книги из ГПНТБ / Тепловые процессы при обработке металлов и сплавов давлением учеб. пособие для студентов металлург. спец. вузов

Т (г,

( Г в -

Т0) Bij ( l +

В і 2

In yj

+ і^-

-

r0j B i 2

( l +

B i i In

jj

t) - Г 0

Vi -

Tx)

(вц +

B i 2

+

BijBia in

j

OO OO

- s i :

( Г з - Г О ^ + Р с І ^ )

T ' a - 7 " ,

( h

i )

-

;я = 1 л = 1

0

0

11*1

7-2 — 7-

m =

l

— T

X

COS

Pdm Fo — a i ctg ( i

- ^ s —

(5.1.64)

где

Bi, = ^ - / ? f

B

i

2

6

-внутренний;

/? — наружный

радиус

полого цилиндра;

Fo = — ;

P d m = — R2;

Tt

— минимальное, T2

R2

a

максимальное

значения

функции Tc(t);

р.л —корни

уравнения

В і 2

'

о

'

X лг, (|*Я)j j 0

(м)- [ (ві2 Ä -

Щ J0 ы-

-(м+^)л(М)]"0 (М);

£ / ( М ) « ^ в + ^

] T V o ^ + f B i a - B i , ) ^ ^

A ( M ) —

_

" ^ 1 1 + l ! i p j y 0 ( ^ ) + ( B i s

- B i 1 ) y 1

(і* я )]л^і(M);

В і 2

( ± iCm

+ Dm)

{ [ l ] / 0 ( V T T P d ^

-

[2] * 0 [

V

^ ^

j h .

± M [ l ] [ 3 ] - [ 2 ]

[4]}

[1] = [ В і Л о

{V±

* PuMk)4-V±i

PdmkK1(V±

i

Pdmk)};

[2] = [ B i x / 0

(V±iPdmk)-V±iPdmk/l

(V±lPdmk)];

[3] = [ B i 2

/ 0 (V±iPdJ

+

V±iPdmIx(V±iPdm)};

[4]=[ВІ2 АГ0 (V±iPdm)-V±iPdmKï

(V±iPdm)];

Jq(z), Nq(z)—функции

Бесселя

ют действительного

аргумента со­

ответственно первого и второго

рода

п о р я д к а ^ ; Iq(z),

Kq(z)

— м о ­

[1а] =

[ В і Л о ( ^ ±

ïPdk)

+ V±

/Pd kK,{V±

iPAk)]

;

[2a]

=

[ B I , / 0

(V±

/ P d k ) -

V±

Pd klx

(V±

iPdk)};

[За] =

[ B i 2 / 0

(V±

i Pd) +

" K T T p d Л ( K ± / Pd)] ;

[4а] =

[ в у С 0

( V ± / P d ) - > 4

/ P d / C 1 ( l / ±

/ Pd)].

В формуле

(5.1.65) выражение

(NiN-i)i/2

характеризует

ампли­

туду

температурных

колебаний

в данной точке;

.

/-Ni — ЛГ_Л

а г с ' &

( дг + N •)

~ " с д в и г Ф а з ы

температурных колебании.

режима

нагрева стенки полого цилиндра в точке л=0,16 м, если полый

цилиндр

изнутри

подвергается теплообмену

со средой, имеющей

температуру

100° С

/ 200

V

[коэффициент теплоотдачи а і = 2 0 0

втI (м2 • град)

(

-ккал\м2-ч-граа\

\1,163

/

стому гармоническому

закону

[длительность периода колебаний

температуры

Л?п=1,0

ч;

минимальное

значение

температуры

среды

Г і = 1 0 0 ° С ;

макси­

мальная

Г 2 = 6 0 0 ° С ;

средний

коэффициент

теплообмена а г = 1 0 0

вт/(м2-град)

[

1 0

0

;

\ 1

)

;

материал

цилиндра — сталь марки

35;

теплофизи-

j

—

—

ккал\м2-ч-град

\1,163

/ J

/ 4 0

\

ческие характеристики: Х = 40

вт/(м-град)

I

ккал\м-ч-град

1 ; а — 0,04 мЦч;

внутренний диаметр цилиндра 26 = 0,2 м;

наружный

диаметр

2/? = 0,40 м.

1. О п р е д е л я е м к р и т е р и и т е п л о в о г о

п о д о б и я :

а)

критерий Био:

В і х

=

а,

200

-0,10 =

0,50;

-j-b

=

—

В і 2

=

а 2

100

-0,20 =

0,50;

у - R =

—

б)

критерий Предводителева:

Pd =

2 я # 2

2-3,14-0,202

6,28;

=

'

—

=

Lt0a

1,0-0,04

в)

относительная

координата изучаемой

точки:

г

0,16

„„

— = - !

— = 0 , 8 0 ;

R

0,20

2. Из приложения № 2 находим

б е з р а з м е р н у ю а м п л и т у д у т е м ­

п е р а т у р н ы х к о л е б а н и й

в т о ч к е —

=

0,8:

R

Ф (-^,

В і ь

Ві 2 , Pd,

=

0,208.

6

компонентов напряжений: охх, суу,

azz,

аху, ayz, GZX;

6

компонентов деформаций: \ х х , \ у у , \ г г , \ х у , \ y z , \ z x \

3

компонента перемещения: и, ѵ, w

(соответственно по коорди­

натным осям X, у и z).

Эти компоненты удовлетворяют следующим уравнениям.

У р а в н е н и я " р а в н о в е с и я :

да XX

I

даху

I дол

"XZ

дх

'

ду

дг

д<*хУ _|_

дчуу

_j_ bcyz _j_ у

Q.

(5.2.1)

дх

ду

dz

дх

ду

дг

д^а

„

д2ѵ

„

dïw

Ôt2

dt2

dt2

где 'p — массовая плотность.

В цилиндрической системе координат г, Ѳ и z уравнения

равно­

весия запишутся следующим

образом:

дагг

1 d u r 0

d a , , a r r — a„„

дг

г

дд

дг

darz

1

да^

dazi

• + Z = 0;

(5.2.2)

дг

* г

до

dz

да9г

+

Ѳ = 0,

дг

дг

дг

где R, Z

и Ѳ —компоненты

объемных

сил в направлениях г, z и Ѳ.

В сферической системе координат г,

Ѳ и

ф уравнения

равновесия

приобретают следующий вид:

дог?

даГГ

1

дг

'

г

sin

В

dtp

1

f2ar

is — o, ç +

о,о • c t g

Ѳ) - f

/ ? = 0 ;

да

•

r

1

,

»

дг

дѴ

sin Ѳ

(5.2.3)

[(Зѳе

c t g 6 + 3ar e ] + e = 0;

Öu0

1

o4„„

r sin

- f

-j1 [Sir? +

2а б , . ctg Ѳ] +

Ф =

О,

где R, Ѳ и Ф — компоненты

объемных сил в направлениях

г, Ѳ и ф.

С о о т н о ш е н и я м е ж д у т е р м о у п р у г и м и

н а п р я ж е ­

н и я м и

и д е ф о р м а ц и я м и .

Полные

деформации

в

каждой

Ѣхх

-jl°xx-

- v ( e W +

<*«)] "

т [

3

у

у

~

-4°zz

+

axx)]- f

а{Г\

(5.2.4)

+an)\

^zz

\ \

°

z

z

-

- v (°xx

-f

axT\

ѢхУ

1

1

1

2G

a*y'

—

~2G

a y z

f

G = -2(1 + V )

В некоторых случаях целесообразно выразить явным образом

напряжения через деформации:

а X X = І е + 2 ^ х х

— ( ЗХ + 2JA) а {Г ;

e w = Хе + 2 K W — (ЗХ + 2р) а ^ ;

(5.2.5)

а г г = Х е + 2

[ х | г г - ( З Х + 2 і х ) а 1 Г ;

(1 + Ѵ ) ( 1 - 2 ѵ )

2 ( 1 + ѵ)

имеют

такой же вид, как и в теории

изотермической

упругости.

В частности, для декартовой системы координат х, у и г:

да

дѵ

dw

%хх

дх

$zz ' ~à~7

^ХУ ~

±1 du _^.JE.)

1

/ dv I

dw \

(5.2.6)

2 ( ду

'

дх )

^ • " T v i r " 1 -

< w ;

%zx~

J _

(

dw

,

du >

2

i

дх

Г

dz

j

где w, и и ш — компоненты

вектора перемещении в направлениях

X, у и z

соответственно.

І :

ей

dw

ии , I

11 дѵ

or

dz

r

r

„

1 / 1 du

, дѵ

V \ .

1 / du I dw \

_

^

= т

( т 1

г +

1 г

- т ) '

^тЬг+іг)'

с 5 - 2 - 7 )

t

1

/ dü

,

1

ÖW \

I

где

и, у и до — компоненты

перемещения соответственно в направ­

лениях г, В и г.

В сферических

координатах

зависимости между деформациями

и перемещениями запишутся так:

t

du

у

и

,

1

àv

1

irr

т~ ! see — — h

г

до ;

dr

,

V

r

1

ода

1 ÔM

Öl»

и

, с .

4ft'

:

1

ctg6-t

—

. —

m — — — dB

dr

г

г

г

sin

Ѳ

dtp

(5.2.8)

1

,

dw

1

+

~àr

r

sin

Ѳ

dy

fay

— 2

U

dw

c t g ö -W-

dv

d6

r

sin

d<p

где w, V и до — компоненты

вектора перемещений соответственно в

направлениях г, Ѳ и ф.

К дифференциальным

уравнениям

(5.2.1) — (5.2.8)

должны быть

присоединены

граничные

условия, которые обычно

записываются

следующим образом

(для декартовой системы

координат):

граничные условия в напряжениях:

Х =

У=

(5.2.9)

1-

где X, Y, Z — компоненты

поверхностных сил в направлениях х, у

и z соответственно;

пх,

пу,

nz

— направляющие

косинусы внешней

нормали к граничной

поверхности;

граничные условия в перемещениях:

и = / ( Я ) ,

v=g{P),

w=h{P),

(5.2.10)

где P — произвольная

точка

поверхности; /,

g

и

h — заданные

функции.

Необходимо остановиться на следующем обстоятельстве. С фи­

зической точки

зрения

поставленная

выше задача

термоупругости

уравнения

равновесия выразить через деформации.

В то же время

с помощью

соотношений между деформациями и

перемещениями

+ iохL +

- (ЗХ +

ах ох-^-

+

Х=0;

(* + FO -г- +

Ѵ-^ѵ - (ЗХ +

2;х) а,

~

У=0;

(5.2.11)

ду

ду

dz

oz

•z=o, у

да

,

дѵ I

dw

e~~dx^"ô^^'~dz

'

а символ V 2

обозначает

оператор

Лапласа,

который записывается:

для прямоугольной системы

координат

m

,

02

, (92

дх2

ду2

dz2

для цилиндрических координат г, Ѳ, z

02 , 1

a_ I J__Ö2_

02

l2= .0/2

Г

0r

r2

002

*~

dz*

для сферических координат г, Ѳ, ф

д2=

f ( l - m

2 ) —

1

02

0Л

/•2 0/Я

/•2(1 —/ге2)

а<р2

0/"2

L

dm .

где m = cos Ѳ.

Ф о р м у л и р о в к а

з а д а ч и

в

н а п р я ж е н и я х .

Система

(1 + ѵ) ѵЧ,+

02/?

•aß

+ V

02Г

=

0;

0*2

V

0*2

(і+>)ѵЧ,+

02/=-

-aß

02Г

=

0;

Öy2

0(/2

02/="

-ѵ2 г-

02Г

(5.2.12)

-aß

=

0;

0г2

0г2

02/="

-aß

02Г

= 0;

dxdz

дхдг

( l + v ) V \ + — - + a 1 £ — = 0 ;

охог/

охду

(5.2.12)

(1 + ѵ ) ѵ Ч , + ^ - + о ^ ^ = 0.

Эти

уравнения

называются

уравнениями

с о в м е с т н о с т и ,

выраженными в компонентах напряжений. При такой

постановке

задачи

необходимо

решить дифференциальные

уравнения

(5.2.1) и

(5.2.12)

при граничных условиях

(5.2.9), т. е. заданных

в

напряже­

ниях.

ж е н н о й п е р и о д и ч е с к и м т е п л о в ы м

в о з д е й с т в и я м

( с и м м е т р и ч н о е т е м п е р а т у р н о е п о л е )

Свободная от поверхностных сил пластина толщиной 2R имеет

начальную

температуру Т0. Края

пластины

теплоизолированы.

В момент

времени .* = 0 пластина

помещается

в теплоотдающую

гармоническому

закону

оо

Тс

(0 = Y +2

(Cm cos om *4- Dm sin *J).

(5.2.13)

m =

l

пластине для любого момента времени

(считаем температурное по­

ле пластины симметричным и одномерным).

Компоненты напряжений в данном случае будут иметь следую­

щий вид:

0 < w = ° « = / ( • * ) ; ахх=°х*

= аѵх = *ги—Ъ.

(5.2.14)

тождественно, а первые три удовлетворяются, когда

d2 I ,

,

а і Е

rj=o.

(5.2.15)

dX2

f-

1-

Следовательно, не равные нулю компоненты имеют следующий

вид:

щЕ Т-\-С1-\-С2х,

(5.2.16)

= °zz = f{x)

=

пературы Т(х,

t)

результирующая

сила и результирующий

момент

(на единицу длины), обусловленные напряжениями оуу

и ozz,

были

равны нулю на краях пластины, т. е.

auudx=

R

ozzdx=0;

j

j

(5.2.17)

j

GyyXdx— j

ezzxdx

— 0.

(5.2.18)

-R

Найденное таким образом

решение запишется [106, 109]:

j Т(х,

Зх

»уу-

1 — V

2R

t)dx-

2R3 ^ Т(х,

t)xdx

— T(x,

t)

~ R

(5.2.19)

Это решение справедливо на расстояниях от краев больших, чем

одна толщина

пластины

(т. е. в рамках принципа

Сен-Венана).

Температурная функция в рассматриваемом случае имеет сле­

дующий вид [110]:

Со

Со

T (X, t) -

Г 0

2

2

X

То — Ті

То-Т

To —

T,

m-=l

/1=1

X

An

cos |»я

~

exp

(—

I 4 F O ) J

- f

1 (

(NlmN-im)1/2

cos

Pd m

Fo — arctg ( i

N.

(5.2.20)

т2-т1

N-in

m = l

Nim

+

где

2 sin \xn

A„ =

\>.n +

COS Цл sin (A„