книги из ГПНТБ / Хеннан, Э. Многомерные временные ряды

3. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ

(і) Важный класс образуют скалярные временные ряды, поро даемые линейным механизмом вида

где ß(/) и а(к) вещественны, а г(п) удовлетворяет условию

Е (е (т) е (/г)) = а26{?, х).

Такого рода механизм, основанный на идее, что х (п) определяется своими значениями в ближайшем прошлом и прошлыми возмущения­ ми, часто оказывается хорошим приближением к реальности. Конеч­ но, линейность является удобным математическим упрощением. Как показывает опыт, модели типа (3.1) пригодны для широкого класса данных. Если s = 0, то (3.1) называется уравнением авторегрессии.

При s > 0 иногда используется термин смешанная модель авторегрес­ сии и скользящего среднего. Если q = 0, то говорят о (конечном) скользящем среднем.

Ясно, что если заданы g начальных значений х (—д), . . ., х (—1), то соотношение (3.1) позволяет определить х (п) через е (п). Мы хотим исследовать структуру соотношения, выражающего х (п) через 8 (п), е (п — 1), . . . . Рассмотрим однородное уравнение, которое получается, если заменить правую часть (3.1) нулем, и будем искать его решения в виде zn. Это приводит к характеристическому уравнению

Каждому простому корню zu отвечает решение blLz^. Если корень zu имеет кратность р и, то, как легко проверить, решениями будут bu,7-nsZu при / = 0, 1, . . ., р и — 1. Если zu — комплексный корень,

то каждому из таких решений, очевидно, отвечает, комплексно сопряженное решение. Таким образом, мы получаем общее решение однородного уравнения в виде

где g констант bu.j определяются g начальными условиями. Конечно, выражение (3.3) можно записать также как сумму слагаемых вида

Ц Мы всегда будем считать, сс.чп пе оговорено противное, что е(») — процесс с такими ковариационными свойствами. Здесь, конечно, — символ Кронекера.

22 Гл. I. Вводные сведения

так как выражение в фигурных скобках равно нулю при га — ѵ =^0 и единице при ѵ = п. Поскольку как мы знаем, можно выбрать так, чтобы удовлетворить любым q начальным условиям, доказа­ тельство завершено.

Полагая

от (гаг — га), называется стационарным в широком смысле (или ста­ ционарным второго порядка) х).

Наиболее важный случай теоремы 4 — это случай, когда ри < 1 для всех га, ибо в этом случае / (гг) = 0 при га < 0, т. е. А, ()) = 0 при І < 0. Тогда стационарное решение (3.6) уравнения (3.1) представ-

х) Таким образом, в стационарном случае у (т, п) — у (0, п — т ), и мы полагаем, несколько непоследовательно, у (п — т) = у (0, п — т). Подобные

обозначения используются всюду в дальнейшем. D скалярпом случае, конечно,

у (и — т) = у (т — п).

ляет собой (бесконечное) скользящее среднее прошлых значений процесса е (п). Этот случай, очевидно, должен быть наиболее интере­ сен, ибо если мы «моделируем» уравнением (3.1) какую-либо реальную систему, то мы обычно предполагаем, что е (п) — возмущение, впер­ вые воздействующее на систему в момент п. Кроме того, в этом слу­ чае решения однородного уравнения стремятся к нулю при п оо, так что любое решение сближается с временным рядом (3.6) х).

Случай, когда ри = 1 для некоторых и, также представляет инте­ рес в связи с задачами экономики и системного планирования (см.

Определяя теперь S u через ехр іѲи подобно S±, мы можем обра­ зовать последовательность у2 (п) = S2yt (11), которая удовлетворяет соотношению

Уг (п) — (еІѲі + еі02) уг (п — 1) + е^Н-0^ (п — 2) = у (п),

п > — qj + 2.

Повторяя эту операцию г/, раз, мы видим, что

?і

(П Su)y(n)

и= 11

1)Если s 0) = 0 при / <; 0, то говорят, что преобразование (3.6) является неупреждающим (или физически осуществимым).— Прим-, ред.

24 Гл. I . Вводные сведения

является решением (3.1) при п ^ 0. Таким образом, при подходящем

будет удовлетворять уравнению (3 1) при / і ^ О и любым q началь­ ным условиям при п = —q, —q + 1 , ■• —1. Теперь уравнение (3.1) уже не имеет стационарного решения. Ситуацию в общем случае можно пояснить на простом примере. Полагая

п рассматривая уравнение

Да: (/г — 1) = е (п),

мы получаем решение

71

X ( п ) = х ( — 1) + 2 6 (/)> 77 > 0 .

О

Вэтом случае

Е{(а: (тг) — X (—1)) (X (т) — х (—1))} = о2 min (т, п).

Таким образом, коэффициент корреляции между х (п) и х (т) стремится к единице, если т и п стремятся к бесконечности так, что п — /тг остается постоянным. В силу этого реализация процесса будет выглядеть относительно гладкой. Обсуждение характера поведения подобных реализаций читатель может найти во второй главе книги Кокса и Миллера [1965].

(іі) Рассмотрим теперь случай, когда х (п) — вектор. Задад модель уравнением

Возможны более общие формулировки (представляющие интерес, в част­ ности, в экономке); однако если х (п) однозначно определяется по своему про­ шлому и по величинам е (п — к), то система должна приводиться к указанному

виду.

Теперь мы ищем решение однородной системы в виде Ъ(и) z", где Ъ (и) — вектор, удовлетворяющий соотношению

О

а za удовлетворяет уравнению

Если zu — кратный корень, то мы сможем найти более нем одно решение Ъ (и), отвечающее одному и тому же zu. Обозначим эти решения Ъ (і, и). В общем случае, однако, мы должны будем также

включить дополнительные члены вида n}z™b (г, и). Далее рассужде­ ния проходят по прежнему плану, так что мы можем сформулиро­ вать теорему 4', доказательство которой помещено в приложении к этой главе.

Т е о р е м а 4'. Если е (п), /г = 0, +1, . . . , — последователь­ ность случайных векторов, удовлетворяющая условию (3.11), то реше­ ние уравнения (3.10) однозначно определяется заданием q начальных значений х (—q), . . х (—1). Если ни один из корней za уравне­ ния (3.12) не лежит на единичной окружности, то решение (3.10) имеет вид

ОО

ж(н) = 2 А (7 )е (п -7 ),

Ü

к которому приближается любое решение уравнения (3.10). Для этого решения имеем

со

Е (х (т) х' (п)) = 2 Л (/) GA' (п ~m-\- j) = T (п — т).

о

Легко видеть, что Г (п — т) = Г' (т — п). Если матрицы ковариа­ ции процесса х (п) зависят только от (?г — иг), то мы вновь будем говорить, что X (и) стационарен в широком смысле х).

-1) Сы. примечание на стр. 22. Мы вновь полагаем Г (п) = Г (0, п) в стацио­

нарном случае.

(ѵ) Выше мы рассмотрели процесс второго порядка с дискретным временем, для которого Ачх (п) является конечным скользящим средним. Аналогичное определение можно дать и для непрерывного времени; следуя Яглому [1952], скажем, что процесс х (і) имеет стационарные приращения порядка q, если процесс

Д Ы 0 = 2 (*) ( - У 1-* x (t + jb)

о

стационарен для любого положительного /г.

Если (скалярный) процесс х (t) непрерывно дифференцируем q раз, то, поскольку его производная порядка q является среднеквадратич­

ным пределом величин h~qAqx (t) и имеет ковариационную функцию

Представляет, однако, интерес и тот случай, когда этой производ­ ной не существует, как, например, для броуновского движения, когда процесс (очевидно) имеет стационарные приращения первого порядка, но не дифференцируем.

Мы закончим этот параграф следующим замечанием. Иногда делают вывод, что уравнение вида

X (п ) = ра: ( п — 1) I е (/г), р > 1,

не имеет стационарных решений. Это не верно, как показывает

00

решение х (п) == — 2 Р_;_1е {п + 7 + 1)- Верно же, конечно, то, что

о

не существует стационарных решений, выражающихся только через настоящие и прошлые значения е (/г). Часто физический смысл имеют только такие решения. Поэтому в дальнейшем, говоря, что х (п) — стационарное решение уравнения вида (3.10), мы имеем в виду стацнонариое решение, выражающееся через е (т), т ^ 7г; таким образом, употребляя этот термин, мы предполагаем, что все нули уравнения (3.12) лежат внутри единичного круга.

4.СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ II ИХ КОВАРИАЦИОННАЯ СТРУКТУРА

Стационарным в узком смысле мы называем процесс х (t), такой, что для всех N, tu . . ., tN п h (в случае дискретного времени все эти числа целые, но для непрерывного времени только первое из них должно быть целым) распределения вероятностей семейств х (Ц), . . .

. . ., X (tN) и X (Ц -ф /г), . . ., X {tN + h) одинаковы. Если х (t)