книги из ГПНТБ / Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций

Доказательство

Проведем контур

L так, чтобы

все

конечные

особые

точки

аиа-,,

...а,, оказались

внутри контура. В качестве L

можно

взять

окружность достаточно

большого

радиуса

J г ,=•/?.

П о

основной теореме

о вычетах

интеграл

ЪгЩг),

aK] = -r\[(z),

о-)

/-[/(г).

a . J - И Л г ) ,

й , | - г . . . т

«„] - ! - г|/(г), о э ] = 0 .

Примеры.

1.

(f s i n —

аГг =

ïrd-r

•

1

л

sin — ,

О = 2 т.і.

Действительно,

для

функции

sin — точка

z — 0, л е ж а щ а я

внутри окружности

|z| =

l , является

единственной

особой точкой,

чета

прибегаем

к разложению

функции

sin -^- в ряд Л о р а н а по

степеням

z

.

1

1

sin — =

—

3!z3

5!z5

z

z

Т а к к а к

это

р а з л о ж е н и е

верно на всей плоскости, то оно вер­

но и в окрестности z = 0.

Поэтому

г

sin — , 0 = 1. Этот

интеграл

можно

вычислить

иначе.

На

основании

теоремы

2

можно

записать

sin

—

,

О

Sin

1

со

0,

-— ,

z

'

Z

'

т. е.

£>

sin

z

-dz

=

—

2ти-г Sin

— ,

со

•z =1

Поскольку полученное

разложение

sin —

верно и д л я

окрест

ности

со, то

очевидно

г

Sin

1

с о

1,

а

тогда

Z

,

$ s i n

—dz=

— 2 w - ( - l ) = 2 * i .

2.

Вычислим

интеграл

(6—.

.

— А. Подннтегральиая

1

J

z[z*-\-l)

функция

имеет

в круге

| z | < 2

пять особых точек:

-(-41)

4

, •

ак=у

« = 1 , 2 , 3 , 4 ,

и

аъ

= 0.

Поэтому

интеграл

— 1,

1

к=1

Ф Ч і )

'

1

,

о

i

lim

1

1.

z(z{-\-\)

Очевидно, ai, а>, сц,

аА

тоже

простые, полюса,

поэтому,

предста­

вив [(z)

в виде

- J I T ^ T , где за

cp(z)

возьмем 4~

, а за W(z)

функцию

z' +

l ,

на'йдем

А = -

2 - W -

1

z ( z 4 - l ) '

Д л я

нахождения вычета

на со разложим функцию

, ,

:•

в ряд

Л о р а н а по степеням

z па

со

z(z

-\-\)

D

1

В

разложении

отсутствует член с

— ,

поэтому

'[z(z*~ 1

= 0 ,

что подтверждает

и

ранее полученный ре-

4 1 ) '

1

1

\г+т

-

т

В круге

^

1

центром

в точке

1

1

<-i=j- с

2 = — р а д и у с а — на­

ходится лишь

одна

особая

точка подынтегральной

функции

1

2 = — — , я в л я ю щ а я с я

полюсом

2-го порядка,

поэтому

1

1

1

.. /

1

( 2 2 + 1 ) г

( 2 2 + 2 ) '

2

—

lim

î

^+2

4

\z

1 ..

- 2 г

4

== —-

lim

. ., ,

81

4

Z~*

^(z J

- | - 2) 2

2

B=2rU • r

1

1

о • 4

8 .

( 2 z + l ) V 4 2 ) '

2

2г.

I—

\R(s\nx,

cosx)dx.

о

Будем предполагать,

что

подннтегралыіая

рациональная

функция A4sin X, cos х) непрерывна

на [0, 2л.]. Преобразуем отре­

зок [0, 2 л ] действительной

оси в окружность

радиуса 1. Дл я это­

го положим z=

еіх.

Если X пробегает отрезок [0. 2 л ] ,

то точка

2 = е ' х

пробежит

на комплексной

плоскости

о к р у ж н о с т ь \ z

= 1

против

часовой

стрелки. По формуле Эйлера

g( . v _ c o s х_^і

s j n х^ £ - i . i - _ c o s x _ i S j n

x <

поэтому

eix_e-lx

z

eix +

e-ix

~

S [ n X =

2І

= - 2 f - '

C 0 S A ' =

2

= — 2 — '

dz=ieixdx—izdx

и dx—-

^

iz

Тогда

1

z 2 + l \

dz

\z\=l \

iz

г — 2с

d

x

1 — .) 1

sin X

Здесь заменой

переменной

z=elx

мы сведем наш интеграл

/і к

контурному

j

_ 2 с

dz

= 2 іВ

'

' „ f L i * 4 4 f e - l

[ 2 _ ( _ 2 + / 3 )г] [z+(2+VZ)t]

'

Очевидно, из двух корней

г, = ( — 2+1^3 )і и z.,= —(2-\-\лЗ

)і

знаменателя

z--\Aiz—\

подинтегральиой

функции

только z\

ле­

жи т в круге

I z | < 1. В

этой

точке

функция имеет

простой полюс.

Поэтому

1

_

-АтЛ- Urn

1

r 2 - H i z - 1 '

*'

A-i

2*

( - 2 + 1 / 3 ) ^ ( 2 - F

3)/

1/3"

cos2

2л"

1—2/7

COSA'

+p'

где

p—вещественное

число,

| / ? | < 1 ;

4

J

z4 <(z—z-// 7 ) ( p z - l )

• rfz,

. г ; =

l

так как

cos 2JC

eW.ï + e-2/дг

z'4-1

=

2z2

У

подинтегральиой

функции

( z ' + i ) 2

z'{z-p)(pz-\)

внутри круга

| z | < l

две особые

точки

z = 0 и z — p. В точке z = 0

у / ( z )

полюс

4-го порядка, в точке z=p—простой

полюс. Поэтому

Л = 2 * і - ( г [ / ( г ) ,

0]+r\f(z),

;

' • | / ( z ) , ^ ] = Um ( z - / » ) / ( z ) = l i m - i f " 1 " 1 ^ = y t 1

^ •

Д л я нахождения

вычета

в точке

z = 0

р а з л о ж и м

функцию

/(z)

в ряд Л о р а н а в окрестности

нуля:

( z 4 + l ) 2

=

z*4-2-

1

1

z ' ( Z - / 9 ) ( / ? Z - l )

z 1

/

( z - / » ) ( p z - 1 )

1

z—p

pz—l

p2—l

Н а ш

интеграл

j - *А

( z l + î)2 '

*

2 ~ 4 У

2 Ч 2 - / 7 ) ( / 5 2 - 1 )

2

2 ^ ( / ? ' + 1 ) = * ( р 4 + 1 )

2 / > Ч / 7 2 - 1 )

1 - Р 2

'

Теорема. Пусть функция f(z)

регулярна в верхней полуплос­

кости, включая и действительную

ось, за исключением

конечного

числа

особых

точек аи

а2, . . . ап,

л е ж а щ и х

в верхней

полуплос­

кости, л\

пусть f(z)

имеет точку 2 = со

нулем

второй

или более

высокой

степени, т. е. разложение

f(z)

на

со

имеет

вид

=

....

тогда

J f(x)

dx

равен

произведению

2 ш

на

сумму

вычетов

ной

осп от —R до +R

и полуокружности

CR . П о основной тео­

реме

о вычетах

$f(z)dz

= 2*i2lr[f(z),

ак].

§ f{z)

dz

= J f(z)

dz +

J f(x)

dx.

-R

Поэтому

U(z)dz

+

jf(x)dx

=

2^^r[f(z),

aK]

(7)

По условию

теоремы

-ei \

c - 2

,

c-г

,

C-2+—

+

—2-+

. . . ] =

—2 --<р(г).

Д л я

cp(z)

точка

z—

со

— т о ч к а регулярности,

так как

cp(z) -*-c_o. Поэтому

функция

cp(z)

ограничена в окрестности

2 = со

и, в частности,

на окружности

CR, так как R можно взять

сколь угодно большим. Значит

на CR

|<p(z)'<

M.

Оценим

интеграл

по

окружности:

j

/ ( z ) d z

| =

|

j

1

j(z)dz

< - = j

• * ß

A 4 i

•

R

Отсюда следует, что f f{z)dz

->• 0.

CR

R-co

jJ(x)dx

=

2Td-£_кr[flz),= 1

ак).

Примеры.

1.

J ( х 2 + 9 ) 2

Здесь / ( г ) = , , .1

имеет

g t = 3f,

сь = — 3 t — полюсы

2-го по-

рядка . В

верхнюю полуплоскость

из них

попадает

а.\.

Поэтому

dx

=

2 W T

1

,

3i

(A-'J +9) 5

(z 2 4 - 9) 2

1

3i

=

lim

1

7 ,

= l i m

{z"- 4 9)2

z-*3i

(2=4-9)a

z-*3i

'

108

'

Отсюда

(;t2 4-9)2

=

2-t

При вычислении

интеграла

мы воспользовались

доказанной

теоремой,

не

проверив

поведение

функции

на со. Но там

1

1

=

4 г

•<?(*).

( г 2 + 9 ) 2

z*

1-L-

где

ф)

=

1

'

1

"I

Г2

_

i

. 8

_і_

Л

І

—

1

-,2

" Г _,4

Поэтому

на

со

1

1

18

243

(z 2 4 - 9) 2

г i

_.а

т

~s

7 Зак. 227

97

Этим

возможность

применения

т е о р е м ы

обоснована.

2.

х2+\

dx.

З д е с ь

f(z)

—

у 1

_|_

имеет 4

простых

полюса:

ак

— у—

1 =

- + 2 - ( к - І )

= е

4

,

к-— 1, 2, 3, 4.

В

верхней

полуплоскости нахо -

ах

і - -

I

—

дятся

=

е

4

и

а> =

е

4 .

На

со ф у н к ц и я

/(z)

представима

р я д о м

5!±1=

1

"~

/ _ L +

J L W 1 _ J - +

J —

U

=

' + 1

2 2

1 - U 1 \

I z2 Т

2'1

M

2* ' ZS

=

J _ + J - _ _ L _ _ L +

,.2

~

2

- i

2 6

2 8

П о э т о м у к функции

/(г)

применима

теорема

и

іможно

на­

писать

х2+\

-

^

= 2 « { г [ / ( г ) ,

а,]

+

г | / ( z ) ,

а 2 ] ) ;

^

Л - Г -

1

<г2 , 4 + 1

е 1

. Зя

4

е

4

4 - f ß '

2 4

+

1

- 4