книги из ГПНТБ / Хеннан, Э. Многомерные временные ряды

40

Гл.

I . Вводные сведения

Рассмотрим теперь функции ср (?) ішда

Г

0,

? iß*

ср (С) =

<ц>.

/ = 1.

• ••>

(3)

0,

?jy<?,

и установим соответствие

N

cp (г) 4_>cp= j Ф ( < Ш < ? 0 = 2

—

(4)

1

тову пространству <й?,

определяемому

процессом Е (/). Конечно,

Ь 2 (F) само

является гильбертовым

пространством, и, как легко проверить,

j Фі (0 Фг (0

F {dt) = (Фі, фз)

(5)

относительно F, ибо если ср„

(?) — последовательность функций указа иного

типа, такая, что

lim

f

I фт (0 — фп(0 I2 F {dt)— 0,

т> п -+ со

J

то фт (?) сходится по норме L->

{Г) к функции ф (?), квадратично интегрируемой

относительно F, а (5) гарантирует, что соответствующая последовательность

принадлежащей

Ь г (/•’), определить случайную

величину, которую

мы обозна­

чим символом

|ф

(?) S

(dt).

Такие же

рассуждения

позволяют

определить

интеграл

j ® ( ? ) i( d « ) ,

(6)

где I (?) теперь — векторный

процесс с

ортогональными приращениями, т. е.

Е (II «а) - Е (s2)l ІЕ (П) -

Е (*і)]*) =

0,

і* > s2 > *і >

Sl.

ностью Е, а элемент

(?)

матрицы

Ф (?)

должен

принадлежать L z (Fj), где

Fj

(t) -

Fj (s) = E

(I Ej

(l) - Ej

(s) I2}.

Приложение

41

2.

Доказательство теоремы 4'

В §

3 мы ввели м одел ь (3 .1 0 ),

к отор ая пр ивела н ас к р ассм отр ен и ю

реш ен ий

систем ы у р а в н ен и й

[2В(/)*9-і]

Ь = 0.

(1)

П усть. z a — кор ен ь у р а в н ен и я

о

d e t[2 ß (/)4 ^ ] = 0;

(2)

о

обозн ач и м

соответствую щ и е

р еш ен и я

систем ы

(1)

ч ер ез

b

(г, и ) ,

г =

1, . .

s u

С ущ ествован и е т а к и х

р еш ен и й

и и х к р атн ости

к ак собств ен н ы х

век тор ов

у с т а ­

навл и ваю тся т ео р и ей эк ви вал ен тн ости м атр и ц ,

элем енты к отор ы х я в л я ю тся

м н о ­

гоч лен ам и от п ер ем ен н ой z

(см .,

н ап р и м ер ,

М акдаф ф и

[1 9 5 6 ], стр .

4 0 ,

п л и

Б о х е р

[1 9 0 7 ],

гл .

X X ) .

Д о к а зы в а ется ,

что для

м атрицы

в л ев о й

части

(1), к о то р у ю

мы

о бозн ач и м

С (г),

су щ ест в у ю т м атрицы

Р

и

Q ,

элем енты

к отор ы х

я в л я ю тся

м н о ­

гоч лен ам и

от

z,

с о п р едел и тел я м и ,

равны м и

н ен ул евы м к он стан там ,

так и е,

что

Г>4 (*)

к 2 (z)

P C

( z ) Q =

= #,

L

h p

(z) J

где

н еди агон ал ьн ы е элем ен ты

равны

н у л ю ,

(z)

— м н огоч л ен

от z

степ ен и

p it

п р ич ем

Аг д ел и т

Лі+І

дл я

л ю бого

і.

(В общ ем

слушав

в н п зу на

д и агон ал и

м огут

бы ть н ул ев ы е

элем ен ты ,

н о

д л я С

(г)

это

н ев о зм о ж н о ,

поскольку7 мы п р ед п о л о ­

ж и л и ,

что

В

(0)

— еди н и ч н ая

м атр и ц а .)

М ногочлены

h j

(z) н азы ваю тся

и н в а ­

риантны м и

м н ож и тел я м и .

П у ст ь

z u

—

к о р ен ь Іц (z),

н е

явл я ю щ и й ся

кор н ем

/гг _!

(г);

тогд а , уч иты вая ,

что Р - 1

— т а к ж е м атри ц а м н огочлен ов от z,

мы види м ,

что

су щ ест в у ет s u =

( р — г - f

1)

реш ен и й

Ъ (г,

и ) ,

і =

1, . .

.,

su ,

ур ав н ен и я

С {zu ) b =

0;

и м ен н о ,

п одставим зн ач ен и е

z

—

z u

в Р ,

С ж Q ж возьм ем

в

к ач е­

стве

b (г, и )

п о сл ед н и е

( р

—

і

+

1)

стол бц ов

п ол уч аю щ ей ся

м атрицы

Q .

Эти

р еш ен и я ,

оч ев и дн о ,

ли н ей н о

незав и си м ы ,

поскольку7

оп р ед ел и тел ь

Q

равен

н ен у л ев о й

п остоя н н ой .

Т ак и м

о б р а зо м ,

каж дом у7

гц мы со п о ста в и л и s u

реш ен и й

у р а в н ен и я

С (zu ) b =

0 ,

а

и м ен н о ,

ук азан н ы е

вы ш е

Ъ (г, и).

П у ст ь

р

„ —

степ ен ь м н ож и тел я

(г — z u )

в

и н вар и ан тн ом

м н о ж и тел е ,

соответствую щ ем

Ъ (і,

и ) .

П остр ои м тогда

си стем у

векторов :

Ь (і, u ) z £ a i ,

и = 1,

. . . , s,

І

= 1,

. . •,

,

7 = 0,

. . . ,

(Р і . ц — 1),

где

s —

ч и сло

р азл и ч н ы х к о р н ей

z u .

О тм етим ,

что ч и сло

т а к и х

векторов

со в п а ­

д ает

со

степенью

p q оп р ед ел и тел я

С

(z)

к ак

м н огоч л ен а

от z.

О бр а зу ем

теп ер ь

вы р аж ен и е

с (п)= У] 2

2

с (*• й “) zunib (й “)>

(3)

и

г

j

где

с (і, ) ,

и )

дол ж н ы

быть

вы браны так ,

чтобы этот

вектор

у д о в л етв о р я л q

начальны м

зн ач ен и я м

п р и

и

=

— 1,

. . .,

— q. В ек тор

с

( п ) , оч еви дн о ,

у д о в л е ­

тв ор я ет

ур ав н ен и ю 2

2О В (/) с (п~ 7)= °-

(4>

42

Гл. / . Вводные сведения

(То, что z^n’b (і,

и) удовлетворяет

(4) при j

> 0, можно проверить, дифферен­

цируя і раз обе части соотношения

С (z) Q =

Р~гП п полагая z = zu .) Остается

только доказать существование чисел с (і, j,

и) для заданных начальных усло­

имеет ненулевой определитель.

Но если бы этот определитель был равен нулю,

то можно было бы найти ненулевые с (/, /, и),

такие, что с (л) =

0, при п =

= —1, . . ., —q, а это, очевидно, невозможно,

так как компоненты

вектора

с (п) являются многочленами степени не выше (q — 1).

Теперь мы можем завершить доказательство теоремы 4'. Пусть

(J~i(z_1) =

— ^ s Q j z ~ i u P ( z ~ l) — y^ ! P]z~i.

Тогда, переходя к новому процессу

і/ (л) ==

= 2 Qix (n — /) 11 заменяя правую часть (3.10)

выражением

У і Р} ^ і А ( к ) г ( п - к - і ) ,

j

ft

/ ) ^ öo7p-

q

со

É s x/){

2

и — /) А (к) в (и — к)} = А (к) в (п — к)

0

j = — сю

u

S

о о

оо

2 Л(/)е(я —/).

(5)

—ОО

2. Сцентральные теоремы для стационарных процессов

45

откуда

следует, что

N

N

Е [{я (*)— 2«іФі (О)2] =У (t, t)— S М-гФГ (^).

Ü

о

.а это выражение, как нам известно,

равномерно сходится к нулю.

Итак,

имеем

lim f

^

[ y (s, t)— 2

PiCPi(s)cpi(i!)]2rfs*

= 0>

N-+ ОО V

со

*-

-I

-

0

хотя, если у (s, г) непрерывна, сходимость будет

равномерной на

любом конечном

интервале.

найти

в работе Парзепа [1961].

В §

2 мы сформулируем и докажем основные теоремы, касающие­

Г (0 = j

e^F (dX) = j

{cos tXC (dX) + sin tXQ (dX)},

(2.1)

—CO

0

Э

Полученное

разложение

называется разложением Каруиена—Лоэва.

со

V j . k ( t ) =

j e ^ F j h(dX),

где

Fjk (Я) I [^аш ( \ ) - F j (X)~FU(Я)] + 1 [^e(8) (Я) - F J (Я)-

Fh (Я)].

Обозначим через F (Я) матрицы

с элементами Fjh(Я). Из

того что

(*) = Ѵ/и (— 0. следует,

что F (Х) = F* (X), ибо

СО

оо

[ e^F*{dX)=:

J e-'^F ' (йЯ) = Г' (—і) = Г(*).

— со

— 00

Г (

- 1) = j e-«\F (dX) = Г' (/) =

j

e ^ F ' (dX),

— СО

— со

то мы видим,

что F' ( — Я) =

Г(0) — F (Я)

во

всех точках непрерыв­

ности. или. что равносильно,

F(Xt) - F ( X 2) = F' ( ~ X 2- ) ~ F ' ( - X i - ) , Я ^ Я 2,

(2.4)

где. например,

F'( — Я!— )=

lim F' (Я). Мы будем сокращенно запи-

f

2Re {Fjk {dX)},

Я > 0 ,

Cjh{dl)- \

Fjh(dX),

Я=0,

(^Я) = -

2Іхп {Fя, (dX)},

Я > 0.

ОО

СО

оо

T(t) = j j cos iXC (dX) -f Y

j sin tXC (dX) —^

j cos tXQ (dX) +

оо

со

те

+ ' j sin tXQ (dX)

j cos IXC (dX) — у j sin tXC (dX) -f

2. Спектральные теоремы для стационарных процессов

49

ОО

СО

f y

^ cos IkQ {dk) + у

j s*n

(^ )

о

0

oo

CO

о

о

Это завершает доказательство теоремы 1.

Для матрицы

F (Я) имеет место

разложение Лебега

F (К) = Fll>(k) + F<2>(к) + Б<3>(к).

Здесь F^^ {к) абсолютно непрерывна

(относительно

меры Лебега

на прямой), так

что

— ОО

где / (к) — матрица с элементами

к (к), называемая матричной

спектральной плотностью. Пусть / (к) = Ѵ2 (с (Я.) —

iq (Я)); тогда

частный случай. Предположим, что Xj (/) = xj {t -f- 2/гл), / = 1, . . .

. . ., p, k = 0, ± 1 , . . ., T .

e. что наблюдается периодическая слу­

чайная функция. Например,

Xj (t) при —я < t ^ я может соответ­

должаются

просто по периодичности. Тогда также

yjh (t) =

= Vjh (t +

2kn). Мы будем писать х} (ф) и yjk (ф)

в случае,

когда

эти функции рассматриваются на интервале —я

<С ф ^

я.