книги из ГПНТБ / Радиоприемные устройства учебник

Соотношение (12.3) позволяет вычислить апостериорное распре­ деление, если известны априорное распределение, способ комбиниро­ вания сигнала и шума и статистические характеристики шума. В дан­ ном случае при фиксированном значении р величина х распределена нормально со средним значением р и дисперсией о2; поэтому

Рис. 12.4 поясняет процесс формирования апостериорной вероят­ ности. Поскольку в данном примере функция правдоподобия значи­ тельно уже, чем априорное распределение, значения апостериорной вероятности сосредоточены в окрестности значения х. Мерой разброса является интенсивность шума о. Если а 0, то Р ас(р) -> 8(х — р), т. е. определяется р, равное принятому х.

На входе приемного устройства обычно «измеряется» не отдельное значение х, а функция времени x(t) (t из некоторого интервала наблю­ дения Т). Это обстоятельство требует введения понятия функционала плотности вероятности. Пусть пъ п2, ..., пк — выборочные значения случайного процесса n{t) в моменты времени tlt /2 .... th из интервала

Функционал плотности белого шума. Если п (/) — случайный процесс с нулевым средним значением и спектральной плотностью мощности, равной GJ2 в полосе частот от — F до F и равной нулю вне этой полосы частот, то автокорреляционная функция n(t) имеет нули в точках т = //2 F, j — 1,2, ... (рис. 12.5). Выбирая интервал дискрет­ ности А = 1/2 F, получаем, что выборочные значения в этих точках некоррелировакы и, следовательно, для гауссовского процесса неза­ висимы

440 ‘

вбесконечной полосе частот, т. е. процесс п (t) является белым шумом,

сдругой стороны, функционал плотности белого шума имеет вид

Функционал плотности регулярного процесса. Если х — неслучай­ ная величина, имеющая значение s, то ее плотность имеет вид

Р (х) = 8 (х — s).

Если x{t) — полностью известный (регулярный) процесс, любая реализация которого равна s (t), то многомерная плотность вероят­ ности равна

® (*х.......xk) = б (х1 — Sl)6 (х2 — s2)... б (xh — sft).

Для того чтобы понятие функционала плотности регулярного про­ цесса имело вычислительную ценность, необходимо воспользоваться предельным представлением б-функции:

где е2 = 1/2а2Д.

Рассмотрим теперь следующую типичную для статистической тео­ рии радиоприема задачу.

Источник сообщений формирует постоянный за интервал наблю­ дения Т модулирующий сигнал р, величина которого неизвестна на приемной стороне. Модулятор изменяет какой-либо параметр сигнала

441

в соответствии с величиной передаваемого сообщения. Кроме того, при модуляции и распространении в канале связи случайные значения приобретают несколько других несущественных параметров сигнала а, Р, .... На вход приемного устройства поступает сумма сигнала и бело­ го шума (со спектральной плотностью G J2):

х (/) = s (t, р, а, р, ...) + п (t).

Необходимо синтезировать приемное устройство, т. е. найти опе­ рации, которые нужно совершить над входными данными x(t) для того, чтобы определить переданное сообщение р.

Наилучшая обработка принятых данных x{t) состоит в том, чтобы на их основе вычислить апостериорную вероятность сообщения р, т. е. условную плотность вероятности р, найденную при условии, что на интервале Т наблюдается реализация x(t):

©ас ([О = © (р \х (/)).

В соответствии с формулой (12.3) сначала необходимо определить функцию правдоподобия L(p), являющуюся в данном случае условным функционалом плотности вероятности процесса x(t), при условии, что

которое служит основой для синтеза приемных устройств различного назначения.

442

12.3. Приемные устройства для измерения задержки

Измерение задержки (временного сдвига) является одной из самых распространенных задач радиоприемной техники и в особенности харак­ терно для таких областей, как радиолокация, радионавигация, теле­ метрия и специальные виды радиосвязи. Задачу синтеза приемного устройства для измерения временного сдвига можно идеализировать следующим образом. Источник сообщений и модулятор формируют зон­ дирующий сигнал s(t), задержанный па неизвестный и подлежащий из­ мерению сдвиг р:

s(t — р, ф) = А (( — р) cos (to/ Ф (/ — р) -Ь ф), (12.11)

где А (/) — функция амплитудной модуляции зондирующего сигнала;

На входе приемного устройства сигнал складывается с белым шу­ мом п([), имеющим спектральную плотность мощности GJ2, т. е.

х (() — s (t — р, ф) + п (().

Необходимо определить вид операции над входными данными x(t), в результате которых выделяется апостериорная вероятность задерж­ ки р.

В соответствии с соотношением (12.10), предполагая, что фаза ф распределена равномерно на интервале!)—2 я, получим выражение для функции правдоподобия задержки р:

При дальнейших преобразованиях соотношения (12.12) необходимо

равный энергии, содержащейся в принимаемом сигнале, не зависит от величины р. Воспользовавшись табличным интегралом

\ ехр (г cos ф) с/ф — /„ (г),

2л

где /„ — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента, получим

L (р) — k l 0 (2R (pVG0)»

T

Stm соотношения получены Вудвордом [4].

Следует подчеркнуть, что операция вычисления модуля появляется в результате усреднения по начальной фазе ф.

На выходе приемного устройства, измеряющего задержку, нужно выделить зависимость R (и), для чего входные данные x(t) необходимо подвергнуть преобразованию (12.14), состоящему в вычислении корре­ ляционного интеграла от входных данных с комплексным весом и его модуля. Подобного рода операции можно произвести с помощью ли­ нейного радиочастотного фильтра со специально подобранной частот­ ной характеристикой (согласованного фильтра) и детектора огиба­ ющей выходного сигнала фильтра. Другой способ состоит в использо­ вании многоканального приемного устройства, в каждом канале ко­ торого вычисляется значение R (р) в выбранной точке р.

Рассмотрим подробнее радиотехнические интерпретации соотно­ шения (12.14).

Согласованный фильтр. Предположим, что на вход фильтра, имещего сложный амплитудно-фазово-модулированный импульсный от­

Условия (12.16) называются условиями согласования фильтра с зон­ дирующим сигналом. В соответствии с ними функции амплитудных модуляций сигнала и импульсного отклика должны быть симметрич­ ными относительно произвольной точки (0; функции фазовых модуля­ ций сигнала и импульсного отклика должны быть антисимметричными относительно точки (0 (рис. 12.6).

Если выполнены условия согласования, то огибающая сигнала на выходе согласованного фильтра при правильно выбранном начале отсчета времени совпадает с требуемой функцией R (р).

444

Таким образом, оптимальный приемник измерения задержки со­ стоит из согласованного фильтра и детектора огибающей (рис. 12.7). Согласованный фильтр за счет специального подбора формы им­ пульсного отклика преобразует входные сигналы и шум таким об­ разом, что на выходе фильтра достигается максимальное значение отношения сигнал/шум [6]. Понятие согласованного фильтра является одним из центральных в статистической теории радиоприема, а согла­ сованные фильтры используются в ра­ диоприемных устройствах различного назначения.

В процессе детектирования разру­ шается несущественная информация, со­ держащаяся в фазе высокочастотного за­ полнения принимаемого сигнала.

Отметим, что преобразование частоты входных данных не изменяет вид сиг­ нала и характер шума. Из этого сле­ дует, что согласованный фильтр может быть использован после преобразова­

преобразованием Фурье от импульсного отклика фильтра, нетрудно с учетом условий согласования (12.16) получить соотношение между комплексным коэффициентом передачи согласованного фильтра и ком­ плексным спектром зондирующего сигнала: с точностью до фазо­ вого множителя комплексный коэффициент передачи фильтра равен комплексно-сопряженному спектру зондирующего сигнала.

Рис. 12.7

Многоканальный коррелятор. В многоканальном корреляторе зависимость 7?(р) восстанавливается «по точкам», в виде временнйх выборок Я (рО, ..., Я (рп) (п — число каналов) с выходов каналов, причем

т

Рассмотрим канал приемного устройства, выполненный в соответ­ ствии со структурной схемой рис. 12.8. Канал коррелятора состоит и? смесителя, на один вход которого поступает сигнал x(t), а на другой вход — фазово-модулированный сигнал гетеродина; фильтра, согласо­ ванного с амплитудной модуляцией зондирующего сигнала; детектора огибающей и селектора, осуществляющего выборку в нужный момент времени.

445

опорного сигнала гетеродина ФЦ — рг) и моментом селектирования выхода детектора огибающей t0 -г Рг, перекрывают нужный диапазон измерения задержки.

Найдем основные соотношения, характеризующие работу согласо­ ванного фильтра. При этом нужно иметь в виду, что исходная операция (12.14) не имеет нормирующих и выравнивающих размерность коэф­ фициентов, вследствие чего правильную размерность будет иметь лишь отношение сигнал/шум на выходе фильтра.

Рис. 12.8

Если шум на входе фильтра отсутствует и входной сигнал имеет, задержку р0, то, как это следует из (12.14), выходной сигнал равен

E = ± ^ A * ( ( ) d t .

Нормированный выходной сигнал

J 5 ( / — р ) S * ( / — | Ы ) с и

f s(/)s* (t) dt

называется модулем автокорреляционной функции зондирующего сиг­ нала.

Автокорреляционная функция зондирующего сигнала играет в те­ ории измерения задержки важную роль. Она описывает форму выход­ ного сигнала оптимального приемника и с ее параметрами связаны та­ кие характеристики, как флюктуационная точность измерения задерж­ ки и разрешающая способность приемного устройства по задержке.

446

Если сигнал отсутствует, то шум на выходе согласованного фильтра

производя интегрирование с 6-фуикцией и пользуясь условием согла­ сованности (12.16), получаем

где G0— односторонняя (физически реализуемая) спектральная плот­ ность мощности входного шума.

Таким образом, отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра зависит только от величины энергии принимаемого сигнала и .мощности шума на единицу полосы частот и не зависит от вида фазо­ вой модуляции сигнала.

Как уже упоминалось, величина отношения сигнал/шум на выходе согласованного фильтра является предельно достижимой для данного сигнала и при данном уровне белого шума.

Из сказанного ясно, что любое другое приемное устройство, схема которого отличается от изображенного на рис. 12.7, обеспе­ чивает меньший уровень сигнал/шум на выходе.

Основные соотношения уровней сигналов и шума на входе и выходе согласованного фильтра показаны на рис. 12.9.

Рассмотрим теперь несколько примеров, относящихся к измере­ нию задержки с помощью зондирующих сигналов некоторых наи­ более широко используемых видов.

Прямоугольный импульс. Входной сигнал, его комплексная оги­ бающая и ненормированный выходной сигнал для этого случая по­ казаны на рис. 12.10.

Следует обратить внимание на существенное искажение сигнала на выходе фильтра по сравнению с входным сигналом.

Отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра при мак­ симуме сигнала равно E/G0 и достигается следующим образом: мощность

447

Рис. 12.9

Рис. ! 2.10

Рис. 12.П

443

при максимуме сигнала равна Л2/2, в то время как при эффективной по­ лосе согласованного фильтра 1/т мощность шума на выходе равна GJx.

Учитывая трудности точного согласования формы сигнала с формой частотной характеристики фильтра, полезно сравнить отношение сиг­ нал/шум на выходе какого-либо несогласованного, но реализуемого фильтра, с максимально достижимым отношением сигнал/шум. В ка­ честве несогласованного выбран фильтр с частотной характеристикой колокольного вида ехр {—1,4 (/ — /0)2/А /}. На рис. 12.11 по оси абс­ цисс отложена величина А/т, по оси ординат — отношение сигнал/шум

на выходе фильтра (по напряжению), отнесенное к величине ] / E/G0. Из

1 Анпгит/^ныц. '? спектр

г>.

Рис. 12.12

графика видно, что для лучшей полосы фильтра с колокольной харак­ теристикой (А/т =0,72) указанное отношение мало отличается от еди­ ницы (0,95), Рис. 12.11 показывает также* что сигнал/шум относительно слабо зависит от ширины полосы. Практически полосу выбирают шире оптимальной, так как при узкой оптимальной полосе существен­ но сказываются взаимные уходы частоты сигнала и частоты опорного сигнала гетеродина.

Прямоугольный импульс с линейной частотной модуляцией. В ра­ диолокационной технике широкое распространение получили зонди­ рующие сигналы в виде прямоугольных импульсов с линейной частот­ ной модуляцией (ЛЧМ импульсы). Сигналы этого вида имеют функции амплитудной и фазовой модуляций, представленные на рис. 12.12, а. Параболическая фазовая модуляция соответствует линейному изме­ нению частоты на величину F — kx за время импульса.

Амплитудный и фазовый спектры ЛЧМ импульса при большой ве­