Дробно - линейная

функция

Дробно-линейной

функцией

называется функция

вида

W-

a z + ô

(1)

cz+d

'

где а, Ь, с, d—

комплексные числа и ad—ЬсфО.

При

ad—bc=0,

а

С

Л.

„ V

т. е. при -jj-

= - ^ - , ф у н к ц и я

(1) п р е в р а щ а е т с я в п о с т о я н н у ю ,

так как

тогда

8 Зак. 227

ПЗ

П о с к о л ь к у lim - w —

, то будем считать, что точке z = c o

Рис. 51

Если

ж е

считать,

что

образом точки

г = со

является

точка

a

d

•ю-——^-,

а

ооразом

точки

z — — •• -

точка к' =

со, то

получа­

ется, что

дробно-линейная

функция

(1)

осуществляет взаимно­

П о к а ж е м , что

дробно-линейное

отображение

складывается

, .

.

1

из у ж е знакомых

нам отображении — линейного

н типа—

_ az+b

_ a (cz-\-d)

+ (bc—ad)

cz+d

~

c(cz+d)

bc—ad,

1

1

a

c

bc—ad

1

Wi

e

1

т. е. из двух линейных и одного преооразованпи типа

.

Из сказанного можно заключить,

что

свойства, общие

линей­

4)

существует

единственная дробно-линейная

функция (1),

о т о б р а ж а ю щ а я

три

з а д а н н ы е точки

плоскости

z

в три заданные

точки

плоскости

w.

Если дробно-линейную функцию

записать

в виде

а

? л-

b

а

Ь

d \

~ Z

~

a z + ß /

0

-

г +

Л

_

- - г к і "

-

• Р -

- • ' - - )

или

с

8*

115

= К

— * Ï T O — .

« - 1 , 2 , 3 .

(3 )

Эту

функцию мы

получим

иначе,

исключая

значения а, Ь,

с, d из

(3) п

( I ) . Составим

для этого

разности

•W—W

az-rb

az,+b

(ad—bc)(z—

z,)

czArd

czr\-d

~

{cz+d)(cZl

+ d) '

W—W.,

az+b

az.,+b

(ad—bc){z—z2)

cz-rd

~cz2+d

~

(cz+d)(cz,

+ d)

az3

+ b

azt-\-b

( a d — ô c i ( z 3 — z , )

1

cz,

+

d

cz,+d~

~~

(cz3

+ d)(cz^d)

'

W-,

_

äz3

+

b

azt-\-b

(ad—bc)(z:r-z,)

czz+d

cz-, + d

{cz,

+ d)(cz,+d)

•

1

теп°р ь

о п т 1 пения

w — CO,

(cz.

\-d)(z

--zl)_

•w—w-.

-d)[z

- z , )

•ws—w,

( c z , +

d ) ( z 3 - z , )

•w.A—w2

•uf)(z, - z 2 )

•

Р а з д е л и в

эти отношения одно

на д р у г о е ,

получаем

W—Wi

_

w3 — wt

_

z — z{

_ z 3 —z,

(4)

w—w-,

'

w.j—-w->

z—z2

' z-i—z-.

Это и есть искомая дробно - линейна я

ф у н к ц и я .

С о о т н о ш е ­

ние (4)

у т в е р ж д а е т ,

что о т н о ш е н и е

z

z i .

z%—zi

Z

Z2

Zj

z2

его

и н в а р

и а и т о м.

Замечание.

Так

как

через

точки zu

z2,

z3 проходит единствен-

ная

окружность у,

а

через

их образы

a1,,

w2, tc'a '<\-=

ному

можно утверждать,

что существует

единственная

функ­

ция

( ! ) , перег-одящая окружность у в Г. Эта функция

пере­

ведет

внутренность у по внутренность или

во внешность

Г,

так

как

Г является границей

обеих этих областей. А чтобы

это

ности); останется только из 2-х

направлений нормали

к Г

выбрать такое, чтобы угол

между

Г (в

направлении

от іѴ\ к

гю2)

и нормалью отсчитывался

в таком

же

направлении,

как и

угол

ренность

Г,

а

на

рис.

53

внутренность

у переходит во внеш­

ность

Г.

Очевидно,

что

и

в

первом

случае

(рис.

52)

и

во

втором

(рис.

53)

при. обходе

контура у

в

направлении

zu

z2,

z3

область,

ограниченная

им,

остается

слева,

так

ж е

как

и при

обходе

кон­

тура

Г в

направлении

іѴ[, ш2 , а'з

область

остается

с той

ж е

сто­

роны

(слева)

от Г. Таким образом, порядок расположения то­

чек Z\, Zo, z3

(соответственно W\, zv2, œ>3) определяет

направление

обхода контура

у

(соответственно Г ) . Если направления

обхода

у и Г совпадают

(рис. 52),

то внутренность у переходит

во

внут-

дробно-линейная

функция, п е р е в о д я щ а я точки

a, ß,

у соответ­

ственно в точки

О,

I , со . Легко убедиться, что

функция

w =

ß - 7

[i-a

z—t

этим требованиям

удовлетворяет.

Но вещественная

ось — гра­

днться, что

верхняя

полуплоскость переходит в верхнюю полу­

плоскость.

И здесь,

как

и

в задачах предыдущего п а р а г р а ф а ,

это можно

подтвердить,

убедившись

в том, что

точка

г п

( І п г г о > 0 ) перейдет

в точку

ш(> ( І п ш 0 > 0 ) .

Здесь удобнее поступить согласно сделанному выше замеча­

нию. Если

точка z

будет

двигаться по

вещественной

оси в

на-

Рис.

55

правлении от а к ß и затем

к у> то

соответствующая ей

точка

w

пробежит новую вещественную ось в направлении от 0 к 1 и

затем

к

с о . При этом

область

l m z > 0

остается

с левой,.стороны,

так же,

как и область

І т а у > 0 .

2.

Отображение

верхней

полуплоскости

на

круг.

Если

потребовать,

чтобы

точка

a ( І т а > 0 )

перешла

бы

в центр

круга

| и ' | < 1 ,

то

по

свойству симметрии

дробно-

линейного

преобразования

точка а должна перейти в

œ> =

со,

так

как

w = 0

и w = co

точки,

симметричные

относительно

окружности

I œ> | = 1 , в

которую

переходит

вещественная ось

плоскости

г,

я в л я ю щ а я с я

границей

верхней

полуплоскости

(рис.

55).