рассматриваться как колебание в виде 6-функции. Поскольку ВЧ тракт представляет собой резонансное избирательное устройство, то его отклики имеют вид затухающих колебаний с частотой со0, равной резонансной частоте УПЧ. Далее можно заключить, что начальные фазы откликов, так же как и их интенсивности, являются случайными ста тистически независимыми величинами, поскольку элементарные воз действия, вызывающие эти отклики, случайны и статистически не свя заны между собой. Примерный вид откликов показан на рис. 11.2, б. Характер выходного колебания в стационарном режиме, т. е. после времени установления, равного ty « 1/Пвч, определим вначале на небольшом временном интервале длительностью Д, в пределах кото рого амплитуду откликов можно считать неизменной (рис. 11.2, в). Суперпозиция откликов на интервале t%представляет собой результат суммирования большого числа гармонических колебаний с частотой
но со случайными амплитудами и фазами. Очевидно, что выходной э(|х|зект на интервале тоже будет представлять собой гармоническое колебание с некоторой результирующей амплитудой и фазой. На со седнем интервале амплитуда и фаза выходного колебания несколько изменятся за счет появления новых откликов и уменьшения амплитуды, существовавших ранее. Таким образом, можно заключить, что выход ное напряжение и (t) является колебательным процессом с часто той (о0, амплитуда и фаза которого медленно и случайным образом из меняются во времени:
и (t) = U (t) cos W — Ф (01-
Процесс, обладающий указанным свойством, называют квазигармоническим. Примерный вид его реализации показан на рис. 11.3. Случайная функция времени U(t) носит название огибающей квазигармонического процесса.
Проведенное рассмотрение позволяет также судить о характере из менений квазигармонического процесса на выходе ВЧ тракта при из менении его полосы пропускания. Например, при уменьшении полосы пропускания затухание откликов будет более медленным, следова тельно, различие в амплитудах и фазах выходного колебания в двух соседних интервалах tx будет проявляться в меньшей степени. Это означает, что при сужении полосы пропускания ВЧ тракта квазигармоиический процесс на его выходе, сохранив свой случайный характер, будет происходить с меньшей скоростью изменения огибающей и фазы
(рис. 11.3, б),
Ранее считалось, что ширина энергетического спектра входного шума несоизмеримо брльше полосы пропускания ВЧ тракта. Это усло вие соответствует большинству практических случаев, но не является обязательным. Статистические характеристики квазигармонического процесса на выходе ВЧ тракта не изменятся, если ширина спектра входного шума, по-прежнему превышая полосу пропускания ВЧ трак та, будет уменьшаться при сохранении спектральной плотности посто янной. Это естественно, так как спектральные составляющие входного шума, расположенные вне частотной характеристики ВЧ тракта, не
»&о
участвуют в формировании выходного напряжения. В предельном случае ширина энергетического спектра входного шума совпадает с по лосой пропускания ВЧ тракта. На практике такая ситуация может воз никнуть, например, в том случае, когда входной шум обусловлен толь ко внешней, так называемой «прицельной» шумовой помехой, ширина энергетического спектра которой почти точно совпадает с полосой про пускания ВЧ тракта. Сказанное проиллюстрировано рис. 11.4, где формы энергетического спектра шума и частотной характеристики ВЧ тракта приняты идеально прямоугольными. Спектр «прицельной» шумовой помехи при ее излучении ограничивается с помощью тех или иных избирательных цепей. Поэтому на входе приемника такая по-
Рис. 11.3 Рис. 11.4
меха уже представляет собой квазигармоническое колебание, которое будет воспроизведено на выходе ВЧ тракта без искажений. Таким об-
•разом, разновидности входного шума по своему действию на прием ник можно считать эквивалентными при условии постоянства и равен ства их спектральной плотности в пределах частотной характеристики ВЧ тракта. Шум, обладающий такими свойствами, принято сводить к единому эквиваленту, так называемому «белому» шуму, спектральная плотность которого считается постоянной в бесконечных пределах. Эта математическая абстракция оказывается полезной в решении ряда задач, и ею мы будем пользоваться в дальнейшем.
Плотность вероятности мгновенных значений квазигармонического колебания подчиняется нормальному закону. В этом можно'убе диться, если обратить внимание на то, что мгновенные значения вы ходного напряжения представляют собой суперпозицию большого числа мгновенных значений откликов ВЧ тракта на элементарные воз действия (см. рис. 11.2), причем эти отклики, как мы установили, случайны и статистически не связаны между собой. В теории вероят ностей центральная предельная теорема доказывает, что сумма боль шого числа статистически независимых случайных величин является случайной величиной, закон распределения которой близок к нормаль ному, причем степень приближения увеличивается с ростом числа сла-
гаемых. Формулировка этой теоремы, как мы видим, полностью соот ветствует условиям рассматриваемой задачи. Таким образом, плот ность вероятности мгновенных значений случайного напряжения u(t) на выходе ВЧ тракта, когда на его входе действует белый шум, описы вается выражением
Кривая распределения w(u) центрирована около нуля, так как посто янная составляющая в напряжении u(t) отсутствует.
Параметр а2 называется дисперсией напряжения и и определяется как центральный момент второго порядка М 2. Его физический смысл можно представить, воспользовавшись приближенным методом вы числения момента М 2 по единственной реализации эргодического слу чайного напряжения, соответствующей достаточно большому времени наблюдения Т, в пределах которого мы располагаем конечным числом п. выборок:
п
где п = 7'/А/.
По определению момент М 2 является математическим ожиданием среднеквадратичного значения флюктуаций случайного напряжения
и(0:
1
Mo — П т —
2 п
где п — число выборок мгновенных значений напряжения и, разделен ных конечными интервалами времени А/.
Если число п выборок конечно, но велико, а интервалы At между ними достаточно малы, то правую часть (11.2) можно рассматривать как интегральную сумму и далее перейти к интегралу вида
пТ
Полученная запись совпадает с известной из электротехники фор мулой для определения квадрата эффективного значения напряжения, описываемого периодической функцией v(t) произвольной формы:
т
'п
п
где Тп — период функции v(t).
Приближаясь к условиям поставленной задачи, можно в (11.3) интервал интегрирования, т. е. время наблюдения Т, принять доста точно большим:
т
если Г » Г П.
о
Таким образом, дисперсия квазигармонического напряжения чис ленно равна квадрату его эффективного напряжения (Уш, и плотность вероятности его мгновенных значений запишем в виде
|
w (и) ----------^ ехр |
и2 |
(П ..4) |
|
2Уш |
|
ишУ2п |
|
Эффективное напряжение шума можно вычислить, если известна спектральная плотность GBUX (/) (энергетический спектр) на выходе ВЧ тракта:
00 |
|
= J gbm (/)<//. |
(11.5) |
о |
|
Если на входе ВЧ тракта действует белый шум с заданной величи ной GBX, то энергетический спектр на выходе полностью определяется частотной характеристикой К{[) этого тракта:
С в ы х ( / ) = GBXK2 (/) = GBXKl и 2 ( / ) , |
(11.6) |
где к (/) = K(f)/K0 — нормированная частотная характеристика ВЧ тракта, а К0 — его коэффициент усиления на центральной частоте /0.
Подставим (11.6) в (11.5):
и 2ш = ОвхК1§к*(Пс11. |
(И.7) |
о |
|
Из соотношения (11.7) следует важный вывод: интенсивность шума на выходе ВЧ тракта определяется не формой его частотной характе ристики, а площадью S, заключенной между кривой х2(/) и осью аб сцисс:
s= jV (/)d /.
о
Другими словами, все виды частотных характеристик ВЧ тракта с этой точки зрения являются эквивалентными, если для них величины 5 одинаковы. Пользуясь этим заключением, реальную частотную харак теристику х(/) ВЧ тракта, которой соответствует известная величи на 5 Р, можно заменить идеальной прямоугольной характеристикой с полосой пропускания Пш и величиной 5ид= х (0 ) ПШ= ПШ. равней-
S p (рис. 11.5).
Полоса пропускания Пш, равная |
|
Пш= ^ х2 (f) df, |
(11.8) |
о |
|
называется эквивалентной шумовой полосой ВЧ тракта. В дальнейшем для сокращения будем называть ее шумовой полосой.
Практический смысл применения этого понятия заключается в том, что при достаточно большом числе п каскадов (п > 3 ч- 4) и вне за висимости от вида избирательных систем ВЧ тракта его шумовая по лоса Пш, как показывают вычисления по (11.8), почти не отличается от полосы пропускания П, определяемой обычным образом по уровню
|
|
|
х = 0,7. Это существенно |
облегчает |
|
|
|
расчеты выходного эффективного шума, |
|
|
|
формула' для определения которого те |
|
|
|
перь примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и шж к 0У о ^ п - |
(11.9) |
|
|
|
Значение Um можно определить и по |
|
|
|
точной формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
u ul = K0V ^ J h i, |
(11.10) |
Величины поправочного |
где Пш = |
ЛП. |
|
|
|
|
коэффициента Л для усилителей различ |
ных типов |
приведены |
в табл. 11.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
11.1 |
1 ип усилителя |
Поправочный коэффициент А при числе каскадов, |
равном |
1 |
|
|
|
|
6 |
|
8 |
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
7 |
Одиночные |
контуры, |
|
|
|
|
|
|
|
1,09 |
настроенные в резонанс |
1,57 |
1,22 |
1,16 |
1,13 |
1 ,П |
1, 1 0 |
1,09 |
Попарно расстроенные |
|
|
— |
1,04 |
|
|
|
|
контуры (§0= 1 ) |
— |
1 , 1 1 |
— |
1,02 |
— |
1,01 |
Двухконтурные фильт- |
1 , 1 1 |
1,04 |
1,02 |
1,01 |
— |
1,01 |
|
1,00 |
ры (Р = 1) |
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим автокорреляционную функцию £вых(т) квазигармонического процесса на выходе ВЧ тракта. Как известно, автокорреляцион ная функция стационарного случайного процесса и его энергетический спектр связаны между собой преобразованием Фурье:
сю |
|
квых (т) = j GBbIX (/) cos 2я/ xdf. |
(11.11) |
О |
|
Используя (11.6), преобразуем (11.11) к виду
оо
&1>ых (*) = GBX Ко J X2 (f) cos 2nfx df. |
(11.12) |
В анализе случайных процессов часто пользуются нормированной автокорреляционной функцией
р(т) = £вых(т)/£вых(0), |
(11.13) |
которая не зависит от интенсивности случайного процесса u(t). Сле довательно, можно считать, что функция р(т) описывает только ста тистическую связь между мгновенными значениями процесса «(/), разделенными временным интервалом т. Из (11.12) следует, что *вых(0) = 0 ВХ/С8ПШ. Поэтому
|
оо |
|
Р (Т) = |
J х2 (/) cos 2л/т df, |
(1114) |
|
о |
|
где шумовая полоса Пш определяется по (11.8).
Таким образом, если на входе ВЧ тракта действует белый шум, то нормированная автокорреляционная функция выходного случайного напряжения и(() полностью определяется частотной характеристикой х(/) ВЧ тракта. Разумеется, это заключейие носит общий характер и относится к любым линейным четырехполюсникам.
Уравнение частотной характеристики ВЧ тракта обычно задается в виде функции х(Д /) расстройки Д/ относительно центральной ча стоты/0. Область расстроек 2Д/мак0, в пределах которой функция х(Д/) отлична от нуля, существенно меньше центральной частоты /0, что является общим признаком узкополосных избирательных систем. Пользуясь этим обстоятельством, выражение для р(т) можно предста
вить |
в иной форме, введя в (11.14) новую переменную Д/ = |
/ — /„: |
|
оо |
|
|
P (* )= 7f- |
( х2 (Af) cos [2ят (/о + Д/)] dAf. |
(11.15) |
|
Иш -/. |
t |
Преобразуем (11.15), используя формулу «косинус суммы». Кроме |
того, нижний предел интегрирования в (11.15) примем равным — оо, |
что |
допустимо, так как |
при Д/ = —/0 функция х2 (Д/) практически |
равна нулю. С учетом этих соображений выражение (11.15) примет вид
р(т) = — |
| х2 (Д/) cos 2лт Д/ dAf cos 2лт/0 ф- |
|
П ш |
Д о с |
|
-(-00 |
|
-|- — |
f х2 (Д/) sin 2лт Д/ dAf sin 2лт/0. |
(11.16) |
Iпш
Вдальнейшем будем считать, что частотные характеристики ВЧ трактов симметричны относительно центральной частоты /0. Такое предположение позволяет упростить запись для р(т), так как второе слагаемое в (11.16) оказывается равным нулю. В этом легко убедиться, если обратить внимание на то, что подынтегральное выражение второго
слагаемого в (11.16) представляет произведение четной (к2) и нечетной (sin) функций. Заметим, что подынтегральное выражение первого сла гаемого в (11.16) является четной функцией. Окончательное выражение для р(т) при условии симметричности характеристики к(А/) относитель на нуля примет вид
00 |
|
р(т) = — ^ к2(А[) cos 2пт Д/ dAf cos 2ят/0. |
(11.17) |
Пш о |
|
Диапазон расстроек Д/макс, в пределах которого производится фак тическое интегрирование, находится в области низких частот: Д/ма:кс = = 0 ч- F, где F ж П. Поэтому выражение, заключенное в квадрат ные скобки формулы (11.17), представ ляет собой медленно меняющуюся функ цию ф(т). Следовательно, (11.17) в об
щем виде можно записать так:
|
р (т) |
= ф (т) cos 2лт/о, |
(11.18) |
|
где |
w |
|
|
|
|
|
(11.19) |
|
ф (т) |
^ V2(F) cos 2mF dF. |
|
Пш о |
|
|
Если.правую ветвь симметричной частотной характеристики ВЧ тракта пе |
ренести в область низких частот, совместив центральную частоту |
с началом |
координат, то |
полученная кривая будет описывать частотную характеристику |
к (F) низкочастотного эквивалента ВЧ тракта (см. гл. 5). При этом шумовая |
полоса Пшнэ |
низкочастотного эквивалента |
будет равна |
Пшнэ |
= 1/2Пш. |
Следовательно, |
выражение (11.19) можно рассматривать как |
нормированную |
автокорреляционную функцию случайного процесса на выходе низкочастотного эквивалента ВЧ тракта при условии, что на его входе действует белый шум.
В (11.18) функция ф(т) является огибающей автокорреляционной
функции р(т), |
которая описывает |
медленно затухающие колебания |
с частотой /0 |
(рис. 11.6). Графики |
функций р(т) внешне напоминают |
импульсные характеристики избирательных усилителей. Такое сход ство не случайно и лишний раз подчеркивает, что статистические свя зи между мгновенными значениями выходного напряжения опреде ляются способностью линейного четырехполюсника «запоминать» входные воздействия на время, обусловленное его инерционностью. Количественной мерой такой «памяти» и является импульсная харак
теристика четырехполюсника. |
функция р(т) стано |
Тот факт, что при определенных значениях |
вится отрицательной, означает, что мгновенные |
значения квазигармо- |
нического напряжения u(t), разделенные соответствующими интерва лами длительностью т(_ )( наиболее вероятно будут противоположного знака.
В табл. 11.2 приведены вычисленные с помощью (11.18), (11.19) выражения для нормированных автокорреляционных функций р(т)
и примерный вид их графиков применительно к некоторым видам ре зонансных систем ВЧ трактов.
Обычно на практике форма частотной характеристики ВЧ тракта заметно отличается от расчетной. Это происходит за счет неточности настройки контуров при производстве приемников, влияния пара зитных обратных связей, расстроек контуров при смене ламп и т. д. Поэтому при расчете функции р(т) в большинстве случаев считается приемлемым аппроксимировать реальную частотную характеристику ВЧ тракта гауссовой кривой для контуров, настроенных в резонанс, или прямоугольником для более сложных избирательных систем.
В анализе прохождения шума через радиоприемное устройство большое значение имеют статистические характеристики огибающей U{t) и фазы ф(7) квазигармонического напряжения на выходе ВЧ трак
та, которое мы представили в виде |
|
и (t) = U (t) cos [(о,/ — ср (/)]. |
(11.20) |
Процесс u(t) можно рассматривать как модулированное гармони ческое колебание, причем случайной модуляции здесь подвергаются как амплитуда, так и фаза. При детектировании квазигармониче ского колебания на выходе детектора образуется случайное напря жение, описание которого, естественно, потребует 'знания статисти ческих характеристик случайных функций U (i) и ф(£).
Прежде всего отметим, что нельзя дать строгого математического определения огибающей квазигармонического колебания, так как в (11.20) представление одной функции u{t) через две U(t) и ф(0 не может быть однозначным. Однако применительно к квазигармоническим ко лебаниям свобода выбора функции U(t) жестко ограничена сложив шимися представлениями об огибающей детерминированных коле баний. Принято считать, что если некоторая функция времени u(t) осциллирует около нулевого значения, то под ее огибающей следует понимать положительную функцию U (t), обладающую следующими свойствами:
а) для всех моментов времени U(t)^z | u(t) j, |
... |
б) для некоторых моментов времени U(t) = | u(t) |.| |
(*1.21) |
Это, на первый взгляд, не слишком конкретное определение приобре тает вполне определенный и ясный смысл применительно к гармо ническому колебанию:
и (t) = A cos сo0t. |
(11.22) |
Здесь огибающей является прямая U(t) .= А, для которой условие U(t) — j u{t) | выполняется в моменты достижения функцией u{t) ам плитудных значений. Аналитическое выражение для U(t), удовлетво ряющее условиям (11.21), можно представить в виде
U(t) = Yu*(l) + v4t), |
(11.23) |
где v(t) ~ A sin со0А
Подчеркнем что v(t) отличается от u(t) только сдвигом фазы на я/2. Если функция u(t) описывает случайный процесс, то, пользуясь аналогией с гармоническим колебанием, огибающую можно также определить по (11.23), понимая под v(t) случайную функцию, получен ную из u{t) путем сдвига фаз всех составляющих спектра u(t) на я/2. Математическая операция, с помощью которой определяется функция v(t), обладающая указанным свойством, может быть выполнена с по
мощью преобразования Гильберта:
+ оо
0( 0- - --= ^f -d r,
яJ т — t
афункция v(t), найденная из (11.24), называется «сопряженной с u{t) по Гильберту».
Преобразование Гильберта формально применимо для сколь угод но широкополосных флюктуаций. Однако для квазигармонических флюктуаций процедуру вычислений сопряженной функции v(t) можно существенно упростить без заметных погрешностей. Действительно, в предельном случае, когда u(t) представляет гармонический процесс (11.22), преобразование Гильберта эквивалентно более простой опе рации:
v(0 = |
U' (01 |
л |
. |
( 1 1 . 2 5 ) |
—— |
= A sin со0 |
(. |
|
«о I |
|
|
|
Очевидно, что эта экбивалентность почти в полной мере должна со храниться и для медленно модулированного гармонического колебания, которым описывают квазигармонические колебания. Исходя из этих представлений, огибающую и фазу квазигармонического процесса (11.20) с достаточной степенью точности можно характеризовать вы ражениями:
( 1 1 . 2 6 )
Ф (/) = arctg |Ц*(01
©о и (0
Впервые такой способ описания огибающей и фазы был предложен В. И. Тихоновым [2].
В справедливости представления U(t) в виде (11.26) можно убедиться на примере модулированного колебания вида
и (/) = U0 [1 + т sin Q/J sin со0/,
*
где огибающаяД/(/) заведомо известна и равна
U (/) = и 0 [1 + т sin Й/1 |
(11.27) |
Вычисление по (11.25), приводит к следующему результату:
v (() = (Q/a^mUf, cos Qt sin ю0/ + |
|
|
-f U0 11 + m sin Qt] cos ©0/. |
k |
(11.28) |
