книги из ГПНТБ / Хеннан, Э. Многомерные временные ряды

типа методами предыдущих параграфов, например, рассматривая сигналы со спектром, сильно сконцентрированным на нулевой часто­

о характере сигнала весьма неопределенны (и это же может относить­ ся и к шуму). Кроме того, может потребоваться, чтобы фильтрация не была слишком «долгой», например, чтобы импульсная переходная функция была отлична от нуля только на интервале t £ [0, Т]. Фильтр, построенный, скажем, по методу § 7, может иметь быстро убывающую импульсную переходную функцию, так что раннее усеченпе не скажется заметно на выходе.

Начнем со случая дискретного времени и рассмотрим построение фильтра длины 2N + 1:

N

*(«)->- 2 “ (/)*(« + /)>

- N

предназначенного для воспроизведения произвольного многочлена степени d < 2уѴ + 1 в момент времени п + пг и минимизирующего дисперсию выхода, когда вход х (п) имеет спектральную плотность f(k). Так как тп произвольно, то требование, чтобы j изменялось ох — уѵ до N, не является ограничением. Как и раньше, обозначим через Г2д-+і матрицу из 2N 1 строк и столбцов, состоящую из автоковарпаций у (] — к) процесса х (п). Пусть а — вектор с ком­ понентами а (/). Тогда мы должны минимизировать

Так как ah произвольны, то эти условия равносильны следующим:

Мы можем заменить это соотношениями

N

2 « ш Фр Ш = Фр Ю . 0< p < d ,

- N

где срр (/) — многочлены, получаемые применением процесса ортогонализации Грама — Шмидта к последовательностям {/р, / = = —N, . . ., N} г). Обозначим через Ф матрицу с элементами срр (/)

і) Таблицы этих пли пропорциональных им многочленов имеются во мно­ гих книгах (см. Оуэн [1962], стр. 515). Мы не требуем, чтобы | m | < N.

в р-й строке и /-м столбце, и пусть ср (т) — вектор с элементом <рр (т) в р-й строке. Тогда мы должны минимизировать

а Т 2Л'+1а

при ограничениях

Фа = ср (т).

Это приводит к уравнению

Тглг+іос = ФГА,

где А— вектор множителей Лагранжа.

Предполагая, что Г2іУ+і невырождениа, получаем

ср (т) = ФГг^-ріФ^і,

т. е.

сс= Гз^+іФ' (ФГгл'+іФ')-1 ф (т),

иминимальная дисперсия равна

Хорошо известно (и мы увидим это в гл. VII), что такое же выра­ жение получается, когда мы ищем наилучшую линейную несмещен­ ную регрессию х (п) на ортоиормированные многочлены и используем полученные оценки коэффициентов регрессии для предсказания зна­ чения многочлена в момент т. В гл. VII (теорема 8) мы покажем, что при весьма общих условиях на / (А) (например, / (А) кусочно­ непрерывна и не имеет разрыва в точке А = 0) отношение величи­ ны (9.1) к аналогичному выражению, которое получится, если во всех вычислениях считать / (А) постоянной, стремится к единице при N -*- оо и фиксированном d. Другими словами, если N велико по сравнению с d, то почти тот же самый эффект дает простая регрес­ сия. В этом случае сглаженное значение х {п) равно

Дисперсия выхода равна (см. § 2 гл. VII)

ф ('»)' (ФГ2.Ѵ+1Ф') ф {т),

и, как было сказано, отношение ее к (9.1) стремится к единице при N -*- оо. Представляет интерес частный случай т = 0. Тогда, учиты­ вая, что cpj (0) равны нулю при нечетном j и ф7- (—к) = ф^ (к) при четном 7, так как 2N + 1 нечетно, мы видим, что результирующие коэффициенты

а (к) = 2 фу (0) фу (к)

3

удовлетворяют равенству а (к) = а (—к) и d всегда можно считать четным. Значения этих коэффициентов для разных N и d (при т = 0)

14*

2 1 2 Гл. I I I . Прогнозирование и фильтрация случайных процессов

приведены в книге Кендалла и Стюарта [1966], стр. 370. Например для d = 4, N = 6 строка коэффициентов а (к) имеет вид

(НО, -1 9 8 , -135, 110, 390, 600, 677, ...),

где указаны лишь семь коэффициентов, поскольку остальные шесть получаются пз условия симметрии. Мы будем и далее использовать подобные обозначения в этом параграфе, когда коэффициенты филь­ тра обладают требуемой симметрией. Частотная характеристика иско­

мого1фильтра равна 2 а (&) cos кХ, что равно также выходу фильтра, когда на вход поступает cos кХ. Значение X = 0 является нулем

кратности (d + 2) функции {1 — 2 а (к) cos кХ} (если d четно). В этом легко убедиться, например, посредством дифференцирования. Поэтому

{ 1 - 2 а (к) cos кХ} = {1 - ІЩeikx} = (1 — eu )d+2 q (X),

где q — многочлен от exp iX, exp —iX. Отсюда вытекает, что если мы

похожа на характеристику оптимального фильтра. Это же верно, если мы последовательно применим простые средние (d = 0) разных длин. Обычно бывает удобно, чтобы результирующий фильтр имел нечетную длину, поэтому всегда берется четное число простых средних четной длины. С помощью подобных рассуждений был получен ряд полезных формул (см. Кендалл и Стюарт [1966]) частично

Выход каждого из этих фильтров локализован (во времени) так же, как центральный член из (нечетного) числа членов, входя­ щих в среднее. Легко найти частотные характеристики этих филь­ тров. Коэффициенты усиления равны соответственно

Мы завертим э т о т параграф примером, демонстрирующим точность, аппроксимации оптимального фильтра фильтром наименьших ква­ дратов, которая может иметь место при благоприятных обстоя­

Пример. Пусть X (t) — стационарный процесс с абсолютно непре­ рывным спектром и плотностью

из случаев, представляющих какой-либо интерес. Пусть h (exp ik) — частотная характеристика оптимального фильтра, понимаемая как среднеквадратичный предел последовательности hn частотных харак­ теристик фильтров вида (9.2), которые воспроизводят многочлены

1) По-видимому, не отдавая себе отчета в том, что его теория близка к зада­ чам регрессии и работам Гренандера и Розенблатта или Хебла.

21S Гл. I I I . Прогнозирование и фильтрация случайных процессов

Если минпмум этого выражения достигается при ß = 0, то должно выполняться (9.7). С другой стороны, пусть hi и h2 удовлетворяют (9.7); тогда к — hi — 1г2 удовлетворяет соотношению

•Заметим теперь, что существует последовательность кп частотных характеристик фильтров вида (9.2), для которой

lim [ \ к — кп р f (X) dX ~ 0.

71—^ СО J

— СО

ТО

оо

jknkf (X) dX = 0

—СО

ик = 0 почти всюду относительно f (X). Итак, решение h уравне­ ния (9.7), удовлетворяющее (9.6), где hn — частотные характеристи­ ки фильтров вида (9.2), единственно в том смысле, что любые два решения отличаются только на множестве, спектральная мера кото­ рого равна нулю (значит, в случае, когда / (X) имеет вид (9.5), на множестве нулевой меры Лебега).

Если / (А.) задается соотношением (9.5), то решение уравнения (9.7) имеет вид

- ^ { с о з П + р Г ^ } ,

где a2 = (1 + рТ1)-1. Мы предоставляем читателю убедиться в этом, производя подстановку в левую часть соотношения (9.7).

Если мы положим a (s) = (2Т)~Х, что соответствует регрессии по методу наименьших квадратов, то получим следующую дисперсию выхода:

т

- г