книги из ГПНТБ / Хеннан, Э. Многомерные временные ряды

минимизирующую Е {(s (п) — s (п))2}. Так же как в предыдущем параграфе, имеем

инужно найти h. Мы можем рассматривать лишь тот случай, когда

у(п) чисто иедетерминирован, ибо детерминированная компонента в принципе может быть предсказана безошибочно, и для нее проблема выделения сигнала сводится к более простому случаю ja = оо, который мы рассмотрим позднее.

и g (z) голоморфна и не имеет нулей в единичном круге. Среднеквадра­ тичная ошибка равна

Если j.1 = оо, то независимо от того, является у (п) чисто недетерми­ нированным или нет,

а среднеквадратичная ошибка равна

Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы опускаем индекс ja, так как он в течение доказательства остается неизменным. Среднеквадратичная ошибка равна

= j {f, + \h\2f„-2Bshfa}dX.

192 Гл. I I I . Прогнозирование и фильтрация случайных процессов

В силу теорем 5 и 3 § 3, факторизация (7.2) действительно суще­ ствует. Используя ее в последнем выражении и выполняя преобразо­ вания, получаем

Так как f j f y < 1, то функция f\lfy интегрируема. Поэтому f j g квадратично пнтегрпруема. Заметим теперь, что ехр г[_іЛ./г. является среднеквадратичным пределом (относительно /,, (7,)) выражений

N

2 аХ. Л

О

так как мы можем использовать только наблюдения до момента п +U . Поскольку g также является среднеквадратичным пределом подобных выражений, для минимизации (7.3) мы должны минимизи­ ровать х)

п лучшее, что мы можем выорать, это

Тогда

Кроме того, так же как при доказательстве теоремы б,

где е (?г) — обновляющая последовательность для чисто недетерми­ нированного процесса у (п). Так как правая часть соотношения (7.4) может быть записана в форме

то (7.1) определяет фильтр требуемого вида

2 ß(7) е(/г + р — у),

о

х) Используемый здесь (и в теореме 1) метод реліешш является разновидно­ стью метода Винера — Хопфа.

который оптимален, поскольку минимизирует среднеквадратичную ошибку. Формула для среднеквадратичной ошибки немедленно полу­ чается из (7.3), ибо

которое, очевидно, минимально при

h ^ ^ d F s (X)/dFy{X).

Эта функция, разумеется, квадратично интегрируема относительно Fy. Среднеквадратичная ошибка равна

J (■1 - F- <Л > “ I т = J w i F* <*>•

и доказательство завершено.

Величина R — dFjdFx, в тех случаях когда она определена, называется отношением сигнал-шум. Грубо говоря, оптимальный фильтр при р = оо может быть представлен в виде R!{i-\-R), так что оптимальный фильтр имеет простую интерпретацию в терминах этого отношения.

Даже если мы мощем считать /5, / ѵ известными и можем построить каноническую факторизацию для f y, приведение (7.3) к форме, допускающей численный расчет выделения сигнала (например, раз­ ложение в ряд Фурье, сходящийся в среднеквадратичном, если такое разложение существует, как будет в случае / у ^ а > 0), может оказаться очень сложным. В силу подобных причин, полученные формулы, за исключением простых случаев, используются редко. Как уже отмечалось выше, эти рассмотрения полезны отчасти тем, что дают привлекательное своей законченностью математическое решение проблемы, а в основном — тем, что оптимальное решение доставляет стандарт, с которым можно сравнивать менее системати­ ческие (но практически более полезные) процедуры. Кроме того, изучение этого решения приводит к более ясному пониманию про­

/.-с = Ух (0)/2jt.

13 э. Хеннан

194 Гл. 111. Прогнозирование и фильтрация случайных процессов

Тогда

1 ТР*(0){1 + ра-2рсо9М + о!

и уменьшается при его возрастании, при данном р зависит только от 0. При 0 -> 0 шум становится преобладающим, за исключением очень узкого диапазона вблизи нулевой частоты, где мощность сигнала велика. Таким образом, ß берется настолько большой, насколько это возможно, и ширина полосы становится узкой. При

Тогда (после простых преобразований, которые мы оставляем в каче­ стве упражнения)

мы снова предположим, что у (п) имеет абсолютно непрерывный спектр и является чисто недетерминированным, однако при р = оо

ss

J)Понятие «ширины полосы» определяется нестрого (см. гл. V). Здесь имеется в виду ширина диапазона, в котором коэффициент усиления фильтра аметно отличен от нуля.

13*

Ц'{еік) = [[{і — кіе^), 3

Р (») = — 2 { [ (! — К ;^)”1 Zj {dk) + Ъ3(0)} kj.

Оба слагаемых в правой части (7.5) имеют бесконечную диспер­ сию и не могут быть разделены подобным образом. Мы увидим, однако, что эти слагаемые будут фигурировать только в отфильтро­ ванной форме, когда их дисперсии конечны. Эта модель, очевидно, допускает обобщение. Пусть, в общем случае, z5 — процесс с орто­ гональными приращениями, такой, что Е {| zg |2} = f^dk. Будем считать, что ф (z) — многочлен от л с корнями, лежащими вне еди­ ничного круга или на его границе *). Выражение для р (п) будет иметь вид

где Pi — кратность корня kj1 функции cp (s). Введем обозначение

*М = Н W + Ф (еіХ) Ф (е*) /* М

ипредположим, что log к {к) интегрируем. Положим

Здесь h — частотная характеристика фильтра, которую еще пред­ стоит определить. Функция z^h (z) должна быть голоморфной в круге;

р {п) есть выход фильтра, когда па вход поступает р {п). Если мы

теперь забудем про член р {п) — р {п) и найдем h из условия мини­ мальности среднего квадрата остающегося выражения, то, как мы

В Случай, когда корни лежат внутри круга, также требует рассмотрения, однако мы не можем здесь на этом останавливаться.