книги из ГПНТБ / Веселовский, И. Н. Николай Коперник, 1473 - 1543

рос можно ответить так: раз астроном, значит,

иматематик.

Каково было состояние собственно математиче­

ских знаний во времена Коперника? После длитель­ ного застоя и упадка европейская математика толь­ ко-только заканчивала усвоение античного (и арабо­ язычного) наследия и предпринимала весьма робкие попытки делать первые самостоятельные шаги. Спе- циалистов-математиков тогда не готовили ни в одном университете Европы, но с математикой и астроно­ мией знакомили — обычно на подготовительных фа­ культетах — философском или факультете искусств. Но что это была за математика? Выше мы позна­ комились с планом ее изучения в Болонском уни­ верситете — одном из ведущих в Италии и Европе. Три книги «Начал» Евклида, арифметика целых и дробных чисел — и, пожалуй, все (не считая матема­ тических сведений из трактата о сфере Сакробоско, «Альмагеста» Птолемея и астрологических тракта­ тов). Конечно, такие профессора, как уже упоми­ навшиеся Лука Пачоли и Шипионе дель Ферро, да­ вали, как мы теперь выражаемся, дополнительный материал, и в этом отношении Копернику «крупно повезло» — и в Краковском, и в Болонском универ­ ситетах постановка преподавания точных наук была наилучшей в Европе, что, безусловно, позволило Ко­ пернику усвоить всю сумму математических знаний своего времени и облегчило в последующем решение поставленных им перед собой задач.

Однако математические познания Коперника были для него не просто средством исследований, рабо­ чим инструментом, слепо заимствованным у пред­ шественников, и этот тезис мы попытаемся обосно­ вать. В 1542 г., за год до выхода «De Bevolutionibus» в Виттенберге, городе-оплоте лютеранства, вышла небольшая книжка с достаточно простран­ ным (в духе того времени) заглавием. Вот оно: «De lateribus et angulis triangulorum turn planorum rectilineorum, turn sphaericorum libellus eruditissimus et utilissimus cum ad plerasque Ptolemaei demonstrationes intelligendas, turn vero ad alia multa, scriptus a clarissimo et doctissimo viro D. Nicolao Copernico Toronensi. Additus est Canon semissium

subtensarum rectarum linearum in Girculo. Excusum Vittembergae per Iohannem Lufft. Anno M. D. XLII»,

т. e. «О сторонах и углах треугольников как пло­ ских прямолинейных, так и сферических. Ученей­ шая и полезнейшая книжечка как для понимания большей части доказательств Птолемея, так и для многого другого. Написана славнейшим и ученей­ шим мужем господином Николаем Коперником из Торуни. Добавлена таблица половин хорд окружно­ сти. Издано в Виттенберге Иоганном Люффтом в 1542 году». Из предисловия к книжке мы узнаем, что своим изданием она обязана Георгу Иоахиму Ретику, молодому профессору математики Виттенбергского университета, специально приехавшему в

1539/1540 г. опубликовавший «Первое повествова­ ние» о системе Коперника, сначала не мог убедить Коперника напечатать свою гениальную работу в полном виде и добился лишь согласия на публика­ цию чисто математической ее части, которая по пер­ воначальному замыслу должна была составлять вто­ рую книгу «Вращений», но в окончательном варианте вошла в виде трех глав — XII, XIII и XIV — в пер­ вую книгу. Какой же фактический материал заклю­

вами «Вращений» имеются некоторые отличия, о ко­ торых мы скажем ниже): «О прямых линиях, стя­

Прежде всего отметим, что содержание этих глав очень близко к содержанию 9—111 глав кпнги I «Альмагеста» Птолемея. Как и у него, изложение начинается выражением через диаметр сторон пра­ вильных, вписанных в окружность трех-, четырех-, пяти-, шести- и десятиугольников, причем для опре­ деления сторон двух последних многоугольников применяется деление в крайнем и среднем отно­ шении.

В качестве следующего предложения, называемого

354

Птолемеем. Далее он доказывает, что по данным хордам, стягивающим неравные дуги в полуокруж­ ности, можно определить и хорду, соответствующую дуге — разности данных дуг; по хорде, стягивающей данную дугу, может быть определена и хорда, стя­ гивающая ее половину, а если известны хорды, стя­ гивающие две дуги, то может быть найдена и хорда, стягивающая дугу, равную сумме данных дуг; кроме того, устанавливается, что отношение большей дуги к меньшей будет больше отношения соответствую­ щих хорд. Все это необходимо Копернику для по­ строения таблицы синусов, или, по его выражению, «половин хорд удвоенных дуг». Но перед таблицей он рассматривает еще одну задачу, связанную с оп­ ределением хорд (и синусов) достаточно малых дуг (в 1 градус, пол- и треть градуса). Эта задача на­ чинается любопытным утверждением, которого нет у Птолемея: «Хотя дуга всегда будет больше стяги­ вающей ее прямой, ибо прямая является кратчай­ шей из всех линий, имеющих одинаковые концы, од­ нако это неравенство при переходе от больших от­ резков круга к меньшим стремится к равенству, так что в самом последнем касании с кругом прямая и ее объемлющая одновременно исчезают; следова­ тельно, необходимо, чтобы перед этим они отлича­ лись друг от друга на незаметную разность».

Легко видеть, что здесь Коперник по существу го­

В самом деле, если положить, что в окружности

358

к своему утверждению Коперник приходит на чисто интуитивной основе, не предпринимая попыток его формального доказательства.

Далее в «De Revolutionibus» приводится, как уже упоминалось, таблица синусов — «канон половин хорд удвоенных дуг». Вот для общего представле­ ния небольшая ее часть:

В какой мере при составлении этих таблиц Ко­ перник был независим от Птолемея и других своих предшественников? Во-первых, у Птолемея таблицы синусов как таковые вообще отсутствовали — им были составлены таблицы хорд. Во-вторых, таблицы хорд у Птолемея имели шаг в полградуса, а если их пересчитать для синусов, то в четверть градуса, т. е. 15 минут, и притом в шестидесятиричных ва­ вилонских дробях. Коперник же пользуется десятич­ ной системой счисления, принимает диаметр равным 200 000 частей, радиус у него, следовательно, равен 100 000. А шаг таблиц у него — 10 минут. Наконец, вместо птолемеевых хорд он рассматривает полухорды удвоенных дуг, которые, будучи выражены в час­ тях радиуса, представляют собой синусы; впрочем, этот термин ни Коперник, ни его ученик и преем­ ник по части составления таблиц Ретик не употреб­ ляют. Все это позволяет с большой вероятностью утверждать, что в составлении этих таблиц Копер­ ник был независим от Птолемея. Но дело не только в этом. В приложении к книжке «О сторонах и уг­ лах треугольников» также приведены таблицы сину-

359

360

А. .БрауяШОЯём и М. Кантором5 многие Историки математики высказывают предположение, что эти таблицы были составлены не Коперником, а Рети­ ком, причем Браунмюль мотивирует это именно от­ сутствием в приведенных в «De Revolutionibus» таблицах синусов дополнительных углов, предна­ значенных для вычисления косинусов. Но обратим­ ся к фактам.

Составление семизначных таблиц тригонометриче­ ских функций в те времена, когда отсутствовали вспомогательные технические вычислительные сред­ ства, было делом чрезвычайно длительным и тру­ доемким. Ни в годы учебы, ни в начале своей пре­ подавательской деятельности, ни во время пребыва­ ния в Вармии у Коперника Ретик не мог сосредо­ точиться на составлении таких таблиц. Его время и интересы были заняты другим, и это легко просле­ живается. Ретик возвращается в Виттенберг в кон­ це . 1541 г., с головой уходит в преподавательскую деятельность, исполняет обязанности декана, озабо­ чен проблемами, связанными с изданием «De Revo­ lutionibus», а в мае 1542 г. книжка Коперника с приложением этих обширных таблиц и с предисло­ вием Ретика, в котором тот в самых восторженных выражениях характеризует своего наставника, выхо­ дит из печати. Таким образом, и после возвраще­ ния из Фромборка Ретик не мог составить эти таб­ лицы.

О том, что интерес Ретика к тригонометрии возникает под прямым влиянием Коперника и в свя­ зи с изданием книжки «О сторонах и углах тре­ угольников...», свидетельствует и автор недавно вы­ шедшего трехтомного монографического исследова­ ния о Ретике К. Г. Бурмейстер 4.

Значит, вывод один: таблицы составлены самим Коперником; после 1530 г. он располагал временем, необходимым для их составления, и был непосредст-*

3 См. A. Braunmiihl. Vorlesungen uber die Geschichte der Trigonomet­ ric, Bd. I. Lpz., S. 141; M. Cantor. Vorlesungen iiber Geschichte der Mathematik, Bd. II. Lpz., 1913, S. 274.

*См. K. H. Burmeister. Georg Ioachim Rheticus. Bd. I. Wiesbaden, 1967, S. 51.

362

Вычислители. Старинная гравюра

венно заинтересован в них. Об этом свидетельствует и таблица синусов, помещенная в «De Revolutionibus», значительно уменьшенная по объему, но соот­ ветствующая точности вычислений, принятой в этом произведении, и сохранившаяся в рукописи таблица секансов, составленная Коперником впервые в мире. Если бы Ретик имел к составлению этих таблиц отношение, он не преминул бы отметить это в пре­ дисловии, тем более что двухлетнее отсутствие в Виттенбергском университете и открытая поддержка осуждавшихся лютеранскими лидерами взглядов Ко-

363