книги из ГПНТБ / Лодиз, Р. Рост монокристаллов

тренной первой ситуации), то скорость будет постоянной, если температуру на поверхности х = 0 не поддерживать неизменной, как в предыдущих случаях, а постепенно снижать. При кристал­ лизации расплава в таких условиях со скоростью

растало со временем экспоненциально. Надо заметить, что та­ кая задача представляет собой обратную, или модифицирован­ ную, задачу Стефана в том смысле, что закон перемещения фронта роста здесь задан, а не считается искомым, тогда как

Здесь f\ , f2 и /з суть произвольные функции времени, a h — ко­ эффициент теплопередачи. Взяв, например, граничное условие (9.26а) и использовав метод разложения в ряд, находим

лее удобен при решении обратной, или модифицированной, за­ дачи, когда закон перемещения фронта роста задан, а темпе­ ратура на границе области подлежит определению. Аналогич­ ные результаты получаются и при условии (9.266) или (9.26в).

что на поверхности кристалла соблюдается условие локального

в то время как при г—•со концентрация пересыщенного рас­

Уравнение непрерывности для присоединения вещества к кри­ сталлу на перемещающейся границе раздела фаз запишется

В качестве конкретного примера рассмотрим рост кристалла

ции, разумеется, в расчет не принималось). Сравнивая этот результат с ростом из расплава (см. рассмотренный пример кристаллизации льда), можно заметить, что рост из раствора происходит гораздо медленнее главным образом потому, что коэффициенты диффузии очень малы по сравнению с коэффи-

Здесь hi (угловые масштабы) представляют собой известные

s.

Чтобы определить £0, обращаются к условию постоянства пото­ ков на границе фаз:

мом [70] анализ, эллипсоидальный фронт кристаллизации пере­ мещается пропорционально t'!* (то же самое верно и для сфе­ рического, цилиндрического и плоского фронтов, координатные системы для которых представляют собой частные случаи

фузией, то при одной и той же концентрации исходного ра­

Параболоидальные дендриты. Под «дендритом» понимают кристалл в форме дерева, или с признаками древовидное™, прежде всего ветвления. Параболоидальными называют денд­ риты, для которых форму вершин стволов и ветвей с некото­ рой степенью приближения можно считать параболоидальной.

уравнение диффузии с граничными условиями на движущейся параболоидальной поверхности. Как он показал, если поверх­ ность дендрита изотермична и его вершина перемещается впе­ ред с постоянной скоростью, то форма параболоида вращения удовлетворяет дифференциальному уравнению и граничным условиям задачи. Наряду с этим Иванцов рассчитал еще и рас­ пределение температуры в расплаве.

Метод Иванцова, подробно рассмотренный Хорвеем и Каном [73], состоит в том, чтобы найти решение нелинейного диффе­ ренциального уравнения сохранения теплоты или вещества на движущейся границе [см. уравнение (9.4)], удовлетворяющее также уравнению диффузии (9.1) и граничным условиям (9.3), (9.6) и (9.7). Обще решение уравнения (9.4) содержит пять произвольных постоянных и одну произвольную функцию, кото­ рые определяются из граничных условий, из уравнения (9.1) и из соотношений, связывающих постоянные. Для дендрита, ра­ стущего в направлении оси г, распределение температур в рас­ плаве выражается формулой

TL(B)-T„ E l [ - 0 p , g / 2 * J

Как и в случае эллипсоида, решение задачи о росте парабо­ лоида определяет величину произведения vpt, а не значения каждой из этих величин в отдельности. Следовательно, при одинаковых температурных условиях осуществляется одна из двух возможностей: либо медленно растет тупая игла, либо быстро растет острая игла (температура на поверхности и внутри обеих игл равна температуре плавления). Выражение

(9.49) Иванцов привел также в виде, отвечающем росту из рас­

цова [61], применив его к расчету роста параболоида с эллипти­ ческим сечением. На фиг. 8 приведена связь безразмерной скорости роста 2Q = vpt/xL с формой (т. е. с отношением полу­ осей) эллиптического сечения; параметр А2 зависит от безраз-

меняется при малых переохлаждениях приблизительно пропор­

о кристаллизации цилиндра с параболическим сечением, рас­ тущего с постоянной скоростью из расплава в направлении оси параболы. Эту конфигурацию можно рассматривать как дву­ мерный частный случай трехмерного дендрита; она представ­ ляет собой вырожденный эллипсоид. Поверхность, по предпо­ ложению, имеет температуру плавления. Решая задачу, можно определить только произведение vpt (произведение скорости на

температура поверхности раздела фаз на вершине иглы. Иван-

из переохлажденного расплава и определил считавшуюся неиз­ вестной температуру вершины в функции скорости роста. Ре­ зультат, полученный Иванцовым, хорошо согласуется с расчетом Фишера для цилиндра с полусферической вершиной.

Хорвей [52] в своем весьма подробном анализе модифициро­ ванной задачи Стефана (форма и скорость роста заданы, а температура поверхности кристалла считается неизвестной)

плавления. Численный расчет показал, что поверхность кристал­

средой.

Хорвей [52] провел детальный численный расчет кристалли­ зации пластины с эллиптической вершиной (двумерный слу­ чай) .

10.УСЛОЖНЕННАЯ ЗАДАЧА СТЕФАНА;

РА З Л И Ч Н Ы Е ФОРМЫ

Имеется несколько типов усложняющих факторов, которые можно ввести в уже рассмотренную «чистую» задачу Стефана. Разумеется, усложнения вводятся для того, чтобы привести выбранную модель в более точное соответствие с действитель­ ностью; среди таких факторов надо назвать следующие: влия-