Специальные задачи кп

Вероятностные модели. Вероятностные сетевые модели – это такие модели, отдельные характеристики которых являются случайными величинами. Временные, стоимостные и другие оценки любой из работ обычно носят не фиксированный, а случайный характер. Действительно, если многократно выполнять одну и ту же работу, то какие бы одинаковые условия ее выполнения ни пытались бы создать, циклы выполнения этой работы будут на практике отличаться. Подавляющее большинство входящих в сетевой график работ в силу большого числа постоянно меняющихся случайных факторов носит такой случайный характер.

Модели с неопределенной продолжительностью работ называют моделями с вероятностными временными оценками и детерминированной сетью. Они отличаются от детерминированных сетевых моделей лишь тем, что в них длительность работ – не детерминированные, а случайные величины.

Для того, чтобы уменьшить ожидания между строительными работами, которые могут быть связаны с непредвиденными событиями, строят модели, где могут быть предусмотрены варианты выполнения последующих работ. В модели с неопределенным составом или последовательностью работ включаются альтернативные сети. При описании таких моделей допускается возможность различных вариантов реализации, когда характеристика взаимоотношений между работами и событиями дополняется схемой «или». Событие, для которого входящие работы соединены по схеме «или», считается наступившим, если выполнена хоть одна из работ, а наступление события, для которого выходящие работы соединены по схеме «или», обеспечивает возможность начать выполнение любой (но обязательно лишь одной) из этих работ. Работы, соединенные по схеме «или», называют альтернативными. Для каждой из альтернативных работ задается вероятность ее реализации.

Задачи расчета временных параметров вероятностной модели с детерминированной сетью предназначены для определения степени реальности того или иного календарного плана, то есть вероятность его выполнения. Для этого определяются значения дисперсии и среднеквадратического отклонения и прочие статистические характеристики критической продолжительности строительства.

Рис 2.4.29. График функции β-распределения.

В сетевых моделях обычно применяется упрощенная методика задания информации о случайной продолжительности работ. Предполагается, что для всех величин t_ij имеет место функция распределения одного и того же типа, отличающаяся для различных работ лишь числовыми значениями некоторых параметров. В качестве такого единого типа принимается так называемое β-распределение – наиболее часто встречающемуся виду эмпирических распределений. Почти все известные типы распределения вероятностей (равномерное, нормальное и др.) являются частными случаями β-распределения.

Анализ большого числа статистических данных (хронометражи времени реализации отдельных работ, отклонений выполнения нормативных показателей и т.д.) также подтверждает возможность использования β-распределения в качестве априорного.

График плотности вероятностей β-распределения представлен на рис. 2.4.29.

Плотность β-распределения имеет вид

f_ij(t)= (t – a_ij)^m (b_ij – t)ⁿ C, (2.4.19.)

где

a_ij и b_ij – пределы области определения случайной величины, распределенной по закону β-распределения (a – оптимистическая оценка продолжительности, b – пессимистическая оценка продолжительности);

m и n - неотрицательные показатели степеней, определяющие характер распределения (параметры устанавливаются обычно одни и те же для всех работ модели, наиболее часто применяются m=1, n=2);

С – нормирующая константа, которая определяется условием

(2.4.20.)

Интеграл плотности распределения носит название функции распределения.

Смысл этого условия состоит в том, что сумма вероятностей всех возможных значений t_ij между a_ij и b_ij равна 1, т.е. реализация одного из них достоверна.

Существует единственное значение t_ij = М_ij (мода – наиболее вероятная оценка продолжительности).

Значения a_ij и b_ij , а также М_ij могут быть указаны проектировщиками, ответственными исполнителями работ, прорабами или экспертами на основе статистических данных или личного опыта. Всегда можно на практике построить гистограмму распределения продолжительности выполнения работ. Например, на рис 2.4.30. показана гистограмма распределения продолжительности выполнения строительной бригадой нормативного объема работ. Видно, что за нормативный срок выполнение объема работ колебалось от 50% до 150%. Указано число случаев достижения данных показателей производительности труда. На графике видны необходимые для расчетов показатели a_ij и b_ij.

Рис. 2.4.30. Гистограмма распределения выработки строительной бригады.

На основании этих трех задаваемых оценок определяются математическое ожидание К и дисперсия D продолжительности выполнения работы.

(2.4.21.)

Так как оценки времени выполнения входящих в сеть работ являются значениями случайных величин, имеющих распределения вероятностей близкие к рассмотренному выше виду и различающиеся друг от друга лишь параметрами a_ij и b_ij , то и параметры всей сети в целом также являются значениями некоторой случайной величины, имеющей определенную плотность распределения. Необходимо их оценить и построить для ее параметров доверительные интервалы.

Риск в задачах календарного планирования. Учет вероятностного характера строительного производства в КП приводит к понятию РИСК. Под риском в календарном планировании понимается некоторый уровень определенности, достижение которого экономически целесообразно. Как правило, он измеряется вероятностью завершения строительства в заданных пределах.

При расчете вероятности принимаются следующие допущения: продолжительность работ является независимой малой случайной величиной; число работ достаточно велико, дисперсии отдельных работ малы по сравнению с дисперсией критического пути.

Предположив в нормальным законе распределения критической продолжительности (Т_кр ), и в соответствии с тем, что для нормального распределения все рассеивание с точностью до долей процента укладывается на участке в 3, отложенных от среднего значения Т_кр, вероятность того, что директивный срок лежит в заданных пределах равна:

(2.4.22.)

где:

Р_к - вероятность завершения строительства в заданном интервале;

Т_д - директивный срок;

Т_кр - критическая продолжительность строительства;

С_к - среднеквадратичное значение для заданного закона распределения.

Организационно-технологическая надежность КП. Для принятия окончательного решения по КП выполняется расчет надежности. Организационно-технологическая надежность (ОТН) - способность организационных, технологических и экономических решений с заданной вероятностью обеспечивать достижение результата функционирования системы строительного производства в условиях случайных возмущений, присущих строительству. Она оценивается показателем, который равен вероятности выполнения работ графика не позднее заданного (директивного) срока.

Оценка планируемого времени работ определяется из следующих соображений. Каждой из входящих в сеть работ приписывается в качестве фиксированной временной оценки среднее время К, после чего находят критический путь Т_кр. Учитывая, что оценка составляющих критического пути работ являются случайными величинами, то Т_кр также есть значение случайной величины, полученной суперпозицией большого количества случайных величин с одинаковой формой распределения. Это значение распределено нормально, если критический путь складывается из достаточно большого числа работ (около 10-15) или приближенно нормально (в случае меньшего числа работ).

При расчете надежности, как правило, принимаются следующие допущения: каждая работа КП имеет β-распределение продолжительности; работы КП, выполняемые параллельно, входящие в рассматриваемый интервал, могут быть сведен к одной работе (названной «приведенной»), распределение продолжительности которой имеет нормальный закон; общая продолжительность есть функция случайных величин продолжительностей отдельных видов работ.

КП представлен набором работ, часть которых выполняется последовательно, а часть параллельно (работы, выполняемые совмещенно, рассматриваются как последовательно-параллельные).

Расчет ОТН сводится к следующим операциям:

0. на КП выделяются участки с однородным составом параллельных работ, которые сводятся к «приведенной» работе. Предварительно все СМР КП укрупняются, исходя из технологический однородности, а интервал выполнения КП (общая продолжительность) разбивается на элементарные участки;

1. устанавливается распределение «приведенной» работы на каждом участке КП, считая, что оно равно произведению распределения параллельных работ. Перемножают функции распределения двух работ между собой, затем результат перемножают с распределением третьей работы и т. д., пока не получат распределение «приведенной» работы;

2. вычисляются вероятностные характеристики полученного распределения «приведенной» работы;

3. проделываются аналогичные операции по всем участкам интервала. Получают «цепочку» последовательно расположенных одну за другой приведенных работ с рассчитанными характеристиками;

4. рассчитывается вероятность реализации графика.

Для построения доверительных интервалов значения критического пути оценивается его математическое ожидание и дисперсия. В случае независимости лежащих на критическом пути работ математическое ожидание есть сумма математических ожиданий продолжительностей работ, лежащих на критическом пути, а дисперсия есть сумма соответствующих дисперсий.

(2.4.23.)

Таким образом, время выполнения работ, лежащих на критическом пути распределено по нормальному закону со средним КТ_кр и DТ_кр. При нормальном распределении среднее квадратичное отклонение равно корню квадратному из дисперсии, а доверительный интервал определяется кратным числом квадратичных отклонений.

(2.4.24.)

Доверительный интервал, учитывающий ±σ, соответствует вероятности равной 0.68, ±2σ – вероятность 0,954, а при ±3σ – вероятность 0,997. В зависимости от важности решаемой задачи считается, что можно пренебречь вероятностью в 5-6% (±2σ).

Можно не рассчитывать критический путь сетевой модели, а рассмотреть интервалы времени выполнения работ, на протяжении которых состав работ не изменяется. На этих интервалах некоторое количество работ выполняется параллельно. На рис. 2.4.31. показана схема разбиения работ календарного плана по интервалам.

Можно определить параметры совместной функции распределения выполнения этих работ. Совместная функция распределения на интервале времени d равна произведению частных функций распределения параллельно выполняемых k работ.

(2.4.25.)

Для этой функции распределения определяются математическое ожидание и дисперсия, а затем рассчитываются характеристики для последовательно осуществляемых работ на всех интервалах, так же как для последовательных работ критического пути.

На рисунке 2.4.32. показана схема расчета продолжительности вероятностной модели плана, разбитой на интервалы с непрерывным выполнением работ.

Рис. 2.4.31. Схема разбиения работ по интервалам.

Рис. 2.4.32. Схема расчета статистических показателей календарного плана.

(1 – Ввод исходных данных; 2 – Расчет вариационных рядов по выработке; 3 – определение эмпирической плотности распределения работ, переход от плотности распределения к функциям распределения продолжительности работ; 4 – Формирование ряда отрезков времени с постоянным составом работ; 5 – Просмотр всех параллельных работ интервала и расчет их совместной функции распределения; 6 – Переход к плотности распределения и ее показателям (К, D); 7 – Просмотр и расчет п. 5 и 6 по всем последовательным интервалам с параллельными работами; 8 – Получение характеристик итогового нормального распределения последовательных интервалов работ (К, D, σ, γ); 9 – Определение вероятности выполнения работ в заданные сроки с учетом среднего квадратичного отклонения.)