книги из ГПНТБ / Хеннан, Э. Многомерные временные ряды

полагая у (п) — х (tn), имеем

так что у (п) — также стационарная последовательность. Зададимся теперь вопросом: может ли быть так, что последова­

тельность Г (п), содержащая в себе всю информацию, основанную на свойствах второго порядка, однозначно определяет функцию F (Я) (подчиненную обычным условиям нормировки). Другими сло­ вами, можно ли избавиться от наложения частот, используя опи­ санный способ выборки и подбирая надлежащим образом ср (Я). Ответ дается теоремой 5, принадлежащей Шапиро и Сильвермену [I960], доказательство которой мы опускаем.

Т е о р е м а 5. Для того чтобы спектральная функция F (Я) однозначно определялась по функции (3.5), достаточно, чтобы для любых двух точек (Я1, Я2): Я! Ф Я2, ЯІ5 Я2 6 (—°°, оо), выполнялось условие ср (Я!) Ф ср (Я2) (т. е. чтобы ср (Я) была унивалентна на

(—оо, оо)).

Представляет интерес случай, когда tn порождаются пуассонов­

выполняется. В этом пуассоновском случае утверждение теоремы легко доказать непосредственно г); в самом деле, полагая для просто­ ты обозначений р = 1, мы видим, что множество А комплексных линейных комбинаций функций вида (1 + іЯ)_п, п — О, 1, . . ., является не только линейным пространством над полем комплекс­ ных чисел, но и алгеброй, т. е. произведение двух таких комплексных комбинаций вновь является комплексной линейной комбинацией

утверждение. Таким образом, А является алгеброй непрерывных функций, обращающихся в нуль на бесконечности, замкнутой отно­ сительно комплексного сопряжения и обладающей тем свойством, что для любых двух точек Яі Ф Я2 найдется элемент А , принимающий в них различные значения.,Тогда (см. Иосида [1965], стр. 20) алгебра А плотна в смысле равномерной сходимости в пространстве С (— оо, оо)

J) Этот результат не понадобится в дальнейшем, н читатель может опустпть доказательство.

всех непрерывных функций, обращающихся в нуль на бесконечно­ сти . Таким образом, если бы Г (п) не определяла однозначно F (dk) и существовали бы две разные функции, удовлетворяющие усло­ вию (3.5), то для матричиозначной функции М , которая равна раз­ ности этих функций, мы нмоли бы

Мы не будем рассматривать здесь проблему явного выражения F

через у (п). Практическая ценность такого результата не ясна. Если имеется в виду планируемая выборка, то описанная выше про­ цедура представляется несколько громоздкой н использование перио­ дической выборки с очень малым интервалом выборки может ока­ заться более предпочтительным. Как видно пз формул (3.3) п (3.4), для абсолютно непрерывной F (А.) это будет эффективным средством избежать наложения частот (с (к) и д (к) очень малы при больших к).

Может встретиться н другая разновидность дискретизации: «периодическая неравномерная выборка» (Фримен [1965], стр. 77),

например, в связи с некоторыми типами рынков, которые бывают открыты в какие-либо N нерегулярно выбранных дней в течение торгового периода (педелн, месяца, года) ѵ). Мы можем найти тогда Г (пД + tj — th); j, к — 1, . . ., N. Достаточно рассмотреть лишь множество с¥ таких пар (/, к), для которых разности (tj — th) отли­ чаются друг от друга на величины, не кратные А. Любая пара (tn, t0), для которой tn — t0 отличается от разности, соответствующей какойлибо паре из <5°, на кА., очевидно, не несет новой информации. Зану­ меруем пары (/, к) из сf индексом т, пробегающим значения от 1

т = 1, . . ., М.

г) Примером может служить заключение фыочуреных сделок по шерсти

в Австралии.

имеет место соотношение

то мы будем говорить, что первый из интегралов (4.2) есть (^-средне­ квадратичный предел выражений

т

j A{i) еІІХ dt.

-т

Второй интеграл (4.2) определяется аналогично.

Всюду в этом параграфе мы используем именно такие определе­ ния преобразований Фурье (или Фурье — Стилтьеса) функций а (t), А {t), m (t) и М (t) и рассматриваем только такие функции, для которых преобразование Фурье (Фурье — Стилтьеса) в этом смысле существует. В этом параграфе процесс х (£) стационарный второго порядка.

Сейчас мы хотим рассмотреть некоторые (специальные) линей­ ные операторы, которые преобразуют исходный векторный стацио­ нарный процесс в другой. Такие операторы называются линейными фильтрами. Мы начнем с наиболее важных примеров фильтров, а затем перейдем к более общему рассмотрению, которое будет про­ должено в § 11 этой главы. Многие конкретные примеры фильтров приводятся в этой главе и гл. III.

(і) Иптегральные операторы

Рассмотрим сначала операцию, которая преобразует х (t) в

существует в определенном выше среднеквадратнчном смысле. Более общим образом, мы можем рассмотреть

оЭ. Хеннан

предел. Это условие выполняется для всех ]', к тогда и только тогда, когда второй интеграл (4.2) существует как (.^-среднеквадратичный предел. Ковариационная функция равна

в спектральных терминах. Это в особенности относится к скалярному

оо

y(t) = 2 Ahx(t — tk),

— с о

охватывается случаем, когда М (t) возрастает только скачком, так как А h можно считать величиной скачка функции М (t) в точке th. В случае когда М (t) абсолютно непрерывна н М (ds) можно записать как A(s)ds, функцию Л (s) иногда называют матричной импульсной переходной функцией фильтра, ибо если вместо х (t) в формуле для

у (t) подставить импульсную функцию (т. е. дельта-функцию с осо­ бенностью в начале координат; см. § 3 математического приложения), то на выходе будет именно А (і). Функция h (к) называется матрич­ ной частотной характеристикой фильтра. Смысл термина «частот­ ная характеристика» станет более попятным, если рассмотреть спек­

=j e-il4(k)z(dk).1

1)Полное обоснование этих преобразований мы даем в приложении к этой главе. (См. доказательство теоремы 9.)

5*

Таким образом, процесс с ортогональными приращениями, отве­ чающий у (t), получается нз соответствующего процесса для х (t) просто умножением компоненты, отвечающей (произвольной) часто­ те X, на частотную характеристику h (X).

(іі) Дифференциальные операторы Рассмотрим теперь операторы вида

о

где Ak — матрицы. Предположим, что

СО

Ü

Т е о р е м а 7. Для того чтобы х (t) был р раз среднеквадратично дифференцируем, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (4.3). В этом случае процесс

О

является стационарным и имеет ковариационную функцию

со

Г„(*)= I е>Чг{Х)В((1Х)!1(Х)*

—оо

где h (X) определяется соотношением (4.4).

Согласно теореме 2 гл. I, необходимым и достаточным условием среднеквадратичной дифференцируемости в стационарном скалярном случае является существование предела

—00