книги из ГПНТБ / Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций

cos X. dx

-!•- i

sin X dx-

2e-

x2~+4

x*-rA

о т к у д а

cos X

dx-

2e-

J: -v-2 +4

или,

так

как подннтегральиая

ф у н к ц и я

четная,

имеем

COS X ,

_ _ J _ f

COS X

,

-

2.

Вычислим

интеграл

Эйлера

sin X dx. Возьмем ф у н к ц и ю

f{z) =

е'~

. Она

р е г у л я р н а всюду,

кроме

z=0,

где имеет про-

0

Рис. 38

стой полюс. Рассмотрим теперь контур

L

(рис. 38),

состоящий

из

двух

полуокружностей

Сг

и

С/?

(r<R)

и

двух

участков

вещественной оси

от — R до

— г и

от

г

до R.

Внутри

этого

кон­

тура

у f(z)

нет особых

точек,

поэтому

f

f{z)

dz

=

j f(x)

dx +

\ f{x)

dx

+

§

f(z)

dz +

j

f{z)dz=

0.

(9)

L

- R

г

С

C R

П о к а ж е м ,

что

[

f{z)

dz^O.

CR

CR

Ha

e-y

1

поэтому

f(z)dz

< - A _ « / ? = K

но

эта

грубая

оценка

не дает возможности

получить

т р е б у е м о е

Вычислим

\

— d z

по

частям

при

и

=

—

,

dv=e''dz.

J

2

2

Тогда

c ff

e'2

,

elR+e-,R

e" .

—

,

1

f

z

~

iz

., dz

туз

\- —

—— dz

iz-

iR

i

z-

CR

-R

CR

2

D

l

1

J R C

0

S

R

+

T

^ d

Z -

Т е п е р ь

CR

- r d , \ <

-g

cos

R

j

+

dz

R '

R

0.

CR

CR

Вычислим

I

dz.

Д л я

этого

р а з л о ж и м п о д и н т е г р а л ь н у ю

функцию

в р я д Лорана в

окрестности

2 = 0 :

1 .

.

2

1

, .

Функция

«(z)

регулярна

в

окрестности

нуля,

поэтому

(г-

мало)

на

Сг

ограничена .

Тогда,

если

| с ( г ) | < / г е

на

С г ,

<р(г) dz

<

тъг

-э- 0

г->0

На

Cr

z=re'*,

dz = rie'?

dr&,

поэтому

C

e "

,

f

(/г

f

о

ri&rd's,

, .

Г

t.'

I

I

/

с

Г

=

-

тл+

j

? (z)tfz.

—

dz-+

— та.

С,

г - О

Перейдем т е п е р ь

в (9)

к

п р е д е л у ,

устремив

R-+ со , г~>0.

Тогда

п о л у ч и м

О

еіх

+0О

еіх

"

Г

J

—

dx+

—ах

= ш.

(10)

— со

0

х=

—t,

dx— —dt и

В первом интеграле

сделаем

замену

будем

иметь

- с о

0

0

П о д с т а в л я я этот

результат

в

(10),

получим

е-іх

('

еіх

р еіУ_

е-іх

x

dx-\-

\

—

dx=

j

X

dx=*

j

л-

о

и

ü

n .

,

sin

X

,

= 2i \

—-^— dx = i u ,

откуда

о к о н ч а т е л ь н о

и

sin

Л:

dx=

—.

x

2

Г л а в а

ѴІ

Г И Д Р О М Е Х А Н И Ч Е С К О Е И С Т О Л К О В А Н И Е

А Н А Л И Т И Ч Е С К И Х Ф У Н К Ц И Й . Э Л Е М Е Н Т А Р Н Ы Е

А Н А Л И Т И Ч Е С К И Е Ф У Н К Ц И И

И ИХ К О Н Ф О Р М Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

§ 1.

Некоторые общие теоремы теории

конформных

отображений

В

§

6

гл. I I

было

дано

понятие

конформного

отображения

и показано, что отображение, осуществляемое регулярной

функ­

цией, конформно во всех точках, в

которых

производная

этой

функции отлична от нуля. Справедливо и обратное

утверждение:

если

функция

w=f(z)

о т о б р а ж а е т взаимно-однозначно

и

кон­

формно

область

D

на

область

Д,

то эта

функция

регулярна

в Д

а обратная ей функция z=ç>

(да)

регулярна в А.

Возникает

вопрос,

всегда

ли

возможно

взаимно-однозначно

и конформно отобразить произвольную область D на другую

произвольную

область

Д?

Очевидно,

что

для

того,

чтобы

уметь

о т о б р а ж а т ь область D на

область

Д, достаточно суметь

отобра­

ж а т ь

к а ж д у ю

из

них

на какую-нибудь область стандартного

вида, например на единичный круг

| г | < 1 .

З а т е м

останется

отобразить

единичный

круг

в

себя.

О

возможности

решения

другие

в этом параграфе,

излагаем без

доказательства .

Теорема Римана . Л ю б у ю односвязную область Д граница

которой

содержит более

одной точки,

можно взаимно-одно­

ной "области

D за исключением всей плоскости или плоскости

с выколотой

точкой).

Если конформное отображение области D на единичный круг

возможно,

то из множества функций, осуществляющих это

отображение, можно

выбрать такую

функцию

w=f(z),

которая

переводила

бы точку

z0 области D

в центр

круга

( f ( z o ) = 0 ) ,

и к тому ж е

такую,

чтобы

касательные

к кривым

в точке z0

не

изменили бы направления

(f

(zQ)

= 0 ) . О возможности

реше­

ния

этой

задачи

говорит

теорема единственности.

Теорема единственности. Существует единственная

функция

zv = f(z),

о т о б р а ж а ю щ а я

взаимно-однозначно и конформно одно-

связную

область

D

на

единичный

круг

| д а | < 1

так,

чтобы

f(z0)

= 0

и f'{zQ)

= 0 ; здесь г 0 — точка

области D.

Отметим, что и в теореме

Р н м а н а

и в теореме

единствен­

ности речь идет об отображении лишь

внутренности

области D

на

внутренность

единичного

круга,

а значит и на внутрен­

ность Л. Каково же соответствие

границ при этом отображении?

Теорема о

соответствии

границ.

При

взаимно-однозначном

ных кусочно-гладкими контурами,

друг

на друга

устанавли­

вается взаимно-однозначное и непрерывное соответствие

границ

этих областей.

Д л я практики

большое

значение

имеет

обращение

последней

теоремы — теорема,

которую называют

п р и н ц и п о м

с о о т ­

в е т с т в и я г р а н и ц :

Если функция

zv = f(z)

регулярна в односвязной

области D

и непрерывна

в

D,

устанавливает

взаимно-однозначное соот­

ветствие между

границей

L области

D и границей / односвязной

Познакомившись с основными принципами теории

конформ­

ных отображений, перейдем теперь к о т о б р а ж е н и я м ,

осуществ­

ляемым простейшими

аналитическими

функциями .

§

2.

Линейная функция

Отображение,

осуществляемое

линейной функцией

w — az + b,

где а и b — комплексные

числа и а Ф 0, является конформным на

всей

плоскости,

так как

в любой

точке z

w''{z)

= аФ

0.

В § 2,

гл. 2,

примеры

5—8, было показано, что линейное

отображение

состоит из трех

элементарных — сдвига,

поворота

и

растяже ­

ния. Рассмотрим несколько примеров линейного

преобразо ­

вания.

Примеры.

1. Легко убедиться в том, что линейное преобразо­

вание -w = az+b

окружность переводит в окружность .

Действи­

тельно, если точка z находилась

иа окружности | z—z0

\ = R (z—

=z0 + Re'"? ), то соответствующая

ей точка

ш = а (zo + Rei,?)

+b =

= az0

+ b + Rlei'^

(a— reia,

Ri = rR,

ip = cp + a)

будет находиться на

окружности \w—w0\ =Ri

с центром в точке w0

az0

+ b.

Поэтому

функция

w — 2z—і.

переведет

окружность | z —21 = 1

в окружность

\ w—4+i\—2

(рис. 39).

I

2. П о к а ж е м ,

что линейная функция

сохраняет

прямые

линии.

Действительно,

пусть

точка z = x + iy лежит на прямой Ах + Ву +

+ С = 0. Точка

Рис. 41

Поэтому,

например,

линейная

функция w—— З / г + 5

прямую

2х—у

— 2 = 0

переведет

в прямую

«4-2ü-|-1 = 0 . Действительно,

точки

Zi = l

и г г = — 2 / ,

л е ж а щ и е

на первой

прямой, переходят

соответственно

в точки

œ>i = 5 —Зг

И а » 2 = — 1 ,

л е ж а щ и е

на второй

прямой (рис.

40).

3. Требуется отобразить

к в а д р а т А на

к в а д р а т В

(рис. 41).

Т а к а я

з а д а ч а

решается

не

единственным

способом.

Приведем

два из

возможных способа.

П е р в ы й

с п о с о б .

Преобразование w\ = 2z растянет исход­

ный к в а д р а т

со стороной, равной единице

длины, в

к в а д р а т А]

А ,

2

V

Рис. 42

Рис.

43

со стороной, равной двум единицам длины

(рис.

42).

Преобра ­

зование поворота на

угол

w

=

е1Т

• w1

= iw1

=

2iz

перемещает

к в а д р а т

А\

в

к в а д р а т

В.

В т о р о й

с п о с о б .

М о ж н о

очевидно

изменить

порядок

пре­

образований .

Повернем

сперва

к в а д р а т

А

на угол

-^—. Это

осуществит

функция

w,

= е i —

к в а д р а т

А

на

плоскости

ш,

перейдет

в

к в а д р а т

А\

(рис.

43).

Р а с т я н у в

к в а д р а т А\

при

помощи

преобразования

ку = 2о)| =

2/г,

опять получим

нужный

квадрат

В.

§

3. Функция

W-

1

Производная этой

функции

w'--

.1

—

существует

и отлична

1

кроме

этих

точек.

Функция

w=

--—

точку

z = U

переводит

в з у = с о ,

a z = с о в

ау = 0. А тогда,

если

условиться

считать, что

угол

между

линиями в

бесконечно

далекой

точке

равен

углу.

1

между

их

ооразамн

при

отоораженпи

w=—

в начале коорди-

z

1

нат, то

можно

отооражение

функцией

w=—^

назвать

кон­

формным на всей плоскости.

П о к а ж е м ,

что

отображение

w=—состоит

из

двух отобра­

жений

симметрии. Рассмотрим

окружность радиуса R с центром

в точке О (рис. 44). Проведем

из точки О луч.

На

этом

луче

внутри

круга

возьмем

точку

Al.

Вне

круга

на

этом ж е

луче

M

и

М '

называются

с и м м е т р и ч н ы м и

о т н о с и т е л ь н о

д a H н о й о к р у ж н о е т

п. Очевидно, если точку M

приближать

к окружности, то и точка

М' тоже будет приближаться

к

окруж ­

ности. Если точка А! лежит на окружности,

то М'

с ней

совпа­

дает, т. е. точки окружности симметричны

сами

себе

относи

тельно данной окружности. Очевидно

т а к ж е ,

что если

точку M

приближать

к центру

окружности,

то

симметричная

ей

точка

Ai' будет удаляться в ос,

так что

центру окружности

симмет­

ричной является бесконечно-далекая точка.

Пусть теперь центр О окружности находится в начале коор­

динат. Тогда точке z круга, симметричной точкой будет

точка г,

(рис.

45). Найдем ее. Из

условия

симметрии

этих

точек

имеем

l z

H z

i |

= ^ 2

, - A r g z = ArgZi, п о э т о м у

R2

g/Arg г

_

П2

J}

Z

Если

/? = 1,то

точки

z

и

1

сим метрп чиы

относительно

окружности | z | = l .

Д в е

точки

Z\

и

z2 , симметричные относи­

тельно

действительной

оси

(рис.

45)

равноудалены

от

начала

координат, аргументы ж е комплексных чисел zx

и z2

отличаются

лишь знаком. Поэтому, если Zi=/"<?/ < ? ,

то z 2 =/"e~' ? .

Пусть

z = r e ' a ,

тогда

1

Значит,

точкой,

симмет-

1

ричион

точке

- - — O T H O C 1 I -

тельно

вещественной

оси,

является

точка —!— е~ы

—

г

= - ~ -

. Т а к и м образом,

-

w =

1

о т о б р а ж е н и е

z

r

складывается

из:

1)

ото­

Рис. 46

бражения

симметрии

относительно

окружности

\z

= 1

(отображение

у

) и

2)

сим-

метричпого

отображения

относительно

вещественной

оси

(рис.

46).

w——^-

П о к а ж е м

еще,

что

функция

переводит

окружность

в окружность, если и прямую

т а к ж е

считать частным

случаем

окружности — окружностью

бесконечного

радиуса.

Пусть

z—xA-iy,

w=u

+ iv, тогда

равенство

w=

запи ­

шется

в

виде

х-\-іу

или

1

а—IV

х + іу = и-\-іѵ

~и2~+ѵ2~