книги из ГПНТБ / Тепловые процессы при обработке металлов и сплавов давлением учеб. пособие для студентов металлург. спец. вузов

[АЛ —корни трансцендентного

уравнения

Ві = — / ? — к р и т е р и й

Био; P d m = — R2 — критерий Пргдводителе-

А

О/

ва; Т2—максимальная,

7^ —минимальная

температура

теплоотдаю-

щей среды;

N im'

Bi(/Cm + Д , )

chViPà, R

sh V i Vàm + Bi ch Vi

i

[Vi

P d m

Pdm .

N. •lm:

Bi

( - iCm

+ Dm) chV

- i Pdm

-g

i [ | / - i P d m s h V - i P d m + Bi ch V - / P d m ]

По истечении достаточно большого промежутка времени насту­

пает установившийся

периодический режим теплообмена,

который

не зависит от начального распределения

температуры

в

пластине.

В этом случае температура

в любой точке пластины

претерпевает

писывается следующим

образом:

Со

т2~т,

00

COS P d m

F o -

2

7+2

(NlmN-tm)

112

T(x,t)

,

(

arctg ( i

Nin

N-in

(5.2.21)

Nlm

+ N_im

( ~ i C m

+ Dm)

s h " | ^ - i P d m - l /

- / P d m c h l / - * P d .

X

m R

— i

Г — i Pd m ,h V — / P d m - 1/ — i P d m ch V — ' Pd

m

Bi

S

(5.2.23)

Здесь множитель ( M , - m M _ i T O ) 1 / 2

характеризует

собой

амплитуду

колебаний температурных напряжений в данной точке.

Анализ выражений (5.2.22) и (5.2.23)

позволяет сделать

сле­

дующие выводы (111].

При фиксированном значении критерия

Предводителева ампли­

туда колебаний термических

напряжений

(а следовательно,

и де­

формаций) на поверхности пластины тем больше, чем больше

зна­

чение критерия Био. Следовательно, чем

больше

относительный

коэффициент теплообмена

п = —

тем скорее данное

тело раз-

рушится от усталости, тем меньше должно быть значение

амплиту­

6—1712

161

Пример

Определить амплитуду температурных

напряжений

на поверхности пласти­

ны, подверженной периодическим тепловым

воздействиям

со стороны среды, тем­

ность

периода

нагрев — охлаждение Л?о = 0,05 ч; минимальная

температура

цик­

ла 7*! = 100° С;

максимальная 72 = 800° С;

материал пластины

сталь

марки

35;

"

40

1

Я = 4 0

вт/(м-град)

ккал'і(м-ч-град)

; а = 0,04 м2/ч; толщина

пластины

м;

LI,loo

и2

• гра

2/? = 0,20

средний

коэффициент

теплоотдачи

а = 4 0 0

вт/(мг-град)

Г

^00

К м 2

' 4 'гРад)

T;

Г2-10Н

I

1 163 к

к а л

модуль

упругости

£ = 2 - 1 0 п

я/ж 2

^

^

коэффициент Пуассона

ѵ = 0,25;

коэффициент

линейного

расширения

а , =

= 13- Ю - 6

IIград.

1. Н а х о д и м

ч и с л е н н ы е

з н а ч е н и я

к р и т е р и е в

т е п л о в о г о

п о д о б и я :

а)

критерий

Био:

Ві =

а

400

1,0;

— R =—0,10=

\

40

б)

критерий

Предводителева:

2л:/?2

2-3,14.0,102

31,4.

Pd = — — =

!

;

=

At0a

0,05-0,040

2. А м п л и т у д а т е м п е р а т у р н ы х

к о л е б а н и й :

Т2

— Тх

800— 100

Та

=

2

=

g

=

3 5 0

С -

3. Н а х о д и м б е з р а з м е р н у ю а м п л и т у д у к о л е б а н и я

т е м п е ­

р а т у р н ы х н а п р я ж е н и й н а п о в е р х н о с т и

п л а с т и н ы :

(AfrAf.,)'/»-

% (

1 -

Ѵ

)

= 0 , 1 4 .

4. А м п л и т у д а

к о л е б а н и я

т е м п е р а т у р н ы х

н а п р я ж е н и й

н а п о в е р х н о с т и п л а с т и н ы в р а з м е р н о м в и д е :

суу

0,ЫТаахЕ

0,14-350-13-10—6-2-10"

1,7.108 Н,М2

=

1 — V

= -

—

=

=

1 — 0,25

= 170 н',мл&=

17,3

кГІмлР.

(относительный

коэффициент

теплоотдачи

между

поверхностью

x = R пластины

и

теплоотдающей средой

имеет

среднее

значе­

ние h2). Требуется

определить

функцию

термоупругих

напряжений

в пластине.

Прежде всего для упрощения задачи

(ввиду несимметричности

температурного

поля) поместим начало

координат

в

центр

тяжес­

Л

Л

2

2

R\

^

^

R'

3 w û f j f i =

ozzdxx=^Q;

-

^

(5.2.24)

^

<

! <

-

R_

_R_

2

2

R_

2

2

\ G!/yxidxi=

f

°zzxxdxx

=

0.

(5.2.25)

R_

R_

2

2

Соответственно

решение

для

термоупругих

напряжений

запи­

шется так:

_R

2

•'уу-

1 —

V

R

\

Цхх,і)dx

2

\2xi

2

xxT

(xx,

t)dxx

— T

(xx,

t)

.2.26)

2

Функция температуры

пластины

имеет

следующее значение

[111]:

Т(хи

О - У о

_

7 ' 2 - Г ,

(Тв-Т0)

4 - — -

+

Ві]

1

\ 2

R

+

B\2

+

B\XBU)

(T2-TX)(B\X

OO

сю

Co

S S

A,

7 - 2 - T "!

( i ^ + P d ^ T W O J X

m=l

n=\

m =

cos

(

Xl

i

1

B i

^ sin

ft,

) +

X I ft, B i 2

+

y j +

[ f t ,

163

B i1 Bi 2 sin

— д ) + ^ c

œ

f t " ( ^ -

д")

} e x P (

-

^ F ° ) H

f

V

( I V ' - ^ - ' - - ) 1 / 2 COS

P d m

Fo — arctg (г

Nim

+

N-ia

,

(5.2.27) _

лші

T 2 - T t

-f-

где

(хл [(2 +

B i i +

B i 2 ) vn sin (лл

+

— B i i B 2

— B i i — B i 2

) cos |x„]

Hn определяются

из следующегоіующек

уравнения:

(х2 — B i t B i g

C t g f i =

-

( B i i + B i 2 ) ( i

'

N,„

i C m

+

Dm

• X

i [(l Pàm

+ B i L B i 2 ) sh 1 / i

P d m

+

(Bij +

B i 2 )

Yi

P d m ch Vi

P d m ]

X

B i 2

V T P d ^ ch . VTpdû

( y + y )

+

BirBi2

sh Vr?ûm

[f

+

y )

(5.2.28)

— / C m

+ D„

X

- J ( - / P d m + B i 1 B i 2 ) s h l / - i P J m + ( B h + B i 2 ) ] / - t P d m c h l / - t P d J

X [ В І 2 V - / P d m ch V - i P d m (

f + +

+ B i 1 B i 2 s h V r - * P d f f l ^

+

-±-)] ;

(5.2.29)

Bii = ^ ! ^ ; В І 2

= /І2^;

— максимальная,

T\ — минимальная тем­

пература теплоотдающей

среды.

Первое слагаемое

правой

части

выражения

(5.2.27)

представ­

ходим функцию термоупругих

напряжений:

оо

оо

I Т ъ — 7р

Чуу(1— ѵ)

_ д .

Bl2 sin|i„ ( у - у ) +

щЕ (Га —7"

Ві1

m =• 1 л •= 1

2 — В і 2

12*!

M i l \ s i n 2 - ^

6-^1 I 1 2 B i 2

xi

Л £ І П

12 B i 2

_£i

« ^

u 2 :

* R

)

n

v-n

R

2

B i 2

Bi,dBK(f+-i-) +

2 - В І !

12xi

12 B l i \ c i

n 2

fa

6*

!

,

12Bii

R

xi

,

Л .

fa

«

fafa /

2

—

12Bii

дг!

) e x p ( - [ 4 F o )

+

A

-•—

+

l)sin|* .

R

V f M « M _ f „ , ) 1 / 2

COS

P d m

Fo -

arclg ( t

Mim

+ M

} ,

(5.2.30)

m - 1

где

M ;

X

[(/ Pd m +

BljBlj)

sh і Л

Pdm

+

(Bii +

Bi2 )

l ^ f Pd m

ch Vi P d J

X B i 2

6^i

12*

Vi

Pd,

12*j

1

6*i

Bi,

Bii

R

Vi

Pd„

R

ViVâjn

ViPdn

• Vi PdT O

Ch VlPUM(f

+ ±

y

B i l S h

^

P d m ( 3 . +

_ L )

(5.2.31)

M.

-

iCm +

Dm

X

- / [ ( - i P d O T + B i i B i 2 )shy r - / PdO T + ( B i 1

+ B I 2

) l / ' - i i P d w

c h V ' - № d m ]

x

Bi 2 f 1 + f^ - ^

.

- / P d J

s h / _ t P d n

1

' l

R

R

"

Bi,

6*i

Bii

12*i

chV-iPdm

+

V~iPdm

R

V-iPdm

V-iPdn

R

12*!

6*i

Bii

Bii

R

V-iPdm

R

V-iPdm

V-iPâri

изменяется

по

простому

гармоническому

закону

( 7 с р

Тп-Т

-1 si•n wc

\I .

Пара­

метры

периодического нагрева:

период

колебания

температуры

Д/о = 0,035

ч; ми­

нимальная

температура

среды

7і = І00°С;

максимальная

температура

среды

7 2 = 7 0 0 ° С ; относительный

коэффициент

теплоотдачи

(средний за цикл) « 2 = 2 0 м~1.

Механические

характеристики

материала пластины: модуль упругости Е—

= 2 -105

Мн/ж2 (2,04-101 0

кГ/м2);

коэффициент

линейного

расширения

cti =

= 12-10—6 град~};

коэффициент

Пуассона

ѵ = 0,25.

Коэффициент

температуропро­

водности пластины а = 0,05 м21ч. Рассчитать

амплитуду нормальных температурных

X

в квазистационарном

тепловом режиме.

напряжении в точке

1. О п р е д е л я е м к р и т е р и и т е п л о в о г о

п о д о б и я :

а)

критерий Био:

В і 1 =

Л ^ =

0-0,05 =

0,0;

В і 2 = / г 2

Я =

20 - 0,05 =

1,0.

б)

критерий

Предводителева:

2 я

R2

2-3,14-0,052

п

P d

Дт0

'

а

0,035-0,05

2. Р а с ч е т

б е з р а з м е р н о й

а м п л и т у д ы

н о р м а л ь н ы х

т е м п е ­

р а т у р н ы х н а п р я ж е н и й п р о и з в о д и м п о ф о р м у л е

Л

~

7 - 2 - 7 - 1

•

Функция М±І для условий примера

имеет вид

0 , 5 ( 7 2 - 7 - 1 ) { 4 s h ) / ± / P d -

| /

18

(1 T i) +

Pd

М ± І

=

Pd shV ± i P d — Vo,5 Pd (1 + i)chV±

* Pd—

+ " | / o , 5 P d ( l ± 0 ch V ± г Pd + l / —

, 1

— P d s h ] / ± /Pd — ] / û , 5 P d ( l

V

Pd

г Pd

+ i)chV±

Д л я критерия Pd = 9 имеем

sh3")/"/

- —2,143 +

3,604/;

c h 3 ] / / =

—2,206 +

3,502/.

Окончательный

вид функции

М±І

Д

Л

Я

рассматриваемого

случая

Л 1 ± і = 0 , 5 ( 7 - 2 - 7 0 :

3,13

±

2,20/

-7,18 ± 29,68/

3. Б е з р а з м е р н а я а м п л и т у д а к о л е б а н и я н о р м а л ь н ы х

т е м ­

п е р а т у р н ы х

н а п р я ж е н и й

А =

П

К / Т

т

ч

3,13 + 2,20/

7 - 2 - 7 - 1

0 , 5 ( 7 - 2 - 7 0

_ _ _ _ _

х

3,13 — 2,20/

— 7,18 +29,68 /

X 0 , 5 ( 7 2 - 2"! ) •

1/2

- 7,1 8 — 29,68/

= 0,063.

в размерном

виде

с ѵ у

ахЕ

(Т2

—

Тг) ч _

0,063-12- 1Q-6.1Q5 (700 — 100)

_

= 0,063

1 —

V

1 — 0,25

~

=

=

120,8

МнІлА

(12,30

кГ\мм^).

ахЕ

^ \

T (

r ,

t)rdr-±-^T{r,

t)rdr

(5.2.34)

1 — V

^ | Г ( г ,

*)rrfr +

_ L j Y ( r ,

t)rdr~T{r,

t) ; (5.2.35)

о

0

(5.2.36)

Выражение для функции температуры [110]:

со

со

Со

„

+

T(r, t)-Tu_"£_

(CmV.l + DmPdm)

^

0

Г о - г .

То-Т

X

m=\

я = 1

[ 7 - 2 - 7 - 1

( ^ + Р а ^ С Г а - Г О

X Л Л ( ^ ) e x p ( - ^ F o ) +

(NlmN_lmyl*

X

V

m =

l

X cos

Pdm Fo —arctg

Njm

-

N-im

(5.2.37)

Nim

+

N^im

где

2Bi

( > „

+

ВІ2) / 0

([*„)

j.in — корни трансцендентного

уравнения

h ( r t

B i '

• M u ) , ^і(м-)—функции Бесселя

I

рода

от действительного аргу­

мента соответственно нулевого и первого

порядка:

( / C m +

D m

) В і / 0 (ViP d m

y

)

i [V

i P d m / x

( V

i P d m

) +

B i / 0 (Vi

P d m

) ]

( - iC„ + Dm)

B

i / 0 [V

-i?àm

-

L

j

-

i [V

-

/ P d m / i

(V

-

i P d J

+

B I / „ (V

-

i

PdJ]

где / 0 ( 2 ) и Л (г)—модифицированные

функции

Бесселя первого

рода соответственно нулевого и первого порядка.

Модифицированные

функции

Бесселя

/ , ( г у " + і )

можно выра­

зить через функции

Кельвина [96]:

Ія

un

(zV±i)=Jq\ze

—

Iber, (г) +

і bei, (г)].

Значения Ьег,(.г)

и bei, (г)

табулированы.

Интегрирование

дает:

(іСт

+ £>m ) /1 (Vi Pdm

-

^

) ex p ( i P d , „ Fo )

О

т = 1

2i\Vi

PdmIû(Vi

Pd J

+

B i

I , ( Vi P d j

( -

iCm + Dm)

/1

(У

~

i P d m -—^expi—i

P d , „ F o )

— 2i V - i P d m / 0 (V - « Pdm) - ^

h ( V ~ i Pdm

)

0 0

0 0

(Cmp?n-DmPdm)ixl

f

~

T

'

)

+

X

m = l

n=l

хЦр„

^-)exp(-,^Fo)j

+

2

(5.2.38)

lim г-о

г

, t)rdr

= ^ Г ( 0 , t).

0

(iCm

+ Z>m)

X

YiPdmi0(Y'Pdm)

+ ^

- /

1 ( ^ P d

m

)

Bi

X

( -

iCm +

Dm)

X

- I [ Ѵ = 7 Р ^ / 0 ( У ^ Т Г ^ ) - ^

/ : ( Y :

=

^ г )