книги из ГПНТБ / Хеннан, Э. Многомерные временные ряды

50 Гл. I I . Сцентральная теория векторных процессов

где ряд Фурье сходится абсолютно.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как Г (t) — непрерывная периоди­ ческая функция от t, то

N

Г (0 = Нт 2 ДИ ( l - 1^ )**"',

л

а (п) = 4 г J r (0*-intd*

—л

(см. математическое приложение). Поскольку Г (і) удовлетворяет условиям теоремы 1, для нее выполняется (2.1). Пусть FN (А) — функция, возрастающая скачками в точках /г, | п ] ^ N, причем величины скачков равны А (п) (1 — \ п |/IV). Тогда, в силу теорем единственности и непрерывности для характеристических функций, Fn (А) ->■ F (А). Поэтому имеет место первое соотношение теоре­ мы l'. Полагая

Д (п) = Ѵ2 (А (п) — іВ (п)), п Ф 0, А (п) = А (п), п — 0,

получим второе равенство.

Мы будем обозначать элементы матриц А, А, В соответственно öj, h (/г), ajt h (n), ßy, k {n). Интересно отметить, что рассматриваемый ряд Фурье, согласно теореме 1, сходится абсолютно. Это обусловлено свойством неотрицательной определенности Г (ср) и для произволь­

и t|j- (га), а именно формулы (2 .6), не требуют никаких специальных сведений о ковариационной функции Xj (ср). Таким образом, нам удалось найти некое разложение такого типа, о котором шла речь в § 1 этой главы, так как мы представили х (ср) в виде суммы ортого­ нальных случайных величии с помощью преобразования, не завися­ щего от ковариационной функции. Если мы предположим сразу, что X (і) имеет период 2Т, то мы получим разложение вида (2.7), где, однако, вместо е~іп^ будет фигурировать (я/Т)]ехр(—itrmlT). Устрем­ ляя Т к бесконечности, мы приходим к предположению, что в общем, непериодическом, случае должно иметь место представление (спек­ тральное представление) вида

которое получается из (2.5), если подставить X вместо пл/2' и z (dX) вместо (л/Т) t, (га). Так как

Е (£ (/га) £ (га)*) = 0, /га ф п ,

то естественно ожидать, что процесс z (X), нормированный условием непрерывности справа, будет векторным случайным процессом с ортогональными приращениями, т. о.

Е {(z (X,) - z (Х2)) (z (Х3) - z (А*))*} = 0, X, > Х2 > Х3 > X,,

причем

E{(z (А,) - z (Х2)) (z (А,) - z (А2))*} = F (Xi) - F (X2), Xi>X2.

Последнее соотношение мы будем сокращенно записывать в виде

E{z (dX) z (dX)*} = F (dX).

Эти утверждения обосновываются следующей теоремой.

Т е о р е м а 2. Если х (t) — стационарный процесс второго порядка с матричной спектральной функцией F (X), то имеет место соотношение (2 .8), где правая частъ есть среднеквадратичный предел последовательности интегральных сум Римана — Стилтъеса, а z (X) — комплекснозначный процесс с ортогональными приращения­ ми, такой, что Е (z (X) z (X)*) = F (А,). Если потребовать, чтобы процесс z (X) был непрерывен справа в среднеквадратичном, то он определяется однозначно с точностью до подмножества Q нулевой вероятности.

Доказательство этой теоремы дается в п. 2 приложения к ятой главе. Следующая теорема 3 показывает, каким образом процесс z (X) однозначно (в существенном) определяется через х (t).

(l.i.m. обозначает здесь среднеквадратичный предел последователь­

где | (А) и p (A.) — вещественные процессы с ортогональными прира­ щениями, такие, что E{(g (At) — £ (Х2)) (р (Х3) — р (А4))} = 0 для непересекающихся интервалов [А2, Д), [А4, А3). Ненулевые ковариации имеют вид

Е{£ (dX) I' (dX)} = F (dX) = C {dX), X = О,

E{£ {dX) I' (dX)) = E{p {dX) p' (dX)} = 2Re (F (dX)) = C (dX), X ^=0,

E{1 (dX) p' {dX)} = —E{p {dX) % (dX)} = 21m (F {dX)) = Q {dX),

E{p (dX) p' (dX)} = 0 = Q (dX), X = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Определим два вещественных процесса \ (X), р (А,) с ортогональными приращениями следующим образом.

Так как х (t) — вещественный процесс, то, согласно теореме 3, для любых двух точек непрерывности Аь А2

т

z (А2) — z (Aj) = l.Lm. -d— j * (* )----- ^ ------ dt = z { - X 1) - z { - X 2). t-м» _T

Поэтому мы можем переписать (2.8) в виде (2.9). (Это соотношение является аналогом (2.5).)

Так как, кроме того,

E{z (dA) z (dA)*} = F (dA),

то мы видим, что £ (А) и р (А) — процессы с ортогональными прира­ щениями, такие, что Е (| (dAj) р' (dA2)) = 0, А; а ненулевые ковариации таковы, как указано в формулировке теоремы. Дока­ зательство завершено.

Следующие рассуждения поясняют смысл коспектра и квадратур­ ного спектра1). Вернемся на время к периодическому случаю

между ними будет максимальным. Если мы заменим в первой ком­ поненте ер на ф + т, то получим ковариацию

сеіи (п) cos пх — Ру,, (п) sin nr = cos (пт -j- 0j7l (??)) (a],{ (n) -)- ß]k (n)}1/2,

Величина Ор( (п) называется коэффициентом когерентности и являет­ ся адекватной мерой связанности между двумя компонентами при «волновом числе» п. Величина Ѳр£(п) определяет опережение или запаздывание, которое приводит две компоненты в иаилучшее согла­ сие в смысле квадратичного отклонения, усредненного по всем реализациям. Мы будем называть ее фшзой.

Определим теперь аналогичные величины в общем случае. Если Fj (А) и Fit (А) абсолютно непрерывны, то мы, естественно, положим

В общем случае достаточно найти какую-либо функцию распределе­ ния, относительно которой Fj (X), Fh (X) и Fjh (X) абсолютно непре­ рывны; тогда o2jh (X) можно определить через производные Радона — Никодима относительно этой меры. Очевидно, для этой цели подходит функция Fj (X) + Fh (X) х). Таким образом, мы можем построить функции

точек X, имеющее пулевую мерз^ относительно этого распределения, не представляет интереса, так как не содержит спектральной массы ни одного из двух рассматриваемых процессов. Величины о% (X) и 0jft (X) можно интерпретировать теперь в терминах аппроксимации X (і) периодическим процессом с большим периодом Т. Мы далее обсудим эту интерпретацию более подробно.

Подводя итог, можно сказать, что мы представили х (t) в виде

Смысл Cjh и Qjk станет понятным, если рассмотреть коэффициент когерентности и фазу, которые в абсолютно непрерывном случае даются соотношениями

первое из них описывает степень связанности, т. е. максимальную корреляцию, достижимзао за счет сдвига по фазе одной из двух компонент Xj (t), а второе определяет величинз^ такого фазового ■сдвига.

Таким образом, мы представили xj (t) в виде «суммы» (интеграла) осциллирзчощиX компонент, амплитуда н фаза которых определяются случайными величинами | 7 {dX), г)7 (dX), и описали ковариационную

•структуру этих величин.

4 Более полное обсуждение см. в § 2 математического приложения. Случай абсолютной непрерывности настолько более важен, что мы не станем задержи­ ваться здесь на другом случае.

Описывая соотношения (3.1), (3.2), (3.3) и (3.4), обычно говорят, что частоты X, 2я//Д ± X, X 0 [0, я/Д], являются «двойниками», причем X называется «главным двойником». Эту терминологию ввел Дж. У. Тьюки, который позаимствовал ее из теории планирования экспериментов, где возникает совершенно аналогичная проблема. Соотношение (3.3) можно описать геометрически, если рассмотреть график cjh (X), который складывается в виде гармошки в точках 2я)/Д, у = 1,2, . . . . Тогда значения cjk {X) во всех точках, которые являются двойниками некоторой главной частоты Ä,0, налагаются друг на друга, и с ( Х 0) получается, если сложить значения cJh (X)

в налагающихся частотах. Аналогичную геометрическую интер­ претацию имеет и соотношение (3.4). Очевидно, зная Г (/гД), мы можем найти только F ^ \ так что разные F, которым отвечает одна и та же F ^ , неразличимы. В абсолютно непрерывном случае при достаточно малом Д эффекты наложения будут незначительны, поскольку fjh (X) равна нулю на бесконечности. Это, конечно, интуи­ тивно очевидно. При интерпретации оценок спектра временного ряда с дискретным временем следует помнить об эффектах наложе­ ния. Так, если спектр, полученный по дискретным данным, имеет пик, то надо иметь в виду, что для основного процесса с непрерывным временем этот пик может соответствовать какому-либо «двойнику» главной частоты; например, если наблюдаемый ряд описывает уровни

приливно-отливными явлениями; в самом деле, приливы могут иметь период порядка 12 ч 25 мин, что при единице времени 1 день и Д =