книги из ГПНТБ / Тепловые процессы при обработке металлов и сплавов давлением учеб. пособие для студентов металлург. спец. вузов

Предположим, нас интересует температурное поле штампа за первые два цикла «штамповка-пауза», т. е.

этому в расчетах можно использовать выражение (5.1.16). Запи­

Интегральное уравнение (5.1.19) решаем методом последова­ тельных приближений, для чего функцию f(Fo) будем искать в форме степенного ряда [65]:

Подставляя (5.1.20) в интегральное уравнение (5.1.19) и сравни­ вая коэффициенты при одинаковых степенях г, будем иметь:

и т. д.

140

В частности, при принятых параметрах теплообмена можно для нулевого приближения записать

O0 (Fo) = 56,40 [ V ' F O - K F O —0,0001T,(FO-0,0001) +

-f- / F o - 0 , 0 0 1 0 r j (Fo - 0,0010) - VFO- 0,001 lij (Fo - 0,0011). (5.1.24)

Несложно получить выражения для остальных функций Ф„(Ро) . На рис. 5.1 приведены значения функций

л(Ро)=2гЯф»(р°)'

л = 0

Как видим, для рассматриваемого случая можно ограничиться вто­ рым приближением, т. е. функцией

/ ( F o ) « / 2 ( F o ) = O0 (Fo) + rO1 (Fo) + r ^ 2 ( F o ) .

Ц и л и н д р

Используя изложенный метод, решим задачу теплопроводности для цилиндра при краевых условиях (5.1.1) — (5.1.3). В этом случае дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид

Применяя к этому уравнению интегральное преобразование Ла­ пласа — Карсона, получаем

141

'• Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения (5.1.26), удовлетворяющее граничному условию (5.1.7), запишется так:

/о((in), ^і(м-п)—функции Бесселя от действительного аргумента соответственно нулевого и первого порядков.

В выражение (5.1.30) входит неизвестная функция /(Fo), кото­ рую необходимо определять отдельно, учитывая граничное условие (5.1.2).

Принимая во внимание, что это условие после преобразования имеет ъид

/ ( F o ) = f B l ( * K ( * ) < P 4 ( F o f / ( * ) B i ( * ) < p 4 ( F o ( 5 . 1 . 3 5 )

142

где

Полученное выражение (5.1.35) является интегральным урав­ нением Вольтерра I I рода относительно температуры поверхности цилиндра. Решая это уравнение и подставляя найденную функцию f(Fo) в выражение (5.1.30), мюжно рассчитать температуру ци­ линдра в любой его точке для любото момента времени.

Целесообразно найти решение, удобное для вычислений темпе­ ратуры поверхности цилиндра при малых значениях времени. Для этого используем следующие асимптотические разложения функ­ ций Бесселя при больших значениях аргумента [96—103]:

В соответствии с этими разложениями в ряд запишем условие (5.1.34) для больших значений параметра р (что соответствует ма­ лым значениям времени) :

Если в правой части выражения (5.1.38) ограничиться первыми двумя членами ряда, то после обратного преобразования получаем для малых значений времени следующее интегральное уравнение Вольтерра I I рода:

Fo

Интегральное уравнение (5.1.39) можно использовать при вы­ числениях температуры 'поверхности цилиндра для малых значений времени.

Входящая в формулу (5.1.30) функция фз(А", t) требует в вычи­ слениях при малых значениях времени значительной затраты труда ввиду слабой в этом случае сходимости ряда (5.1.31). Приведем

143

для этой функции выражение, удобное для вычислений при малых

144

Приведем следующий пример. Предположим, что требуется ис­ следовать температурное поле хобота кантовальной машины. Счи­ таем, что хобот представляет собой цилиндр, на боковой поверх­ ности которого действует граничное условие (5.1.2). Принимаем следующие значения параметров теплообмена: длительность пребы­

vc (Fo) = 1,0 - h (Fo - 0,03) - 7j ( F o - 0,06) + ц (Fo - 0,09)].

Решая уравнение (5.1.39) методом последовательных приближе­ ний, находим приближения функции температуры поверхности:

н у л е в о е п р и б л и ж е н и е

и т. д.

k-e приближение функции температуры поверхности будет иметь следующий вид:

л(ро)=2 ф*(р°)-

л = 0

На рис. 5.2 показаны нулевое и первое приближения функции f(Fo). Второе приближение практически совпадает с первым. Сле­ довательно, в рассматриваемом интервале времени достаточную точность обеспечивает первое приближение.

145

0,16

од

Л

ом

Рис. 5.2. Приближения функции температуры поверхно­ сти хобота:

J - f o ( F o ) ; 2 - M F o )

Ша р

Запишем дифференциальное уравнение теплопроводности для шара следующим образом [32]:

После преобразования Лапласа — Карсона это уравнение при­ обретает следующий вид:

Общее решение дифференциального уравнения (5.1.47):

Найдем значение градиента функции v (X, р):

При значении X-*~0 первое слагаемое правой части выражения (5.1.49) обращается в бесконечность. Второе слагаемое в этом слу­ чае представляет собой неопределенность типа 0/0. Раскрывая ее, имеем

146

Следовательно, для того чтобы удовлетворялось граничное ус­ ловие (5.1.7), необходимо положить А ( р ) = 0 . Таким образом, ре­ шение дифференциального уравнения (5.1.47) должно иметь сле­ дующий вид:

При граничном условии (5.1,8) решение поставленной задачи в области изображений запишется так:

Принимая во внимание табличное операционное соответствие

и используя теорему Бореля, запишем выражение температурного поля в шаре:

В (5.1.53) входит неизвестная функция f(Fo), которую можно определить, используя граничное условие (5Д.2).

Для рассматриваемого случая нагрева шара это условие после преобразования запишется так:

После обратного преобразования выражения (5.1.54) получим интегральное уравнение Вольтерра I I рода относительно темпера­ туры поверхности / (Fo):

147

где

л - 1

—корни уравнения

Для вычислений температуры поверхности при небольших от­ резках времени преобразуем функцию ф б ( 0 :

В последнем преобразовании принято во внимание то обстоя­ тельство, что при 'больших значениях аргумента s h z » c h z.

После обратного преобразования имеем

sh Y P

Разлагая (sh]//?) 1 в ряд

со

1 _ = 2 YJ ехр [ - ( 2 л - 1 ) ] / ^ ] ,

а также используя формулу

148

позволяют решать вопрос о температурном поле ряда деталей про­ катных и кузнечно-штамповочных машин.

Пределы применимости этих зависимостей обусловлены следу­ ющими требованиями:

1) температурное поле рассматриваемой детали должно быть симметричным и одномерным;

2) деталь должна 'быть (или ее можно приближенно считать) телом правильной формы (т. е. пластиной, цилиндром или шаром) .

В то же время ряд деталей прокатных и кузнечно-штамповоч­ ных машин имеет в процессе эксплуатации более сложные темпе­ ратурные поля, чем рассмотренные выше. Например, температурное поле проводок прокатных станов * периодически изменяется во вре­

Некоторые линейные задачи подобного рода решены в работе [110]. В частности, для случая периодического нагрева длинного по­ лого цилиндра функция распределения температуры по сечению имеет следующий вид (принято: начальная температура цилинд­ ра Го; температура теплоотдающей среды, находящейся внутри ци­ линдра, 7В ; температура среды, находящейся снаружи цилиндра, изменяется во времени по сложному гармоническому закону

со

149