Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Вьено, Ж. -Ш. Оптическая голография. Развитие и применение

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

42.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 225 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Образование голографического

изображения

столь ж е успешно заменить голограмму сферическим зеркалом кривизны 1//?А, сопрягающим 5, и Во. Действительно, складывая соотношения (П.5) и (П.7), получим

(П.8)

Изменение длины волны. Предположим, что восстановление осу ществляется светом длины волны Я/, отличающейся от длины волны регистрации Я. Условие стигматизма выразится следующим образом:

	4 - 1	В'M — SrM	I =	—	I BM — S0MI + const.			(П.9)
	X'		X
Разложим (П.9) в ряд, ограничиваясь членами							второго порядка,
и примем	те ж е	обозначения,	что	и	прежде. Д л я		главного	изобра
жения получим						+
B\M~SrM	BM-SnM		x\-R'		X _ R
			X'
+	Л2	1		1_
+		R'		X			21'X,
			• h cos ©				У	(П. 10)
		2lx	• h cos ©				Ix	(П. 10)
		2lx			Ух,		Ix

Приравняв члены второго порядка нулю, получим формулы д л я положения изображений и поперечного увеличения:

	Л.		1	u	-—VI =				0,
	2		R'	u		« 1			(П.11)
	2		R'

			h cos ср				У	=	0.
			h cos ср				\х	=	0.
				Х'х.			\х
Д л я	сопряженного	изображения расчет				проводится аналогич
ным образом: достаточно			лишь	в выражениях (П. 10) и (П.11) за
менить	X на —X, a R	на	—R.	Окончательно				получаем
		Главное		изображение
			\_
			R'	X \ х		R	j		(П. 12)
									(П. 12)

42		Глава		2
	Сопряженное		изображение
X,	~w]	~	Т	("7"	~R
У2	У Хг>				(П. 13}
У2	У Хг>
у	1-х

Продифференцировав (П. 12) и (П. 13), получим осевое увеличение

1	dx			dx
X'	x'i			х*
откуда				(П.14)
dxl			CT2 •
Ix	~	1	CT2 •
Ix	~	X'
1	<*4	_	1	dx
U	lg	~~	X	(П.15)
	dx,-,			(П.15)
Six	dx,-,		X	0
Six	dx			g~2<J
	dx

Можно видеть, что при К'= X правильно воспроизводит рельеф объекта только главное изображение при условии, что

(П. 16)

Подставив это условие в	(П. 12),	получим
х[	=х,	R' = R.

Во всех других случаях будут наблюдаться искажения рельефа. Отметим, между прочим, что из соотношения (П.15) вытекает возможность получить поперечное увеличение изображения без изменения геометрических параметров установок д л я регистрации

и восстановления.

Приложение 2

	Математическое	описание
Возьмем объект-плоскость, расположенный перед фотопластин
кой	или фотопленкой, которая станет затем голограммой Я .		Вве
дем	следующие обозначения:
S0 (R,	0, 0) — точечный источник,	излучающий свет длины	вол
	ны À с амплитудой	s;

		Образование	голографического	изображения	43
В(х,	у,	z) — точка объекта, когерентная с 5 0 , излучающая ко
		лебания	с амплитудой	Ь\
M (О,	ß,	а) — текущая	точка голограммы (фиг. П.2);
		начало координат остается в плоскости			голограммы.

Ф и г . П.2.

Выражение для полной амплитуды колебаний, пришедших в точку М, получим из теории дифракции дл я случая конечного рас стояния до точки наблюдения. С точностью до постоянного множи теля имеем

А{М) = ^Ь (у, z)ехр { - / - С - Ш} dydz +

		+ s e x p { - / - Ç - ^ M j .		(П.17)
Освещенность (или интенсивность) в точке M будет равна
/ (М) = А • А* = 5 2 +	I j Ь ехр {—/<рв} dydz \|2		+
+ sexp { + /«pS o } j b ехр \—frB}			dydz +
+	s exp {— /<p5o	} J&*exp{ - W<p B }d0dz,		(П.18)
где
	2тс
	< p B = T
	2*			(П.19)
	2*	S0M-

Чтобы не возвращаться больше к этому вопросу, предположим сразу, что фотопроцессы не слишком отклоняются от условий ли-

44		Глава 2
ценности и, следовательно, что локальное			пропускание прозрач
ной	фотопластинки, на	которой зарегистрирована голограмма,
t(M)	пропорционально	освещенности в	рассматриваемой	точке.
Расчеты тогда упрощаются, не теряя своей общности. Если				коэф
фициент пропорциональности равен единице, то имеемj
		t(M) = I(M).		(П.20)

При восстановлении точка M голограммы освещается (монохро матическим светом длины волны X от точечного источника Sr(R', г), С). В точке M комплексная амплитуда равна

s'exp	J — j у-	SrMJ = s'exp j — /©<. j .	(П.21)
Тогда амплитуда	волны,	прошедшей сквозь голограмму,	равна
	A' (M) =	t (M) s'exp {— />fs J.	(П.22)

Распределение амплитуд в плоскости (х , у', z'), расположенной на расстоянии х от голограммы Я , находится из выражений (П. 18), (П.20) и (П.22); см. также фиг. П . 2 .

Вновь применяя теорию дифракции на конечном расстоянии, получим с точностью до постоянного множителя

&'(«/', 2') = \| > ( а , р ) е х р { + / Ч Ѵ } d j r							(П.23)
где
		? в . = *	Ш .
Прежде чем представить величину Ь'				в	явном		виде, сделаем
несколько замечаний.
Величины фв и фд-, которые записываются в						виде
? в	=	- у - К* - а ) 2 +	({/ — ß)2	+	х2\'\
							(П.24)
<Рв'	=	• f L [ ( 2 ' - « ) 2	+ ( i / ' - ß ) 2 +		W /	l	,
зависят только от разностей z—а,			у—ß и	z—а,		у'—ß соответст
венно.

Выражение (П. 17) можно, следовательно, записать в виде свертки

А (а, ß) =	sexp{—/<PS „} +	b(y,	z)®f(y, z),	(П.25)
где
/ (у, г) =	ехр ( - / ^ Ц х 2	+ if	+ z}1).	(П.26)

Образование голографического изображения			45
Точно так ж е для амплитуды		в точке В'
b'(y',z')	= A'(a,Z)®g(?.,<j),		(П.27)
где
g(«, ß) = exp ( -	/	-1- ß* + х'~] U \ .	(П.28)

С учетом выражении (П.18), (П.20), (П.22), (П.25), (П.27) и (П.28), получим

Ь' {у', г') =	[s'exp { —	) \| sexp { — /<pSj ) +
		+	6 (У. ^) (g) / (у, г) р] <g)g(*, р),			( п . 2 9 )
Ь' (у', z ') =	s' [exp { - / ? s r ) (s2		+	I û (g) f \*)®g	+
	hs,s[exv[-i(<fSr-<?Si)}(b®f)]<8g+				. ..
	s's [exp { - / ( «p^ + ?sù) (b				<S> /)*] ®S-	(П.30)

Посмотрим, какую роль играет каждый из трех членов в вы ражении (П.30). Достаточно записать второй член в явном виде, чтобы показать, что он участвует в образовании оптического изо бражения (обозначим этот член через

b[(y',z')			= Ss'	[exp{.-j(?Sr-<?St)}{b®f)]®g,					b[(y',z') =
							— vs)\dydzd?.d'à.			(П.31)
Если		апертурные			углы и	углы поля	малы	(гауссовская		оптика),
то	имеем
					z -	7. и у — 8 «	X, R,
			z' — ?., у' — В, С - а и				т, — р < л - ' ,
что	позволяет			записать
				п г» С* Г*			X — x'	+ R' — R
ь[(у'>		г')	= ss' j Ijj		6(у, z)exp j j —-		X — x'	+ R' — R
ь[(у'>		г')	= ss' j Ijj		6(у, z)exp j j —-
			( г - а ) з + ( у - Р ) 2			aa + ,^	( г ' - » ) Ч ( у ' - № I
				2.v		2^	2A;'.
						, ( < » - C )	8 + ( 3 - T , ) »		dydzdadS.	(П.32)
									dydzdadS.	(П.32)

2 «'

Глава 2

Выбрав плоскость фокусировки изображения такой, что

J	l _ _	_ J	l _
x'	x ~	R'	R '

можем переписать предыдущее выражение следующим образом:

Ъ\ =

ss'ехр

{/ - ^ - (X-х'

R'-R)}

jjjjb{y, z)

X exp

j /

—-

z» + !/2

1 + <r-

аг +

Рі/

_j_ az' + ß?/'

2x'

2.Ï'

dydzdadfc

(П.ЗЗ)

6' =

ss' exp I /

x-x'

' - R

- z "

+ u"

C2 + Ï ] 8

ô (y, z) exp

[ ^ -

(г'- - I - y*)\ dy dz

exp {/ - | L X

2R'

J J

JI dJa d ß .

(П.34)

Второй интегральный член представляет собой преобразование фурье-функции пропускания диафрагмы с равномерной прозрач ностью, ограниченной контуром голограммы. Обозначая этот член через Т (Я), получим

Т [ Н ] = j "		j * ехр \| / - ^ - (wa +		op)J	dß,
где
и —	z	а	V		y
и —		а	V		R'
X	XX	к R'	X	X	R'

Кроме того, сгруппировав фазовые члены, т. е. положив

2*	x — x' + R'—R	Z'2	+ y'i	С2	+ ïl2
			2х'	-r	2R'

ф = ^ - (г » + ^ ) ,

(П.35)

(П.36)

эапишем распределение амплитуд Ьу (П.34) в виде

Ь\{у', г') = 55'ехр Цф}[Ь(у, г)ехр [j^{y, z)} (g)Т [Щ]. (П.37)

Это выражение описывает построение изображения в когерентной оптике.

Образование голографического	изображения	47
Р а з л а г а я третий член выражения	(П.30) в ряд, убедимся	в

существовании еще одного изображения объекта, называемого со пряженным. Первый член не содержит никакой полезной информа ции об объекте. Ему соответствует не изображение, а своего рода «непрерывный фон». Этот фон локализован вокруг геометрического продолжения освещающего пучка, но часть его энергии рассеи

вается и образует паразитный ореол, который может		накладываться
на изображения (гл. 5).
Предположим теперь, что поверхность голограммы H настолько
велика, что приближение функции 1(H)	8-функцией	Д и р а к а будет
оправданным; распределение b\ (у', z')	принимает	вид

Ь\ (у',	z')	=	ss'	exp		\|/ <р) exp		/Ч\|з	X	R'
									X	R'
	X	У	,		X	f\	X	,	X	X
		У				f\	X'		R'	X'
	X'				R'	'	X'		R'	X'	J
											J

откуда	д л я		интенсивностей					имеем
b\ (yt			12	=	I	/ i2 , IJX
b\ (yt		z') f		=		\ss'\2b	X		R'	X'
							X		R'	X'

(П.38)

(П.39)

R' '

Уточним формулы сопряжения изображение — объект.

Главное изображение точки		В	образуется в В\ (х[, у[,		z\):
	\		1	1
	X		R'	~R
У\	I I	=	x \	I	(П.40)
У\	R'	=	У'	i
	R'

Сопряженное изображение образуется в точке Во (хо, у'і, ^):

		1
X,, 1 X	R'	~R

	У2	R'	У,	(П.41)
	У2		У,
			X
		x2	,
	z2	R'	X,
Итак, мы		R'
Итак, мы	получили другим путем результаты, приведенные
в приложении	1 [формулы		(П.5) и (П.7)].

Глава ô'

Качество изображения


Информация,	зарегистрированная на голограмме, т. е.					приве
денная к виду, удобному для			использования,		представляет		инте
рес лишь в том случае, если			качество восстановленного			изобра
жения достаточно хорошее.			Возникает,		следовательно,		не
обходимость определить		причины		искажения	изображения,		или,
что в общем то ж е самое,		причины		постепенной	потери информации
в процессе ее передачи.
Кроме причин	технического		порядка, есть два принципиальных

фактора, ухудшающих качество изображения: геометрические абер рации и дифракция. Сначала проанализируем неустранимые иска жения изображения, затем попытаемся найти чисто эксперимен тальные способы уменьшить их влияние.

Начальные сведения о геометрических аберрациях

В этой главе будем рассматривать только то, что имеет отно шение к главному изображению. Мы уже видели, что голограмма

ведет себя	как	линза. Это означает, что волна, испускаемая точ
кой-объектом Р,		преобразуется голограммой (как и линзой) в дру-~
гую волну, сходящуюся в окрестности						точки	Р'	— изображения
точки Р.	Если	все	световые лучи,		испускаемые		точкой Р, прохо
дят строго через		Р',	то	изображение	Р'	будет строго точечным. Го
ворят, что существует				абсолютный	стигматизм. Сферической вол
не, испускаемой		точкой Р, соответствует восстановленная идеаль
ная сферическая волна, «преобразованная» голограммой.
Аберрационное			пятно. В большинстве случаев					восстановленная

волна не будет идеально сферической, т. е. имеет место приближен ный стигматизм. Центры кривизны различных участков волны сос редоточены в небольшом светящемся объеме, сечение которого плос костью наблюдения представляет собой пятно, позволяющее при некоторых условиях определить то, что называется поперечной аберрацией. Точно так ж е протяженность объема в направлении оси называется продольной аберрацией. В первом, чисто физичес ком, приближении (апертурные углы и углы поля малы) опреде ленное таким образом пятно-изображение еще можно считать точкой.

Качество	изображения						49
Пусть теперь изображениями		двух точек	Рх и	Рг	будут		два
круглых световых пятна Р\ и Р2		с радиусом р (поперечная				аберра
ция). Если расстояние между	Рх	и Р 2 мало, то	пятна	Р\	и	Р2	пе-

' рекрываются и их невозможно отличить друг от друга. Поперечная

аберрация	влияет,	следовательно, на различимость мелких	дета
лей объекта. Это		ограничение характеризуют минимальным	рас
стоянием d	между двумя точками-объектами, изображения которых


		Ф и г.	25. Дисторсия		изображения.
Есл I линза с центром 0 идеальна,			то	изображение точки		Р\| должно находиться		в точке	Р[,
изображение точки Р2		—в Р2. В действительности только				изображение точки Р , расположен
ной нз оси, лежит	в	точке PQ. Эффективные изображения Р\| и Р2 точек Р\|					и	Р2	тем
больше отклоняются от Р[			н	Р2, чем дальше	находится точка-объект			от PQ,
могут быть еще разделены. Расстояние d называется								пределом
разрешения	рассматриваемой системы.
Дисторсия.		Рассмотрим		множество	эквидистантных		точек-объ

ектов, расположенных на прямой, перпендикулярной оси симмет рии оптической системы (фиг. 25). Как правило, изображение иска

жено по сравнению с объектом. Точки-изображения					отклоняются
от своего теоретического положения на величину dy'.					Это боковое
смещение dy — Р{Р\	(или	Р2Р2)	служит	мерой	дисторсии
*• изображения1 .
Рассмотрим, например,		плоскую	преломляющую		поверхность.

Луч, входящий в воду из воздуха, преломляется по закону Снеллиуса — Декарта (классический эксперимент «сломанной» палочки):

sin і = п sin г.

Дисторсия появляется даже при очень маленькой апертуре.

Глава 3

Синусы углов падения и преломления пропорциональны друг другу, чего нельзя сказать о самих углах . Следовательно, изобра жение прямой палочки, погруженной в воду, кажется не только «сломанным», но и слегка искривленным. Имеет место дисторсия изображения палочки.

Несколько		частных случаев
Вернемся к голограммам. Будем считать, что длина волны света
при регистрации и восстановлении			остается неизменной.Формулы,
позволяющие рассчитать	геометрические аберрации,			можно найти
в приложении к этой главе.
Можно выделить некоторые частные случаи, когда					значения
определенных аберраций равны нулю.
Абсолютный стигматизм. Рассмотрим схему регистрации голо
граммы. Световые лучи	S0M	и В M	интерферируют	в	точке	М.
В точке M разность фаз ер колебаний, пришедших от точек 5 0 и						В,
равна

где X — длина световой волны. При восстановлении сдвиг фаз ф' в точке Ві (или в точке В2) равен

Z = -\|- (ѵй - в[м)	-	-^- (vw - Ш).
Если Sr оптически совпадает	с S0,	т. е. если источники освеще

ния при регистрации и восстановлении находятся на одном рас стоянии от голограммы, то положение изображения В' совпадает с положением объекта В. При этом имеем

ср' = 0 для любой точки M (фиг. 26).

Ф и г. 26. Абсолютный стигматизм.

Здесь, как и в последующих рисунках, слева приведена схема регистрации голограммы (SQ —

источник, В — точка-объект), справа—схема восстановления (Sr — источник, Sj — точечное изображение точки В).

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 225 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ