Поскольку ©о > О, то первым членом в (11.28) можно пренебречь:
v (0 = Uо П + т sin ЙЛ cos ©0Л |
(11.29) |
Используя (11.26) и (11.29), получаем |
|
U(t) — Y Но [1 -\-т sin й/]2 (sin2©a * -bcos2©0 t) |
==> |
= t/0[l 4-msin ЙД |
|
что совпадает с (11.27).
Применительно к квазигармоническому процессу u(f) пренебре жение малыми членами при определении и' (() приводит к следующей
формуле: |
|
и' (/) як ю0Н (/) sin 1ю0/ — ф (/)]. |
(11.30) |
Чтобы более наглядно представить квазигармонические колебания в виде временного процесса, запишем выражение для u(t) иначе. Для этого сначала преобразуем (11.20):
и(t) — U (0 cos [©0/ — ф (/)] =
=U(t)[cos ©0/ cos ф (I) 4- sin ©0/ sin ф (ЛЬ
или |
|
|
|
и (t) = |
U0 (Л cos © о |
t -f Us (t) sin ©0Л |
(11.31) |
где |
|
|
|
Uc (() = U (() cos ф (0; |
Us (t) = U (0 sin ф (0- |
(11.32) |
Используя (11.30), находим производную u'(t): |
|
u' (/) = |
©0H8 (t) cos ©(/ — w0Hc (0 sin w04 |
(11.33) |
Решая совместно (11.31) и (11.33) относительно Uc(t) |
и Ua(t), |
получаем |
|
• |
|
Uc (() = U (t) COS ©o t —(«' (t)/&o\ sin © o t, ]
(11.34)
Us (t) = [« '(t)/©0] cos'©014- и (t) sin ©d t. J
Из (11.34) видно, что мгновенные значения случайных функций Uc(t) и Us(t) имеют нормальное распределение и центрированы около нуля. Действительно это так, поскольку Uc(t) и Us(t) являются резуль татом линейных преобразований (11.34), совершенных над центрирован ным нормальным процессом «(/). Продолжая исследовать систему (11.34), можно показать также, что случайные функции Uc(t) и Us(t) являются независимыми и имеют одинаковую дисперсию аг — Й„,. Итак, квазигармоническое колебание u(t) в записи (11.31) определяет ся как сумма двух случайных и тоже квазигармонических колебаний:
И с ( Л —Uс ( Лcos © ( / , us (() = Ua ( t) sin
Примерный вид реализаций функций uc(t) и us(t) показан на рис. 11.7. В отличие от процесса u(t) случайный характер ис{() и ua(t) опреде ляется только случайными амплитудами Uc(t) и Us(t), так как фазы колебаний uc(t) и us(t) меняются на противоположные лишь при смене знаков у Uc{t) и Us(t) соответственно. Теперь огибающую U(t)
квазигармонического процесса u{t) можно определить как длину
>
результирующего вектора U(t) двух ортогональных |
составляющих |
* ^с(0 И Vs(t)- |
|
U(f) = YU\ (t) +u\(t). |
(11.35) |
На рис. 11.8 изображена соответствующая векторная диаграмма
и пунктиром отмечена возможная траектория конца вектора U. Рас
смотрим поведение вектора U на участке траектории вблизи начала координат. Для этого обратимся к рис. 11.7, из которого видно, что огибающая U(() достигает малых уровней, когда функции Uc(t) и Us(t) одновременно близки к нулю. Это возможно в результате двух событий: касания малых уровней (точки х) и пересечения нулевого уровня (точки у). Для центрированных нормальных процессов такие касания являются менее вероятными событиями, чем пересечения,
поэтому мы будем рассматривать изменение огибающей.U(t) на малых уровнях, вызванное только близостью моментов пересечений нулевого уровня функциями Uc(t) и UJJ).
Очевидно, что при смене знака у Uc(t) и Ua(t) скорость изменения этих величин почти не меняется. Это означает, что вблизиначала ко
ординат движение концов векторов Uc и Us и, следовательно, конца
вектора U происходит почти равномерно. Рис. 11.9, а иллюстрирует это объяснение. Выделенные точки на траектории соответствуют поло
жениям конца вектора U через равные интервалы времени. На рис. .11.9, б показана временная зависимость U{t), которая соответст
вии
бого его положения в плоскости векторной диаграммы на рис. 11.8. Следовательно, случайная фаза ф(/) имеет равномерную плотность вероятности в пределах <р = — я т к
w (ф) = 1/2я, —я ^ ф ^ я. |
(11.37) |
С помощью соотношения (11.36) определим среднее значение U оги бающей и ее среднеквадратичное значение (У2:
U = f Uw(U) dU = Um У л /2 ж 1,25НШ. |
(11.38) |
о |
|
Н2- U2w(U) dU = 2Ufu. |
(11.39) |
Наконец, дисперсия огибающей равна: |
|
ob = Н2 - { u f = (2— я/2) Ul « 0,43t/b |
(11.40) |
Автокорреляционная функция ku(x) флюктуаций огибающей не мо жет быть определена так просто, как это было сделано для квазигармонических флюктуаций. Там нам был известен энергетический спектр квазигармонических флюктуаций, и автокорреляционная функция была без затруднений найдена с помощью преобразования Фурье. Поскольку спектр огибающей неизвестен, то автокорреляционная функция ее флюктуаций находится с привлечением двумерной плотности вероят ности огибающей w(U, Ux):
оо оо
кц (т) = $ $ UUxw (U, Ux)dUdUx - (U y
о о
Результат вычислений ky(т) обычно приводится в виде быстро схо дящегося ряда [3]. Нормированную автокорреляционную функцию флюктуаций огибающей при этом можно записать в следующем виде:
kv (%)
Ри (т)
=0,921ф2 (т) -J-0,058ф4 (т) -f- ...
Сошибкой не более 10% можно воспользоваться приближением
Ру (т) » ф2 (т)» |
' |
(Н.41) |
где ф(т) — огибающая нормированной автокорреляционной функции квазигармонических флюктуаций (11.19).
11.3. Прохождение шума и смодулированного сигнала через ВЧ тракт приемника
Рассмотрим случай, когда на входе ВЧ тракта одновременно с бе лым шумом действует гармонический сигнал, частота которого сов падает с центральной частотой ВЧ тракта. Мы приняли, что этот тракт является линейной системой, следовательно, результирующее коле бание up(t) на его выходе можно представить суммой квазигармонического шума u(i) и сигнала ис(():
ир (0 = и (0 + ис (О, |
(П.42) |
где ис (() = Umcos (о0 /.
Используя выражение (11.20) для квазигармонического шума,
перепишем (11.42) |
в виде |
|
Up (t) = |
U (/) COS [ о ) 0/ — ф (/)] + Um COS tt»o^ |
(11.43) |
Поскольку выражение (11.43) представляет сумму двух колебаний с одинаковой частотой со0, причем одна из составляющих и(() медленно и случайным образом изменяет во времени свою амплитуду U (t) и фазу Ф (/), то результирующий эффект также будет случайным и носить ха
рактер квазигармонических колебаний со случайной |
огибающей У(/) |
и фазой Ф ((): |
|
«р (0 = V (() cos 1©„* — Ф (01- |
(11.44) |
Определим основные статистические характеристики случайных функ ций V(t) и Ф(/). Прежде чем перейти к расчетам, попытаемся качествен но оценить характер изменения статистических характеристик шума на выходе ВЧ тракта после того, как к нему добавился сигнал. Пред-
ставим результирующее колебание вектором У, длина которого в соот ветствии с (11.35) и (11.43) равна
V = V(,Um+ UcY + Ul . ' (11.45)
На основе векторной диаграммы на рис. 11.11 можно сделать следующие предварительные заключения.
1. Результирующий вектор. V из-за наличия сигнала преимущест
венно расположен вблизи'вектора Um. Следовательно, |
плотность ве |
роятности фазы w(Ф) |
уже не может быть равномерной, |
как |
это было |
в отсутствие сигнала, |
а должна иметь максимум при Ф = |
0. Очевид |
но, что с ростом амплитуды сигнала случайные отклонения фазы долж ны в среднем уменьшаться или, другими словами, с увеличением уров ня сигнала дисперсия фазы Оф должна падать.
2. При увеличении уровня сигнала закон распределения до(У) огибающей V приближается к нормальному. В этом особенно легко убедиться, если считать, что сигнал существенно превосходит шум,.
Это условие отображено на рис. 11.11, где длина вектора U значитель
но меньше длины вектора 0 т. Следует сказать, что поскольку величина
U случайна и распределена по закону Релея (11.36), то существует
—>
конечная, хотя и очень малая, вероятность того, что вектор U может
оказаться соизмеримым по длине с вектором Um и даже превзойти его. Мы пренебрежем этими маловероятными событиями, считая, что
малость вектора U по сравнению с |
Um сохраняется почти всегда. |
Из рис. 11.11 следует, что при Um > |
U угол Ф мал, и длина век |
тора V приближенно равна V я» Um+ U c.
----- •--- <*>
Рис. 11.11
Так как величина Um детерминированная, то закон распределения для флюктуаций огибающей определяется законом распределения для Uс, который, как мы знаем, нормальный, причем дисперсия равна
о& .= Ul. Среднее значение V огибающей в этом случае, очевидно,
равно |
V = Um. |
■ |
3. |
При наличии сигнала уменьшается вероятность того, что конец |
вектора V окажется вблизи начала координат, т. е. уменьшается ве роятность образования изломов в форме огибающей V(t) (см. § 11.2). Следовательно, скорость изменения огибающей при наличии сигнала должна быть в среднем меньше, чем в отсутствие сигнала. Поэтому можно ожидать, что нормированная автокорреляционная функция ру(т) огибающей V(t) будет затухать медленнее по сравнению с (11.41).
Одномерная плотность вероятности w(V) мгновенных значений огибающей V описывается законом Райса:
|
w(V) = |
/о |
V2 + Um |
(11.46) |
|
2Ul |
|
|
|
|
|
где /0 — символ функций Бесселя |
нулевого порядка от мнимого ар |
|
гумента. |
Umw(V) нормированного аргумента (5 = V/Uш |
|
Графики функции |
|
представлены на рис. |
11.12. Положив Um/-Um ^> 1, можно воспользо |
ваться приближением / 0М « ех/ у г2лх и убедиться, что (11.46) пере-
ходит в выражение для нормальной плотности вероятности
w(V) ж иту ъ |
■ехр |
Г |
( У - U m ? |
(11.47) |
[• |
2С/ш |
что подтверждает справедливость предварительных заключений. Опуская промежуточные вычисления, приведем формулы для оп
ределения среднего значения огибающей |
V и ее дисперсии а |
|
ос |
|
|
|
|
|
V = f V w { V ) i V = и ш / я 7 2 |
|
( т ) |
|
|
|
|
|
|
а2 |
, / о2 \ |
■а 2/4 |
: |
и ш М (а), |
(11.48) |
+ ~2~ |
1( Т / |
|
a l = J v * w ( V ) d V - ( V ) 2 |
- f |
- ( V ) 2 - (У* Л/2 (а). |
(11.49) |
Здесь 7Х— символ функции Бесселя первого порядка от мнимого ар гумента.
Рис. |
11.13 |
Рис. 11.14 |
Графики функций М(а) = V/Um и N(a) |
= avlUm показаны на |
рис. 11.13 и J1.14. Формулы (11.48) |
и (11.49) |
можно существенно уп |
ростить, если использовать асимптотические представления функций Бесселя:
при а < 1:
(11.50)
при а > 3:
V = Um, o l t t U l . '
Вычисление автокорреляционной функции &у(т) флюктуаций оги бающей связано с большими математическими трудностями, и строгое решение этой задачи не приводит к практически удобным резуль-
тэтам. Обычно в расчетах используют следующую приближенную фор мулу [3]:
k v (т) « (1/2)(4 — я ) £ / ш [М 5(т) + 62ф2 <т)|, |
(11.51) |
(11.52)
ф(т) — огибающая нормированной автокорреляционной функции квазигармонического напряжения на вйходе ВЧ тракта.
|
|
|
|
|
|
|
|
Зависимости Ьг (а) |
и Ь2 (а) |
показаны на |
рис. 11.15. Положив |
в (11.51) т = 0, составим выражение для |
|
|
дисперсии огибающей: |
|
|
|
ь .Ь |
<5/ |
оу |
(1/2)(4 — п )и 2ш (Ьг + |
Ь2). |
(11.53) |
11z |
По сравнению с (11.49) |
полученное |
2,6 |
-ч |
соотношение |
является |
приближенным, |
V |
* l) |
причем |
погрешность |
вычислений по |
|
(11.53) |
с ростом а от 0 до |
оо увеличи |
iO |
|
вается от 0 до |
10%. |
|
|
|
|
автокорреляцион |
|
|
Нормированную |
¥ |
|
ную функцию |
флюктуаций |
огибающей |
|
запишем с помощью (11.51) и (11.53) так:
P v ( T >kv(X)= - - (
b\ + b-2
+ \ bi -(- b2-, ф2 (т).
Ч ( т ) + |
[в |
? а *!к |
|
■ v* |
(11.54) |
Рис. |
11.15 |
|
|
Если амплитуду сигнала Um положить равной нулю, |
т. е. принять |
а = 0, |
то Ьг = |
0, а Ьг = |
1, |
и при а — 0 формула (11.54) примет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(V |
(т) |
« ф2 (т), |
(11.55) |
что совпадает с (11.41). |
|
|
1), то bt -*■ |
Если же сигнал существенно превосходит шум (а > |
8/п, |
а |
-> |
0, и при а > |
1 будет справедливым следующее выра |
жение: |
|
|
|
|
|
|
Ч |
|
|
Р с ( т ) « ф ( т ) . |
(11.56) |
Сравнивая скорости затухания функций (11.55) и (11.56), можно заключить, что сильный сигнал, действующий одновременно с шумом, приводит к уменьшению скорости изменения огибающей, что подтверж дает аналогичный вывод, полученный при качественном рассмотрении взаимодействия сигнала и шума.
го(Ф)
а = 10
\ , 2
ЦЬ!
nit 1
Ч¥1 у '
>t :V у *1
Выражение для плот ности вероятности фазы ау(Ф) приведем без вывода:
|
w |
(Ф) |
I |
( |
а 2 |
+ |
|
1 7 ехр ( - Т |
|
|
|
|
|
+ |
у й Г мр| |
a2sin2 Ф X |
|
|
|
|
|
Xcos® -/r (acos®), |
|
|
|
|
— л < Ф < я , |
(11.57) |
где F(z) — интеграл вероят ностей:
2
- 1 8 0 - 1 2 0 |
- S O |
О |
6 0 |
1 2 0 Ф ° |
dx. |
|
|
|
|
|
Рис. II. 16
— 00
Графики функции ш(Ф) приведены на рис. 11.16. При больших уровнях сигнала (а > 1) в среднем можно положить Ф < 1, тогда, пренебрегая в (11.57) первым слагаемым ввиду его малостй и считая sin Ф « Ф, cos Ф « 1 и F(a cos Ф) як 1, получаем при а > 1 нор мальную плотность вероятности
®<ф)л:Т%Гехр( S ' ) ' |
( | , '58) |
где ое = 1/а2 — дисперсия фазы.
11.4. Действие шума на амплитудный линейный детектор
Действие шума на амплитудный детектор рассмотрим для случая, когда интенсивность квазигармонических флюктуаций, поступающих на детектор с выхода ВЧ тракта, достаточно велика. Известно,' напри мер, что диодный детектор может считаться линейным, если амплитуда
сигнала Um ^ |
(0,5 -f- 1) |
В. Такое же условие можно распространить |
и на |
квазигармонический |
шум и считать детектор линейным, если |
Uи, > |
(0,5 -г |
1) В. |
|
Здесь и далее будем иметь в виду диодный детектор, собранный, по последовательной схеме (рис. 11.17), хотя все сделанные выводы без труда можно распространить и на другие типы линейных детекторов. Кроме того, будем считать, что нагрузка детектора безынерционна по отношению к огибающей 0 (() и впредь это обстоятельство не огова ривать. И, наконец, в состав рассматриваемой схемы мы включим пе реходную 7?рСр цепь, обычно связывающую выход детектора с первым каскадом УНЧ. Это позволит нам сразу же обсудить характер флюк туаций е(/) выходного напряжения. Для простоты рассуждений будем
считать, что разделительная Р рСр-цепь задерживает только постоян ную составляющую, пропуская флюктуации без потерь.
Итак, при действии на входе линейного детектора квазигармонических флюктуаций с огибающей U(t) на нагрузке этого детектора об разуется случайное напряжение Ё (t), которое можно определить так:
1(() = Кди((), |
(11.59) |
где Кд — коэффициент передачи детектора. |
l(t), так же как |
Плотность вероятности случайного напряжения |
и для огибающей U(t), подчиняется закону Релея: |
|
и>&) |
(11.60) |
Появление в (11.60) масштабного множителя К\ можно объяснить, если реальный детектор, обладающий /Сд < 1, представить в виде эк вивалентной схемы (рис. 11.18) Для детектора без потерь (/СДиД = 1)
Рис. 11.17 |
Рис. 11.18 |
|
в этой схеме справедливо соотношение £(/) = |
U ((), поэтому при состав |
лении выражения для до(£) мы в (11.36) |
должны заменить |
U на £ |
и уменьшить эффективный шум в Кп раз. |
|
' |
Квадрат эффективного значения случайного напряжения £(/) мож |
но определить из (11.60): |
|
|
Цфф■= I2 = 5 I2 w (S) dl = 2С/ш К1. |
(И .61) |
6 |
|
|
Найдем |эфф более наглядным способом, основанным на |
методе |
баланса мощностей. Для этого обратимся к схеме на рис. 11.18. Вход
ная мощность, |
рассеиваемая на входном сопротивлении R BXдетектора, |
равна |
Р вх = |
(KnUm)VRBX. Поскольку |
мы считаем, что детектор со |
бран |
по последовательной схеме,' то Р |
вх — R/2 и Р вх = 2K\UhlR |
(R — сопротивление нагрузки детектора). На сопротивлении нагруз
ки R рассеивается выходная мощность |
Р вых = |
11фф/Р- Для детек |
тора без |
потерь Р вх = Р вых, откуда |
следует |
£|фф = 2K\Um, что |
совпадает |
с (11.61). |
|
|
Аналогичный результат будет получен и для схемы параллель
ного |
детектора, входное сопротивление |
которого |
равно Р ВХ = R!3. |
При |
этом Рвх — З К д ^ /Р . Мощность |
на выходе параллельного де |
тектора мо!жно представить в виде суммы |
|
|
Рвы* - 1 \ фф1К + (Кда д / Р , |
, |
