книги из ГПНТБ / Тепловые процессы при обработке металлов и сплавов давлением учеб. пособие для студентов металлург. спец. вузов
.pdf- 0 - * ) < * < + ( 1 - * ) ; |
|
|
дѵ |
= 0; |
(3.1.6) |
|
||
дх іх=о
дХ |
— Ki (Fo); |
(3.1.7) |
х=-+(і—ô) |
|
|
|
|
|
|
0) = 0. |
(3.1.8) |
В предыдущей главе при аналитическом решении задачи о тем пературном поле металла при прокатке на обжимных станах был использован метод замены неподвижной системы координат под вижной. Это было возможно вследствие того, что исследуемое тело можно было считать полуограниченным (на основании общеприня тых представлений из теории нагрева о теплоинерционных свойст вах нагреваемого материала). В рассматриваемом здесь случае ре шения задачи для тела ограниченной толщины указанный способ оказывается неприемлемым. В связи с этим используем другой спо соб решения.
Будем искать функцию v(X, Fo) в виде следующего ряда:
v(X, Fo) = ß (Fo) + Х^ (Fo) + * 2 ?2(Fo ) + ^ 3 ? з (Fo) |
4- |
+ * 4 ß 4 ( F o ) - f • • . + X " $ a ( F o ) - Po(Fo) Fo. |
(3.1.9) |
Подставляя выражение (3.1.9) в дифференциальное уравнение (3.1.5) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X, на ходим соотношения между функциями ß n ( F o ) и ß<n >(Fo). При этом имеем в виду
pi»)(Fo) = 0,
что вытекает непосредственно из условия (3.1.6). Приведем искомые соотношения:
|
|
fc(Fo)=i^pL; |
|
|
|
|
|
||
|
|
ß , ( F o ) = ^ |
p |
'3! |
> - |
|
|||
|
|
|
|
|
( |
F o |
|
|
|
|
|
ß4 (Fo) |
ß " ( F o ) . . |
|
|
Afft'(Fo) |
|||
|
|
4! |
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ß5 (Fo) = |
|
|
|
, |
|
M f ß ' ( F o ) _ |
||
|
5! |
|
|
* |
|
5! |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
P6 (Fo) |
r ( F o ) |
, |
3Af2 ß"(Fo) |
AfJß'(Fo) |
||||
|
6! |
|
6! |
|
|
|
6! |
||
|
|
|
|
|
|
||||
R |
/ п \ |
ЗМ^ГіРо) |
, |
|
3o n , |
|
5Af ß'(Fo) |
||
4 A f ^ " ( F o ) |
|||||||||
ß7 |
(Fo) = |
— — |
|
7! |
|
' |
7! |
||
|
|
7! |
1 |
|
|||||
100
в |
/ о |
ч ß ( 4 ) ( F o ) . |
ШІГіРо) |
|
5M<ß»(Fo) |
. Л ф ' ( Р о ) |
|
р |
8 (Fo) = ——-——А |
8! |
|
8! |
и т. д. |
||
8 |
Ѵ |
8! |
1 |
1 |
8! |
||
Следовательно, функцию ѵ(Х, Fo) можно записать так: |
|||||||
V(X, |
Fo) = ß + - | І |
fi' + - f - ѵИ$' - t - - ^ - (ß" + |
^ИіР') + - f - {2Щ" + |
||||
+ ^ ï ? ' ) - f - — ( r + 3 M Ï ? " + M Î ? ' ) + — ( З М 1 Г - Н Л Ф ' + M i ß ' ) +
6! |
7! |
|
+ |
. . . - P o ( F o ) F o . |
(3.1.10) |
По физическому смыслу функция ß(Fo) представляет собой без размерную температуру в центре пластины (Х = 0) при условии, что мощность тепловых источников равна нулю, в чем можно убедиться
непосредственно, полагая в выражении |
(3.1.10) Х = 0. |
|
||||||
На основании (3.1.8) и (3.1.10) сформулируем начальное усло |
||||||||
вие задачи следующим образом: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
rfFo" |
-ß(Fo) |
|
= |
0. |
(З.І.Юа) |
|
|
|
|
|
Fo=0 |
|
|
||
Запишем выражение для градиента |
температуры: |
|
||||||
дѵ(Х, |
Fo) = |
Л р + |
Х 1 |
щ , |
+ |
Х* |
( г + у И ^ ) |
+ |
дХ |
1! |
2! |
1 |
1 |
3! |
~ |
' |
|
Аг^ |
(2ЛГ1?" + Ж?Г)+4г ( Г + ЗЖ?Э" + ^ |
) + |
||||||
4! |
|
|
|
5! |
|
|
|
|
|
+ — |
( ЗЛ*І Г + 4Af ^ |
+ Л*ÏP' ) + • • • • |
(3.1.11) |
||||
6!
В соответствии с (3.1.11) граничное условие (3.1.7) можно пред ставить как
дѵ (X, |
Fo) |
, |
|
|
, |
|
( 1 - 6 ) 2 |
|
|
, |
|
( 1 — й ) 3 |
|
|
|
|
_. |
|
ß |
|
M R f |
/ |
+ |
|
|
|
|||||
а х |
|
|
|
|
' + i i ^ M |
|
i ^ i ( r + ^ ' ) + |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 — й)4 |
, |
g |
|
. |
(1 — *)5 |
{У'-\-Ш\У |
+ |
М\$')Аг |
||||||
|
л і |
|
(2Щ"+М$')+ |
|
|
( і J |
> 0 |
||||||||
|
4! |
|
|
|
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
( 1 ~ |
é ) S |
( З М / ' ' - f |
4M?ß" + |
M,ß') - f • • • = К і |
(Fo). |
(3.1.12) |
|||||||
|
|
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как |
следует |
из |
(3.1.10), решение |
поставленной |
задачи |
сводится |
|||||||||
к определению функции ß(Fo) и ее производных по времени. С этой целью введем условный параметр g, характеризующий процесс схо
димости, и запишем (3.1.12) следующим |
образом: |
|
|
|||||||
1 - * Ь |
Г + ( 1 |
~ £ * ) 2 |
М&'Аг^~Щ*№ |
|
+ |
М%')А- |
|
|||
1! |
|
|
|
|
2! |
3! |
|
|
' |
|
(1 - £*)* ( |
2 |
Л 1 |
р / / |
+ |
М 3 р 1 |
) 4 (1 - W 5 ( |
Г _ З Л 1 |
1 Г + |
Ж 4 ? , j |
+ |
4! |
|
|
|
1 |
|
5! |
|
|
|
|
4 - ( 1 ~ І |
Ь |
) е |
(ЗМ |
-f-4/HfB^-f-М%') Ar ... |
= K i ( F o ) . |
(3.1.13) |
||||
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
101
С другой стороны, искомую функцию ß(Fo) |
аппроксимируем |
рядом: |
|
Р(Ро) = ф 0 + С ф 1 + С ф а + |
(3.1.14) |
где i|}fe(Fo) представляют собой приближения функции ß(Fo). Фор мально можно записать
rfFo х ' dFo , и ' rfFo 1 1 dVo
|
d 2 |
ß(Fo) = |
^ |
+ o |
+ |
$ - # T ^ 2 - |
^ |
7 |
l |
' 2 |
' f |
••• |
и |
т. |
д. |
|
Подставляя ряд |
(3.1.14) в выражение |
|
(3.1.13), имеем |
|
|
|
||||||||||
^ |
Wo+W+^2 |
|
- + - . . . ) + ^ 1 ^ 1 м , |
( |
« |
і |
і |
+ |
+ + |
. . |
. |
) |
+ |
|||
+ |
[ |
( Ф о + |
$ |
+ ? |
ь |
+...)+мц%+СФ; |
|
|
|
|
4- ?ь |
+...)] |
+ |
|||
+[2Af ! Wo + É?W + Е2ф2 + • • • ) + Ml (фо + £фі + £2 Ф2+ • • • ) ] + •
+-^Цг^-5 і(ь+$ФІ"++...)+зм? |
+ç«i>;+^+...)+ |
о! |
|
+ M Î ( « і і + $ + ц 2 ф 2 + . . . ) ] + ( 1 ~ W 6 [ЗЛІХ |
( « І І + 5 « р г + ^ + . . . ) + |
о! |
|
+ 4 ж ? ( « І І + $ + ^ + . . . ) + ж ? ( « ^ + ? Ф І + ^ + . . . ) ] + |
|
+ . . . = K i ( F o ) . |
(3.1.15) |
Приравнивая нулю сумму членов, содержащих параметр g в оди наковой степени, образуем дифференциальные уравнения, опреде ляющие функцию ß(Fo) последовательно в нулевом, первом и т. д. приближениях. Например, приравнивая нулю сумму членов из (3.1.15), содержащих параметр g в нулевой степени, находим для нулевого приближения функции ß(Fo) следующее дифференциаль ное уравнение:
|
1! |
|
31 |
' |
5! |
1 |
/ 1 |
1 |
1 |
V 3! |
1 |
5! |
1 |
|
7! |
/ |
1 |
\ 2! |
1 |
4! |
1 |
6! |
1 |
/ |
1 |
|
\ |
4! |
' |
6! |
1 |
8! |
' |
/ |
" |
+ . . . = Kî (Fo). |
(3.1.16) |
С физической точки зрения условие (3.1.16) выражает значение градиента температуры в точке Х=1 при условии, что величина 6 = 0 (т. е. пластина имеет неподвижные поверхности). Это обстоя тельство вытекает непосредственно из (3.1.12) и (3.1.14).
102
Приравнивая нулю сумму членов из (3.1.15), содержащих пара метр £ в первой степени, находим дифференциальное уравнение, оп ределяющее функцию грі (Fo) :
Нетрудно получить дифференциальные уравнения, определяю щие остальные функции гр^(Fo).
Если допустить, что найдены несколько функций i|)Ä (Fo), то вы ражение для функции ß(Fo) в k-м приближении запишется следую
щим образом: |
|
|
3* (Fo) = ф0 + <W + ф2 + - . . . + «fe |
(3.1.19) |
|
(при этом полагаем |
1 ) . |
|
103
Таким образом, получены |
дифференциальные уравнения |
(3.1.16) — (3.1.18), решая которые |
можно отыскать функцию темпе |
ратурного поля раската соответственно в нулевом, первом и втором приближениях. Для иллюстрации метода решим упрощенный вари ант задачи, полагая, что М\ = 0 (это соответствует такому процессу обработки давлением, когда деформируется только приконтактная часть раската, а остальная часть металла деформации не подверга ется) [70]. В этом случае дифференциальные уравнения для функ ций гро(Fo) ; \pi (Fo) и грг (Fo) соответственно запишутся так:
|
|
|
|
|
1 |
|
d F + o ( F o ) = |
Ki(Fo);' |
|
|
|
(3.1.20) |
||||
|
|
|
(2л — 1)! |
d Fo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
л = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
! |
— V ( F o ) - * |
V |
|
|
|
^-<]>0 (Fo) = |
0; |
(3.1.21.) |
|||||||
^ J ( 2 n - 1 ) ! |
d¥on |
T l 1 |
|
|
|
ZÀVn-2)\ |
|
d |
¥ o n |
' 0 V |
' |
, |
K |
} |
||
|
CO |
|
|
|
|
|
CO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У — ! |
d— |
|
Ь (Fo) - b У |
— ! |
d— |
Ь (Fo) + |
|||||||||
|
^ ( 2 n - l ) l |
d F o " |
|
|
|
^ ( 2 л - 2 ) ! |
d F o " |
|
|
|
||||||
|
|
+ |
*2^V |
|
9V |
|
ро" |
Фо(Ро) = |
0. |
|
|
|
(3.1.22) |
|||
|
|
|
|
^ |
|
(2n — 2)! |
d |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Найдем функцию ß(Fo) в нулевом |
приближении, т. е. ßo(Fo) = |
||||||||||||||
= \|)0 (Fo). Для этого |
необходимо |
решить |
обыкновенное |
линейное |
||||||||||||
дифференциальное уравнение |
(3.1.20) лри следующих начальных ус |
|||||||||||||||
ловиях: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
: . . . |
|
^ Ѵ ^ ( р ° ) г о = о . , |
|
|
|
|
|
|
(3-Д.23) |
||||||
|
|
|
d |
Fo |
|
я - о , l , 2, з ... |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Подвергнем дифференциальное уравнение (3.1.20) интегрально |
|||||||||||||||
му преобразованию Л а п л а с а — К а р с о н а , после чего получим |
||||||||||||||||
|
|
UP) |
( |
f |
+ f |
- + |
f |
+ |
• • |
|
|
|
|
|
(3.1.24) |
|
где V |
|
|
|
|
сю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% (P) = |
P |
f ехр ( - |
р Fo) Ф0 |
(Fo) d Fo; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K ï ( ^ ) = K i 1 + ( K i 2 - K i 1 ) ? ( / ' ) ; |
|
|
|
|
|
||||||||
ф(р) определяется |
соотношениями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
п |
|
|
|
для (п + 1)-й |
паузы |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? 0 ) = ] £ ] |
e x p { - / ; [ ( m ^ l ) F o 0 + F o 1 ] } - e x p ( - / ? m F o 0 |
) ; |
|
(3.1.25) |
||||||||||||
104
для (п-\-1)-го обжатия
?(/>) =2 exp[-/7(mFo0 -fFO l )]-2 е х р ( - р п г Fo0 ). (3.1.26)
т=0 |
т-1 |
При преобразовании дифференциального уравнения (3.1.20) ис пользовано известное Соотношение из теории операционного исчис ления
^(«)(Fo)==^/7» f(p)-
k=0
Принимая во внимание разложение в степенной ряд гиперболи ческого синуса
|
sh z — |
Z |
(- |
z3 |
, |
z$ I |
г7 |
|
|
1! |
~зГ |
|
"оТ^ТГ |
|
|||
|
|
1 |
|
|
||||
перепишем выражение (3.1.24) следующим образом: |
|
|||||||
|
~Ѵ~Р , |
( ѵ ^ ) 3 |
, (ѴРГ , = К1(р). (3.1.27) |
|||||
|
1! |
|
3! |
|
5! |
|
|
|
Отсюда решение для функции |
|
tyo(p) |
в области изображений име |
|||||
ет следующий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V p sh У р |
(3.-1.28) |
|||
|
|
|
|
|
||||
Используем табличное операционное соответствие [62] |
|
|||||||
|
. с ^ |
|
1 1 2 |
|
|
со |
|
|
1 |
|
|
2 |
ехр ( — Jt2£2 Fo) |
(3.1.29) |
|||
|
|
: FO |
|
|
|
|
||
V P |
p |
6 |
|
It2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
и теорему запаздывания, заключающуюся в следующем: ехр ( — ар) f {р) == / (Fo — a) TJ (Fo— а),
где т)(г)—единичная функция, определяемая выражением (1.6.5). Осуществляя обратное преобразование, получим решение для
-функции tl)o(Fo) в области действительной переменной:
|
для первой паузы |
( O ^ F o ^ F o i ) |
|
|
||
|
<|.0(Fo) = |
Ki 1 «(Fo), |
|
(3.1.30) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
и (Fo) = |
F o - — |
_2_ |
|
(— l)k е х р ( — я 2 ^ 2 Fo) |
(3.1.30а) |
|
Я2 |
|
£2 |
||||
|
|
|
|
|
||
для |
первого обжатия |
(Fo, ^ Fo <; Fo0 ) |
|
|
||
ф0 (Ро) = КІ!И (Fo) - f ( K i 2 - |
Kix ) и ( F o - Fo,) TJ ( F o - Fox ); |
(3.1.31) |
||||
105
|
для |
второй |
паузы |
|
|
(Fo0 -< Fo < ; Fo0 -(- |
|
|
||||||||
Фо(Fo) - Kii« (Fo)H- ( K i 2 |
- Kix ) [« (Fo - F 0 l ) KJ ( F o - F o J - |
|||||||||||||||
|
|
|
- M ( F o - F o 0 ) r i ( F o - F o 0 ) ] ; |
(3.1.32) |
||||||||||||
для второго |
обжатия |
|
(Fo0 |
4- Fox •< Fo -< 2Fo0 ) |
|
|
||||||||||
% (Fo) = |
К ч « (Fo) f- ( K i 2 |
- |
|
Кч) [и ( F o - |
FoJ T, ( F o - Fo,) - |
и (Fo - |
||||||||||
— Fo0 ) ті (Fo — Fo0 ) -f- и (Fo— |
Fo0 |
— FoJ |
TJ (Fo— Fo0 — Foj)]. |
(3.1.33) |
||||||||||||
По аналогии |
для |
(п-^І)-й |
|
паузы |
|
(п Fo 0 - < Fo <Ç n Fo0 -f- |
FoJ |
|||||||||
<l>0(Fo) = Kl 1 a(Fo) + |
( K i 2 - K l 1 |
) |
j? |
u |
[Po-{m-l)Fo0-FoJ |
|
X |
|||||||||
X 4 [Fo — (m — 1) Fo0 — Fo,] — и (Fo — m Fo0 ) rt (Fo —m Fo0 ); |
(3.1.34) |
|||||||||||||||
для |
(ra-j-l)-zo обжатия |
|
[n Fog + |
|
Foj < Fo < (n-\-1) |
Fo0 ] |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
и (Fo— m Fo0 — Fo,) rt (Fo — |
||||
0 |
1 |
«(Fo) + |
( K i |
2 |
- K i |
1 |
) |
"V |
||||||||
<b (Fo) = |
Ki |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m=0 |
|
|
|
|
|
m Fo0 — m Foj) — 2 |
|
и |
(Fo— m Fo0 ) T, (Fo — m Fo0 ) |
|
(3.1.35) |
|||||||||||
m=0
Необходимо иметь в виду, что процесс прокатки обычно проте кает за небольшие отрезки времени. Принимая во внимание, что ряд в выражении (3.1.30а) для функции w(Fo) плохо сходится при малых значениях аргумента Fo, целесообразно представить эту функцию в форме, удобной для вычислений именно при таких зна чениях Fo. Следуя [32], произведем следующее преобразование:
|
VpshVp |
Vp |
f 1 — exp ( — 2 V |
p) |
|
|
||||
Поскольку |
для любого |
момента времени |
прокатки |
справедливо |
||||||
соотношение |
е х р ( — 2 | / р ) < 1 , можно, |
используя |
известное |
разло |
||||||
жение в ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 _ |
= 2 * * ' |
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
1 — Z |
г < 1 |
|
|
|
|||
записать (3.1.36) |
иначе: |
к~0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
2 е х р ( — V |
р) |
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
exp(-2kVp). |
(3.1.37) |
||||||
VpshVp |
|
VJ |
У£ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если ограничиться в (3.1.37) первым членом ряда, то получим |
||||||||||
после обратного |
преобразования |
приближенное |
значение функции: |
|||||||
a ( F o ) ^ 2 |
2 |
Fo |
exp |
|
• erfc |
|
. |
(3.1.38) |
||
|
|
|
|
|
4Fo |
( 2 I / F 0 |
) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ÎOft
Если же в (3.1.37) сохранить все члены ряда, то будем иметь
|
«(Fo) = 2 |
exp |
2k+\ |
\ 2 |
|
|
|
|
2 ] / F O |
|
|
||||
|
|
ft=0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ( 2 * - f l ) e r f c |
2k + |
1 |
|
|
(3.1.39) |
|
|
2 V Po |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
Если в |
(3.1.39) |
положить k = 0, |
то |
можно |
получить |
(3.1.38). |
|
Функция (3.1.39) значительно удобнее для расчетов при |
малых |
||||||
значениях |
времени, |
чем выражение |
(3.1.30а). Поскольку |
длитель |
|||
ность прокатки данной заготовки не превышает |
нескольких |
минут, |
|||||
имеет смысл в конкретных расчетах использовать именно эту функ
цию. |
При этом чем меньше значение Fo, тем меньшее число |
членов |
|
ряда |
(3.1.39) следует |
удерживать. |
|
Перейдем теперь |
к определению функции -фі (Fo). Для |
этого |
|
необходимо решить дифференциальное уравнение (3.1.21). Началь ные условия для этого уравнения определим следующим образом. На основании (3.1.14) имеем
Р (0) = фо (0) + £Фх (0) + E3h (0) +
В то же время из условия (3.1.10а) известно, что ß(0) =0 . От сюда, учитывая (3.1.23) и (3.1.10), находим начальные условия для дифференциального уравнения (3.1.21):
d " ^(Fo ) |
= 0. |
(3.1.40) |
dFon iFo-o
Запишем уравнение (3.1.21) иначе:
оо |
d" |
|
|
|
|
1 |
<MFo) = |
y(Fo), |
(3.1.41) |
||
I ( 2 л - 1 ) 1 |
dFon |
||||
|
|
|
|||
где условно обозначено |
|
|
|
|
|
y(Fo) = b \ |
|
d" |
-To(Fo). |
(3.1.42) |
|
^ J ( 2 n - 2 ) l |
d ? 0 n |
|
|
||
Применяя к уравнению (3.1.41) преобразование Лапласа — Карсона и учитывая при этом начальное условие (3.1.40), полу чаем
|
|
|
:у(р), |
(3.1.43) |
где |
|
|
|
|
со |
со |
|
|
|
>{р)=р ^ е х р ( - p F o ) |
Ô ^ 7 ^ T Z |
a |
<|>0(Fo)#Fo. |
|
|
(2л - 2)! |
Fo« |
|
|
|
л = 1 |
|
|
|
107
Решение в области изображений для функции г|>і(р)
(3.1.44)
|
|
V P sh У /7 |
|
|
Принимая во внимание операционное соответствие |
|
|||
|
Ѵ Р _ |
= Ѳ0(0, Fo), |
|
|
|
shV |
р |
|
|
где Ѳо(^, Fo) —тзта-функция, определяемая как |
|
|
||
|
сю |
|
|
|
90(Х, F o ) = l |
+ 2 2 (— 1)*ехр( — n 2 £ 2 F o ) c o s |
2nkX, |
(3.1.44а) |
|
|
к = \ |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
Ѳ0 (0, |
F o ) = l - f - 2 2 ( - l ) * e x p ( - n 2 £ 2 |
F o ) , |
|
|
а также используя теорему о свертке оригиналов, находим значе
ние функции if>i (Fo) в области действительной |
переменной: |
|||||
Fo |
г |
°° |
|
dn |
|
|
UPo)=\ |
Ѳ0 (0, F o - * ) |
М І < 2 ( а Г Г |
|
<#. (3.1.45) |
||
2)! |
Л « %{t) |
|||||
|
||||||
о |
L |
n= i |
|
|
|
|
Выражение (3.1.45) неудобно для расчетов, поэтому несколько видоизменим его, для чего ряд, входящий в это выражение:
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(ЗЛ.46) |
|
|
|
|
|
( 2 я - 2 ) ! |
Л « |
|
|
||
|
|
|
|
п=\ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
распишем более подробно |
(на примере для 1-й паузы): |
|
|
|||||||
1 |
M |
|
d ., , 1 |
rf2 |
., , |
1 |
rf3 ,, , 1 |
, |
I |
\ _ |
K i i V О! |
|
Л ' ^ 0 ^ 2! |
|
|
4! |
d& ' 0 + |
^ T ' ^ 0 |
+ |
• " / > - |
|
|
|
|
p |
|
|
0 0 |
( ~ 1 ) * е х р ( — П 2 ^ ) |
|
+ |
|
|
|
|
d_ t |
1 |
2_ |
^ |
|
|||
|
|
|
! dt |
6 |
я2 |
2U |
£2 |
|
||
|
|
|
L |
|
|
ft=i |
|
|
|
|
, |
J _ |
_rf2^ |
|
|
( — 1)* exp ( — |
|
|
|||
' |
2! |
" |
d(2 |
6 |
Jt2 |
|
£2 |
|
|
|
_ 1 _ |
|
|
OO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ^ ( - 1 ) * я 2 ^ Х |
|||
0! |
|
|
|
|
|
|
2! |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X e x p ( |
—я2 *2 *) |
|
[ |
OO |
1)*л4 £4 |
exp(-n2 /fe2 0 |
||||
108
2 |
|
|
1 ) * л 6 £ 6 е х р ( - л 2 £ 2 / ) |
|
|
|||||
1 - 2 І е х р ( - я 2 / ) |
" 1 |
Я2 |
. Я"» |
|
яб . |
|
|
|||
. 0! |
" г Г " ^ 4! |
|
|
|
|
|||||
— e x p ( - 4я2 *) £ |
(2я)2 |
1 |
(2я)4 |
|
(2л)в |
i |
•]+ |
|||
2! |
1 |
4! |
|
|
6! |
' |
||||
|
|
О! |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
(Зя)2 |
i |
(Зя)4 |
|
(Зя)б |
|
|
|
|
|
LO! |
2! |
1 |
4! |
|
|
6! |
|
|
|
|
|
(4я)б |
|
|
|||||
|
|
(4я)2 |
(4я)4 |
|
|
|
||||
|
|
2! ' |
4! |
|
6! |
|
|
|
|
|
= 1 — 2 [exp ( — кЧ) • cos л. — ex p ( — 4лЧ) cos 2я - j - exp ( — 9л2 /) X |
||||||||||
X cos Зл — exp ( — ШЧ) |
|
|
|
|
|
сю |
|
лЧЧ). (3.1.47) |
||
cos 4я + . . . ] = H |
2 2 |
|
exp ( - |
|||||||
|
|
|
|
|
|
* = і |
|
|
||
Выражая (3.1.47) с |
помощью |
тэта-функции, имеем для первой |
||||||||
паузы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л - 2 ) ! |
л |
|
|
V |
2 |
/ |
|
|||
2L(2n |
|
|
Л" |
|
|
|
|
|||
л = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Распространяя (3.1.48) на случай произвольного номера паузы или обжатия, можно получить выражение функции \J>i(Fo), более
удобное для расчетов, чем |
(3.1.45): |
|
|
|
|
|
|||||
для |
(ra-f 1)-й |
паузы |
(n Fo0 -< Fo < |
« Fo0 -)- |
FoJ |
||||||
|
|
|
Fo |
|
|
С |
|
|
|
|
|
<MFo) = Afl j |
Ѳ0(0, |
F o - * ) * K ^ , , ^ , |
' ) |
+ |
|
||||||
+ ( K i 2 - Ki x ) ^ |
Ѳ0 [ - L , / - ( m - 1) F o 0 - F o J 7j [ / - (m- |
1) F o 0 - |
|||||||||
- F O l ] - 6 0 ^ |
, |
t- |
mFo^ri{t |
- |
mFo^dt; |
|
(3.1.49) |
||||
с/ля (/г~[-1)-го обжатия |
|
[n Fo0 -f- Foj |
< |
Fo < |
(ra-f |
1) Fo0 ] |
|||||
^ ( F o ) - y n ; | Ѳ 0 ( 0 , F o - ^ ) / К 1 , б 0 ( ^ - ' ' ) - К К * 2 - К ч ) X |
|||||||||||
л = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
Ѳ °(~2~' |
^ - m F |
o o - F o i ) 7 l ( ^ ~ m F o D - F o 1 |
) - |
|||||||
m= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
2 Ѳ |
° ( Т |
' |
^ - w |
F o o ) - ^ ( ^ - ^ F ^ |
U ' - |
|
(3.1.50) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
109 |