книги из ГПНТБ / Хеннан, Э. Многомерные временные ряды
.pdf200 Гл. I I I . Прогнозирование и фильтрация случайных процессов
Д о к а з а т е л ь с т в о . Как обычно, мы опускаем индекс р. Выражение (7.7) можно преобразовать к виду
j {k^hfx + 1ф-1Дс-1— h i f 4 I2) dl,
так что мы должны минимизировать
j I — /гср-1с|2сй. (7.10)
Функция А"-1Д/ж интегрируема, так как | /с-1Д | меньше единицы. В качестве функции h, для которой выражение (7.10) конечно (обо
значим ее hi), |
при р ^ 0 можно взять единицу, что |
ясно |
из (7.7). |
|
Если же |
р < |
0, то так поступить нельзя, и мы найдем |
нужную |
|
функцию |
h из |
уравнения |
|
|
|
|
1 — hi (z) = q (z) cp (z), |
|
(7.11) |
где q (z) должен быть многочленом от z, а функция z^hi (z) должна быть голоморфной в круге. Вновь из равенства (7.7) вытекает, что для такой функции hi выражение (7.7) конечно (ибо множитель I cp I2 пз I 1 — hi I2 сократится с функцией | ср |-2, полюсы которой могли бы привести к расходимости интеграла). Чтобы найти такую hi, мы должны решить уравнение
— JX— 1 |
оо |
оо |
5 |
ЧЙ32 |
ФЙ}— 1 = — hl (z) = — z-v- 2 к jZ1, |
о |
и |
о |
где qj, cpj — коэффициенты функций q (z), cp (z). Таким образом, нужно решить уравнение
I
S5W<P; = So> 1 = 0 , . . . , — pi— 1,
о
которое, очевидно, имеет единственное решение, поскольку ср0^=0 [ибо р (0) Ф 0]. Если ввести обозначение
b = {ср-1^с_1 — hity^c), ho — h — hi,
то мы должны минимизировать
j I b— /і0ср-1с |2 d%,
где b уже квадратично интегрируема. Заметим, что функция /г0 должна быть квадратично интегрируемой относительно | ср_1с |2 = = I ф I“2 к и голоморфной в круге. Применяя метод Винера — Хопфа, получаем
/г0 = [Ь]+срс-\
так что |
|
|
h=[b]+ ср с-1+ hi = е |
[ср- 1/ | С -1 — (1 — gcp)]+ срс“1 + 1 — дер = |
|
= 1 — е-і^ [е^^/дСрс-1]^. с_1ф— |
[е‘^дс]_ с-1ср, |
|
7. Фильтрация и выделение сигнала |
201 |
ибо единственным членом в zv-qcср с отрицательной степенью z являет ся zv-, р . < 0 (если р > 0, то член, содержащий [•]_, обращается в нуль); {h — 1} имеет вид яср, где а квадратично интегрируема относительно к. Таким образом, поскольку фильтр с частотной характеристикой ср переводит в нуль 3) многочлены вида р (?г),
разность р (п) — р (п) обращается в нуль; наше исходное утвержде ние доказано, и (7.8) дает нам требуемый оптимальный фильтр.
Если все нули ср, а именно xj1, лежат вне единичного круга, то (7.8) сводится к
h = е~№ [ф-1Дс-1]+ с-1ф,
что совпадает с (7.8)' и находится в согласии с полученными ранее
результатами, так как |
| ср |
|-2/| |
— это наша прежняя |
/8, а ф_1с |
теперь определяет каноническую |
факторизацию для / у. |
Соотноше |
||
ние (7.8)' вытекает из того, что теперь мы можем написать |
||||
егщ._. еіцХСр-ісс-іф = |
[е»в^ф-1с]+ с-1ф-f- [е,^хф-1с]_ с-1ф, |
|||
так как е’^ф ~хс разлагается |
в ряд Лорана, сходящийся |
на единич |
||
ной окружности. Таким |
образом, |
получаем |
|
|
(ф-3с— /д.фс-1)]+с_1ф-}- [ е ^ (ф_1 — q) с]_ с-1ф,
ибо ф_1с— / ѵсрс_1 = (ср_1ссф_1 — fx) фс_1 = ф_І/|С_1 и ехргріЯ(ф_1 — q) — = ^ф -1, так что второй член равен нулю. Однако в общем случае выражение (7.8)' может не иметь смысла, так как член в квадрат ных скобках может ие быть квадратично интегрируемым на еди ничной окружности.
Из (7.10) получаем дисперсию ошибки: |
|
|
j {k -W x + Mo} dk, |
Ь = [ е ^ (/.г-фсг1 — qc)]_. |
|
Если pc ^ 0, то второй член в [■)_ может быть опущен, |
а при р —»- оо |
|
мы получаем дисперсию ошибки, |
равную j {j\J J (Д -f |
I Ф I2 /.0 } dk. |
Эти рассуждения обобщаются, конечно, и на векторный случай; подробности читатель может найти в работе Хеинаиа [1967Ь].
Чтобы |
проиллюстрировать |
полученные |
результаты, вернемся |
|
к случаю, |
когда все нули ф, а |
именно x j1, |
просты и имеют вид |
|
exp ikj, |
I/ |
= 2л//12 .Пусть спектральные плотности процессов е,- (гг) |
||
и T]j (гг) |
равны о)/2я. Предположим также, |
что с (z) голоморфна |
||
и не имеет корней в некотором круге, содержащем внутри единич ный круг. С практической точки зрения эти ограничения на / х являются несущественными. Тогда выражение (7.8) для z, лежащих на единичной окружности, можно записать в виде (7.8)', так как
3) Чтобы это показать, следует рассмотреть (7.6), где ху- — нуль <р (z) крат ности pj.
202 Гл. I I I . Прогнозирование и фильтрация случайных процессов
z^cp"1 (z) с (z) разлагается в ряд Лораыа, сходящийся на окружности. Чтобы оценить функцию h (z) с (z) cp (z)-1, которая квадратично инте грируема на окружности, рассмотрим
[z*cp-l { 2 ' П ('Х- (1 - Х"2-1) І }с (2_1)_1]+
кфз
и возьмем граничное значение этой функции на единичной окруж ности. Таким образом, мы должны оценить
|
|
aj |
1 |
с |
С Ч П * 1- |
« *_1) |
|
|
|
|||||
|
|
_______ |
кфі__________________ |
1 < |
I £ I < I |
z Г |
||||||||
і |
|
2 л |
2 л і |
J |
|
(£-кД(*-1-£)*(£) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При p < 0 |
это выражение равно |
*7 “ |
II |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
°j |
а * |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
кфі______________ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 л |
|
( 1 — Kjz) с (y.j) |
|
|
|
||
так что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xje'h) |
11 [ [ |
(1 — Xj/xk){ 1 — хьеЛ) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
_______к^_і________________ |
цСО. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с (xj) с (еЛ) |
|
}• |
|
||
При р, > |
0 выражение еще более громоздко (хотя в принципе также |
|||||||||||||
несложно). |
При |
р = |
1 |
оно |
принимает вид |
|
|
|
||||||
/ |
|
|
(y.jexX) |
^ [ [ |
|
(i —xj!xh) (i —y.he,h) |
|
|
|
|||||
|
{ |
_______ ____________________ |
|
л 2 2 х |
||||||||||
2 |
2я |
|
||||||||||||
|
|
|
|
С (Xj) с (е, я ) |
|
с (0) |
С ( е а ) |
/ ' |
||||||
Основная |
трудность |
при |
использовании этой формулы |
связана |
||||||||||
с вычислением с (z) |
(в предположении, |
что Д, ср и }х можно считать |
||||||||||||
известными). Оно включает факторизацию многочлена высокой сте пени, и характер формул прогноза таков, что рекуррентные соот ношения, необходимые для вычислений, очень сложны. Для рас сматриваемого случая (на примере оценки сезонной компоненты) можно предложить следующую процедуру, дающую приближенное решение. Временной ряд фильтруется сначала таким образом, что все компоненты сигнала, за исключением той, которая отвечает частоте Я;, устраняются пли сильно подавляются; можно использо вать, например, предварительную фильтрацию
и |
|
у (п) ^ і 2 2 у (п~ k) cos ккг |
= -^Г ’ |
о |
|
с частотной характеристикой, равной единице при Я = ± Я,- и нулю при %h Ф ±Я ;-. Тогда каждую компоненту сигнала можно рассма тривать отдельно, как будто другие компоненты отсутствуют. Изуче
S. Фильтр Калмапа |
203 |
ние частотной характеристики фильтра для выделения сигнала, отвечающего частоте А7-, показывает, что если o ' j / f x ( K j ) мало (что будет нормальным), то частотная характеристика оптимального фильтра сильно сконцентрирована вокруг точек +АУ-; следовательно, благодаря тому, что остальные компоненты существенно ослаблены предварительной фильтрацией, мы можем считать спектральную плотность шума постоянной. Более подробное описание процедуры и численные примеры читатель может найти в работе Хеннана и Тер-
рела [1969].
8. ФИЛЬТР КАЛМАПА
Все рассматривавшиеся до сих пор процедуры фильтрации для выделения сигнала из шума были основаны на методах Фурье и в соответствии с этим предполагали стационарность или нечто, весьма к ней близкое. Подобные методы приводят к описанию филь тра в терминах частотной характеристики, и для того чтобы получить импульсную переходную функцию, необходим следующий шаг — разложение Фурье. Если фильтрация выполняется на аналоговом устройстве, то описание в терминах частотной характеристики является оправданным, так как можно попытаться синтезировать фильтр с заданной характеристикой физическими средствами. Однако в последнее время гораздо большее значение приобрели цифровые машины, а для них частотная характеристика, конечно, уже не является удобным средством описания фильтра. Еще два других фактора обусловливают модификацию модели. Во-первых, понятно, что на практике спектры имеют не столь общий характер, как это допускалось до сих пор. В конце концов они лпбо даются исходной физической теорией (кроме констант, подлежащих оценке), либо получаются в результате оценки по прошлым данным. В любом случае они будут по меньшей мере рациональными. Второй фактор связан с возможностью нестационариости. Одной из причин нестационарности может быть тот факт, что для приближения любой системы к стационарному состоянию требуется определенное время. Если же сигнал должен выделяться с самого начала функциониро вания системы, то стационарная модель будет неподходящей. К тому же система, конечно, может иметь и более существенную нестационарпость. Подобные соображения демонстрируют важность резуль татов Калмапа [1960], [1963] и Калмана и Бьюси [1961]. Мы огра ничимся изложением только векторного случая с дискретным вре менем, хотя результаты обобщаются и на непрерывное время. Модель задается уравнениями
X (п) = Ф (п — 1) X (?г — 1)+ е (п — 1),
у (п) = II (п) X (п) + т) (п).
Здесь X (п) и е (п) — векторы с р компонентами, а у (п) и т] (п) имеют q компонент. Случайные векторы е (/г), т) (п) удовлетворяют
204 Гл. I I I . Прогнозирование и фильтрация случайных процессов
соотношениям
Е{е (п) s' (т)} = бmQn (п),
Е{р (п) р' (т)} = бmR (п),
Е(б (ß) 11' (то)} = ÖmS (fl).
Таким образом, я (?г) соответствует нашему прежнему s (/г), а р (?г) — прежнему ,г(?г). Для упрощения ссылок мы используем обозначе ния Калмана. В работе Калмана е (?г — 1) записано как Г (/г, п — 1) X
X и (п — 1), где и (п) |
обладает темп же свойствами, что наш s (п). |
Это объясняется тем, |
что Калман рассматривает такую модель |
в связи с задачами управления, где и (и) является управляющим процессом1), и дополнительная общность, достигаемая введением матрицы Г, является полезной. Мы в этой книге пе рассматриваем теорию управления, а в задаче выделения сигнала можем, не ограни чивая общности, включить Г в Q и S. Вектор х — это передаваемый сигнал, который должен быть измерен, однако наблюдаем мы не х, а г/, содержащий шум р. Предположим, что Ф, Н, Q, R и S изве стны. Рассматриваемая модель, как видно из дальнейшего, является
более |
общей, чем |
может показаться |
на первый |
взгляд. |
Пусть |
|||
|
хо(«) = |
Г |
Фл (п) х0(п — к) + |
/ (п) -I- е0 (п— 1), |
|
|||
|
3 |
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
Уо(к) = 2 Н0, к (п) х0 (п — к) + и (п), |
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
и (п) = |
t |
Dh («) U(п — к) -f р (я), |
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
где |
/ (п) — известная |
детерминированная |
последовательность, |
|||||
а е0 (п) имеет такие |
же свойства, как е (п). Функция / (п) включена |
|||||||
для того, чтобы учесть систематические влияния типа тренда. |
Пред |
|||||||
положим вновь, что |
все |
матрицы, включая |
матрицы дпсперсий |
|||||
и ковариаций, известны. (Это не всегда выполняется, |
и мы обсудим |
|||||||
этот момент позднее в настоящем параграфе.) Заметим, что х0 (п),
очевидно, имеет вид х , (?г) -j-g (п), где g (п) |
удовлетворяет соотно |
шению |
|
Г |
|
8 (п) = 2 Фй И 8 (п — Щ+ / (») |
|
1 |
|
и некоторым г начальным условиям, а х t (п) |
удовлетворяет такому |
же уравнению, но с г0 {п — 1) вместо /(«). |
Таким образом, мы |
х) Более общим образом, и (п) может быть комбинацией управляющей пере
менной, которая является детерминированной функцией времени, и неконтро лируемой случайной функции времени.
8. Фильтр Калмана |
205 |
можем построить
s
Уі (га) — Уо (п) — 2 |
I-h. h(n)g(n — k) |
i |
|
и ограничиться выделением Xi (га). |
Итак, рассмотрим уравнения |
Г
Х і (п ) = 2 Ф а И X i ( п — к) + е 0 (« — 1 ), |
||
|
1 |
|
|
S |
|
J / 1 О ) = |
2 1 # 0 . А ( « ) Ж і ( « — |
Ä ) + U ( п ) , |
|
і |
|
и (га) = |
2 -Oft(га) га (/г— &) |
г) (га). |
|
1 |
|
Мы можем тогда образовать новую систему уравнений
Г
Х\ (га) = 2 Фа'(га) х\ (га — /с) + е0 (га — 1),
1
І
У(га) = Уі (га)— 2 Dk (га) Уі (п — к) =
1
5-f-i
=2 Н к (п)хі (п — к)+ 11 (/г),
1
где Hh (га) легко получаются из Dh(п) и Я 0і ь (га). Таким образом, мы пришли к соотношениям
Г
хі (га) = 2 фА(га) хі (га — к) + е0 (га — 1),
І
s + i
У (га) = 2 H k (га) ай (га — к) + г) (га).
1
Полагая теперь гаг = тах (г, s -{-£), определим новый «вектор состояний» (т. е. вектор, описывающий состояние рассматриваемой системы):
а: (га)' = (д^ (га)' 1 Хі (га — 1)' • . . . 1 Хі ( п -гаг)')
Введем обозначения
|
Фі (га) |
Ф2 (га) |
... Фт-і (га) Фт (га) |
||
Ф (га—1) = |
I |
0 |
... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
... |
I |
0 |
е(га)' = (e0(ra)' |
0 ... |
0), |
|
|
|
Н (га) = \Ні (га) : |
Я 2(га) |
... |
,: Я т (га)], |
|
|
206 Гл. I I I . Прогнозирование и фильтрация случайных процессов
где некоторые Фл (?г), IIk (и) могут равняться нулю (например, Фт ія), если r = s - f - ^ — 1). Тогда
X (п) = Ф (/г — 1) X (я — 1)-(- е (я — 1),
У(г) = II (п) X (я) Д-р (я),
имы вернулись к исходной модели Калмана (8.1), хотя и ценой (возможно, значительного) увеличения размерности х (я). Теперь матрицы Q (я) и iS (п) определенно вырождении, однако это не сказывается на применимости метода.
Два основных фактора обусловливают полезность этой модели. Во-первых,— то, что она допускает зависимость матриц Ф, II, Q, R
и S от времени. Разумеется, они должны быть известны a priori. В некоторых приложениях это не является большим затруднением,
особенно в отношении Ф и II. |
Например, при оценке параметров |
|
траекторий Д Ф определяется |
динамикой летательного |
аппарата, |
а II — характеристиками следящей системы. Очевидно, |
что неко |
|
торые из участвующих величии потребуют оценки. Например, / (я) может содержать некоторые неизвестные, a Q (я), S (я) также могут быть неизвестны. Как указал мне д-р Дункан, к этим матрицам
вопределенной мере применим аналогичный подход, так что для них может быть построена модель, подобная рассмотренной выше,
вкоторой они играют роль х (я), а у (я) есть некоторая оценка (например) матрицы Q (я) (записанной в виде вектора), которая полу
чается по прошлым данным. |
Мы, однако, не будем вникать здесь |
в эти вопросы и вернемся |
к модели (8.1). |
Задача теперь состоит в том, чтобы получить наилучшую линей ную оценку для X (я) по наблюдениям у (0), у (1), . . ., г/(яфр).
Обозначим эту оценку х(в> (?г). Рассмотрим только случай ц<і0, так как другие случаи более сложны (хотя трудности и не прин ципиальны). Удобно положить теперь р, = —т и рассматривать
проекцию х(п-\-т) на |
подпространство, порождаемое |
величинами |
||||
у (0), у (1), |
. . ., |
у {п). |
Удобно |
также |
принять |
обозначение |
х(п~\~т I я) |
вместо |
х(~т (?г-f- яг), |
так как |
из-за нестационарное™ |
||
мы не можем с такой легкостью опускать в обозначениях индекс яг.
Введем векторное пространство |
порождаемое компонентами век |
|
торов т) (/), |
г (к), к^Сп — |
1, и случайного вектора х (0), |
с которого начинается последовательность х (я). Пусть теперь <#п —
комплексное |
векторное пространство, порождаемое компонентами |
У (0), у (1), . |
. ., у (я). Ииогда мы будем, несколько неточно, писать |
У (/) € |
г>понимая под этим, что все компоненты вектора у (/) |
лежат в пространстве ы!(п. Аналогично, мы пишем е (?г) _1 <Мп~і, подразумевая, что это выполняется для каждой компоненты. Имеем
о/Кп с= 3£п-
х) Своими знаниями в этой области я во многом обязан беседам с Д. Б. Дун каном.
|
|
8. Фильтр Калмаиа |
207 |
|
|
Т е о р е м а |
12. Пустъ х (п -\-m\n), |
т > 1, — оценка |
величины |
а:{п-^т), полученная проектированием х(п-{-т) на М п. Тогда |
||||
X (п + пі I п) = Ф (п т — 1) X (тг -)-т — 1 1?г), т > 1, |
|
|||
а; |
1 | гг) = |
гТ (/г) а; (тг | п — 1) + К (п) у (п), |
(8.2) |
|
|
Т (п) = Ф ( п ) - К ( п ) Н (п), |
|
(8.3) |
|
|
К (тг) = {Ф (гг) 2 (п) II (гг)' + S (/г)} {Н (тг) 2 (тг) Я (тг)' + Я (тг)}-\ |
|||
а 2 (гг) получается из рекуррентного уравнения |
|
|||
|
2 (?г + 1) = Ф (7г) 2 (тг) Ф И ' + Q (п) - |
|
|
|
|
|
- К (тг) {II (тг) 2 (тг) II (тг)' + |
Я (тг)} К (тг)*. |
(8.4) |
Прежде чем перейти к доказательству, обсудим этот результат. Первое соотношение показывает, что для нахождения х (тг -j- т | тг) мы должны знать лишь х (тг 1 1тг). Чтобы найти последнее, нужно
знать лишь X (тг | тг — 1) и Т (тг), а Чг (тг) известна, если известна К(п), т. е. 2(тг). Наконец, из (8.4) видно, что 2 (тг) известна, если
известны |
ЛГ (тг — 1) и |
2 (тг — 1). Таким |
образом, рекуррентная |
про |
||||||
цедура |
полностью описана. |
следующим |
образом. |
Разложим |
а/IIп |
|||||
|
Теорема |
доказывается |
||||||||
в сумму |
о/Нп — ЫІІп- і@ Т п , |
где 5F,,, очевидно, порождается компо |
||||||||
нентами |
вектора |
z (тг) = у (тг) — II (тг) л? (тг | тг — |
1), |
поскольку |
||||||
т) (тг) |_ |
в#п-i |
и проек |
ия у (тг) на e//n-i равна |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
II (тг) X (тг I тг — 1). |
|
|
|
||
Тогда |
z (тг) = т) (тг) -\-Н(гі) {х(п) — х (тг | п — 1)}. Так |
как |
е(тг) J_ a/hп |
|||||||
то, |
рассматривая разложение 0#„ = вІм |
® f „ , имеем |
|
|
||||||
|
|
|
|
X (тг -f- 1 1тг) = Ф (тг) я (тг | тг — 1) + и (тг), |
|
|
||||
где |
и (тг) — проекция |
л: (тг |
1) на ^ п. Она равна |
|
|
|
||||
и (;г) = Е {х (тг + 1) z (тг)*} [Е (z (тг) z (тг)*}]-1 z (тг),
если предположить пока, что обратная матрица существует. Таким образом, полагая
2 (тг) = Е {{х (тг) — х (тг | тг — 1)) (я (тг) — ж (гг | тг — 1))'},
имеем
гг(тг) = (Ф (тг) 2 (тг) II (тг)' + 5 (тг)}{II (тг) 2 (тг) Я (тг)' + Д (гг)}”1 %(тг) =
—K(n)z (тг).
208 Гл. I l l . Прогнозирование и фильтрация случайных процессов
Теперь получаем
|
X (п + 1 1гі) = Ф (гг) х ( гг | гг — 1) -\-К (гг) z (гг) = |
|
|
|
= {Ф (гг) — К (гг) Н (гг)}х (гг | гг — 1) + |
|
|
+ К (гг) {z (гг) + Я (гг) х (гг| гг — 1)}, |
что, согласно |
(8.3) и определению z (гг), равно гЕ (гг) + Я (гг) у (гг), |
|
откуда |
следует (8.2). |
|
Так |
как |
х (гг+ггг) = Ф (гг — 1) х (гг+ггг — 1) + е (гг+ ггг — 1) |
и е (гг+ ггг — 1) J_ п, ггг > 1, то имеет место первое соотношение теоремы. Таким образом, остается доказать только равенство (8.4).
Чтобы |
получить уравнение для |
2 (гг), положим |
|
|
|||||||
X (гг+ 1 ) — X (гг+ 1 | гг) = {я (гг+ 1) — х (гг+ 1 1гг — 1)}— |
|
||||||||||
|
|
|
— {сс (гг+ |
1 I гг) — х (гг+ 1 | гг — 1)}, |
(8.5) |
||||||
где второе |
слагаемое |
равно |
проекции |
первого |
на |
М п. |
Представим |
||||
его как сумму проекции на |
о/Нп-\ |
и |
проекции |
на |
‘Т п. |
Тогда |
|
||||
|
{х (гг + 1 I гг) — х (гг+ |
1 | гг — 1)} = |
и (гг), |
|
|
||||||
ибо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{х (гг + 1) — X (гг+ |
1 1гг — 1)} |_ |
|
|
|
|
|||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X(гг+ 1 1гг — 1) £ а# п-і ± Тп, |
|
|
|
||||||
а гг (гг) есть проекция |
а;(гг + |
1) на |
Т п• Далее, |
|
|
|
|
||||
X (гг+ |
1) — X (гг+ 1 | гг — 1) = Ф |
(гг) {х (гг) —а; (гг | гг — 1)} + е (гг), |
|||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X (гг+ 1) — X (гг+ 1 | гг) = Ф (гг) {х (гг) — х (гг| гг — 1)} + е (гг) — и (гг), |
|||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (гг+ 1) = Ф (гг) 2 (гг) Ф (гг)' +<? (гг) + Е (гг (гг) и (гг)') — |
|
||||||||||
|
— Е{(а;(гг + 1) — х (гг+ |
1 | гг — 1)) іг(гг)'} — |
|
|
|||||||
однако |
- E{u (гг) (х (гг+ 1 ) — х (гг+ 1 1г г - 1))'}; |
|
(8.6) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е (гг (гг) и (гг)') = |
К (гг) Е (z (гг) z (гг)') К (гг)' = |
|
|
|
|||||||
|
|
= |
К (гг) {// (гг) 2 (гг) Я (гг)' + R (гг)}Я (гг)', |
(8.7) |
|||||||
так как z (гг) = г| (гг) + |
Я (гг) {х (гг) — х (гг (гг — 1)}. Кроме того, |
|
|||||||||
Е{(а; (гі + 1) — х (гг+ 1 1гг— 1)) гг (гг)'} = |
|
|
|
|
|||||||
|
= Е{(х (гг+ |
1) — X (гг+ 1 1гг — 1)) z (гг)'} К (гг') = |
|
|
|||||||
|
= Е {х (гг+ |
1) z (гг)'} К (гг'), |
|
|
|
|
|
|
|||