книги из ГПНТБ / Радиоприемные устройства учебник

Поскольку между значениями процесса р (() в соседних тактах су­ ществует статистическая связь, задача синтеза приемного устройства не является тривиальной.

С наибольшей простотой статистическая зависимость может быть учтена при аппроксимации сообщений марковскими случайными про­ цессами. Подробное изложение теории дискретных систем па основе марковской модели сообщений содержится в работе 19].

Предположим, что источник сообщений формирует гауссовский случайный процесс с пулевым средним значением и экспоненциальной корреляцией, удовлетворяющей дифференциальному уравнению

ностью G = Gyf а 2 воздействует на интегрирующий /?С-фнльтр с посто­ янной времени R C = 1/а.

Подобная модель часто достаточно хорошо аппроксимирует ре­ альные сообщения. Основная выгода ее использования связана с тем обстоятельством, что, как показывается в теории случайных процес­ сов, процесс р (/) является марковским.

470

Напомним здесь несколько соотношений, относящихся к марков­ ским процессам. Пусть р,, р2, ... , рп — последовательность случай­

И/.

По определению процесса Маркова плотность вероятности случай­ ной величины р,г-+ ] при фиксированном значении р; не зависит от того,

Пользуясь свойствами (12.40), можно следующим образом вычис­

и плотности вероятности перехода W позволяет найти совместную плот­ ность вероятности случайных величин ци ... ,

Это важное свойство марковских процессов используется в теории синтеза.

Случайный процесс (12.39) является марковским. Определим его плотность вероятности перехода. Искомая плотность является рас­ пределением случайной величины и (tk + Т), вычисленным при

Поскольку у (т) — белый шум с пулевым средним значением и кор­

реляционной функцией у (т2) у (т2) = Gv6 ( tj—т2), из (12.42) следует что р/г+( — случайная величина, распределенная' по гауссовскому за­ кону со следующими статистическими характеристиками:

Среднее значение и дисперсия зависят от соотношения между по­ лосой случайного процесса а и тактом работы Т. Среднее значение экс­ поненциально убывает с ростом аТ от величины |ЛЙдо нуля. Дисперсия

471

возрастает от нуля до величины сг£, причем при небольших а Т рост

При T -> 0 плотность вероятности перехода вырождается в 5-функцию:

^(Н-а. Н-л+i) = 6-(^л+1 — M-h)-

При Т -> оо плотность вероятности перехода превращается в одно­ мерную плотность процесса:

Перейдем теперь к задаче синтеза приемного устройства на основе выделения апостериорной вероятности. Предположим, что, начиная с первого такта, на вход приемника поступают данные .

*i (0 = s (Л Pi) + >h (О,

Априорная плотность вероятности для марковского процесса опре­ делена соотношением (12.41).

Функция правдоподобия вследствие независимости шума от такта к такту является произведением функций' правдоподобия в каждом такте. Используя функционал плотности вероятности белого шума и соотношение (12.10), получаем

1 (рЧ)= ехр s (A Pi)i2* (12.46)

472

где осуществляется усреднение по несущественным параметрам сигна­ ла,

Постулируем теперь, что на выходе приемного устройства в каждом п-м такте вычисляется апостериорная вероятность случайной величи­ ны рл. Тогда

что эти апостериорные вероятности связаны рекуррентным соотноше­ нием

Интегральное уравнение для апостериорной вероятности получено Р. Л. Стратоновичем (51.

Соотношение (12.48) имеет простой смысл: интеграл в правой части

Если затакт Т процесср(/) меняется очень мало, то плотность веро­ ятности перехода имеет вид дельта-функции 6 (р —Я), интегрирование

грирования фр+П (р) « W (р).

Здесь априорные вероятности в соседних тактах никак не связаны, что и должно иметь место для процесса со статистически независимыми соседними выборочными значениями.

473

Соотношение (12.48) позволяет последовательно, от такта к такту, вычислять апостериорные вероятности. Приемное устройство могло бы работать в соответствии с этим алгоритмом. Более простые интерпре­

И п• Апостериорная дисперсия тгп в каждом такте определяет точность

выделения параметра р.

Найдем алгоритмы работы приемных устройств на основе кри­ терия (12.49). Для того чтобы от апостериорной вероятности перейти к системе ее моментов, воспользуемся представлением апостериорной вероятности в каждом такте работы системы в виде гауссовской плот­ ности

шум в системе достаточно велико, либо выделяемые процессы достаточ­ но медленные по сравнению с тактом работы, либо осуществляется промежуточный случай.

Используя (12.50) и (12.45), можно вычислить априорную вероят­

Разложим левую и правую части в ряды в окрестности некоторой точки М и приравняем коэффициенты при первой и второй степе­ ни разности р — М, которую будем считать малым параметром.В ре-

474

Рассмотрим сначала общие характерные особенности уравнений (12.51). Эти уравнения имеют рекуррентный характер; значения M n+t

зависящей от М \ поэтому уравнение для весового коэффициента х,1+ i не зависит от входных данных и является детермированным нелинейным рекуррентным уравнением.

Величина Kn± t определяет коэффициент усиления сигнала ошибки и, следовательно, эквивалентную полосу следящей системы.

Входные данные влияют лишь на величину 2,!+; Преобразование (12.54) определяет алгоритм работы оптимального

нормированного дискриминатора, выходной сигнал которого в отсут­

ным значением М. В отсутствие шума сигнал на выходе дискриминатора ранен разнице между истинным значением сообщения н опорным значением Л].

4/5

В целом уравнение (12.54) определяет операции над входными данными х (/), производимые дискриминатором, и операции, которые приемник совершает над выходным сигналом дискриминатора для вы­ числения апостериорного среднего в каждом такте.

Как следует из проведенного обсуждения, структурная схема при­ емника содержит следующие элементы (рис. 12.32):

—«нормированный» дискриминатор, включающий в себя устройства фильтрации сигналов и шума и превращающий входные сигналы в сигналы ошибки; дискриминатор является собственно демодулятором радиосигналов в модулирующие сигналы. (Операцию демодулиро­ вания иногда называют первичной обработкой);

(Операции умножения на весовой коэффициент и сглаживания сиг­ нала ошибки составляют вторичную обработку).

Весовой коэффициент 1 вместе с тем характеризует ошибку из­ мерения процесса р (/).

По прошествии достаточно большого числа тактов п весовой коэф­ фициент стремится к установившемуся значению, которое может быть

Введенный здесь параметр ро представляет собой отношение мощ­ ности о(у модулирующего процесса р (/) к мощности шума на выходе дискриминатора. Эта интерпретация становится ясной из дальнейших примеров.

На рис. 12.33 показана зависимость установившегося коэффицента усиления х от величины ро при различных значениях а Т , т. е. при различных скоростях процесса р (() относительно такта Т.

476

В приложениях часто встречаются сильно коррелированные за такт Т процессы р, (/), для которых а Т < 1. Здесь интересны крайние случаи больших и малых значений ро:

При очень больших значениях ро установившийся коэффициент

следящий измеритель;

—при М = М п — (1 — а) М п — следящий измеритель с экстра­ поляцией;

—если М — заранее известная фиксированная точка, то имеем па­

раметрический измеритель.

Работа измерителя происходит следующим образом: в п-м такте на основе апостериорного среднего вычисляется экстраполированная оценка; в качестве экстраполированного значения выбирается услов­

ное среднее значение рл+] = (1 — а)цп, усредненное с апостериорной

вероятностью случайной величины рп, т. е. М п. Сигнал ошибки вы­ числяется в экстраполированной точке, умножается на весовой коэф­ фициент х и складывается с экстраполированной оценкой, образуя апостериорное среднее в (п + 1)-м такте. Этот процесс повторяется от такта к такту. Структурная схема следящего измерителя с экстраполя­

цией представлена на рис. 12.34.

Формула экстраполяции (12.57) имеет простой смысл; если бы значе­ ние процесса в n-м такте было известно точно, то вероятности различных значений рп+! были бы определены плотностью вероятности перехода

W (рп, |л„+ 0 и в среднем p„+ i = (1 — а)р„; на самом деле относитель-

477

но известно лишь его апостериорное распределение, поэтому усло­

вное среднее p,t-|-i необходимо еще усреднить по различным значениям (-i,t с их вероятностями.

Если процесс р (t) мало меняется за такт, то экстраполированная оценка мало отличается от М п\

М п « (1 - а Т ) М п.

Если процесс за такт изменяется очень сильно, то экстраполяция невозможна.

Следящий измеритель. Если М = М п, то уравнение фильтрации имеет вид

Структурная схема измерителя представлена на рис. 12.35.

Сигнал ошибки вычисляется в точке, равной апостериорному сред­ нему в предыдущем такте.

Цепи сглаживания имеют две обратные связи, выходной сигнал одной добавляет к сигналу ошибки М п\ выходной сигнал другой вы­ читает значение М п, умноженное на коэффициент.

Волее детально рассмотреть роли различных элементов схемы мож­ но на примере выделения сообщения при приеме суммы сообщения и искажающего шума с дисперсией о2:

Xj = \ij + п}, а Т <С 1.

473

В этом случае

мощностью шума на выходе дискриминатора.

Можно отметить несколько вариантов, различающихся величиной Рб п соответственно структурой сглаживающих цепей:

непосредственно на основании принятых данных (рис. 12.36, а).

Таким образом, при очень большом отношении мощности сообщения к мощности шума полоса сглаживающих цепей становится «беско­ нечной».

б) Если 1/аТ > ро > иТ, то можно пренебречь дополнительной обратной связью (рис. 12.36, б). При этом

Мп+1 М п "Ь %Мп — кхп

Вэтом варианте особенно ясно, что оптимизация сглаживающих цепей заключается в выборе полосы /?С-фильтра, определяемой вели­ чиной коэффициента х. Компромиссное значение полосы фильтра уста­

навливается с учетом мощности сообщения стД, мощности шума на выходе дискриминатора о2 и степени' корреляции процесса аТ. Ясно, что при большем уровне шума полезно сужать полосу фильтра, хотя при этом искажается сигнал, но зато пропускается меньшее коли­ чество шума. При уменьшении уровня шума полезно расширить поло­ су фильтра, чтобы искажения сигнала были меньше. Точное значение полосы определено на рис. 12.33 и соотношениями (12.56). Напри­ мер, при умеренных значениях pi) постоянная времени фильтра равна

т

2а t • о^/а

Таким образом, основой оптимизации является правильный выбор полосы сглаживающих цепей.

479