книги из ГПНТБ / Хеннан, Э. Многомерные временные ряды

180 Гл. I I I . Прогнозирование и фильтрация случайных процессов

При изложении частотного анализа теории прогнозирования мы следуем сначала Хелсону и Лауденслагеру [1958]. Величина, которая должна быть минимизирована в случае одношагового прогноза, равна

Я

- Я

ибо это есть сумма квадратов ошибок прогноза компонент х (0) по величинам Xj (т), 7 = 1, . . ., р\ пъ = —1, . . ., —N. Миними­

= ехр Н (это выражение определяется посредством экспоненциаль­

считать равными нулю. Если А (0), как прежде, фиксирована, то мы можем взять нижнюю грань по множеству _40 матричнозначных функций, голоморфных внутри единичного круга, непрерывных на его границе и имеющих нулевое среднее значение. Тогда почти в точ­

тде h и С, конечно, зависят от А (0). Поэтому далее мы будем рас­ сматривать абсолютно непрерывный случай. Докажем соотношение

где ф пробегает эрмитовы полиномиальные матрицы, такие, что

J Тг і)5 dX —0. Имеем

ехр [ і ^ Г j Т г ^l0dKg]2=я^ехр [ і Ь - I l0g det

J {бе1(2я/)}1/рй Ж

J Tr2"/^.

где было использовано соотношение Тг log В = log det В и нера­ венство между геометрическим и гармоническим средними (один раз для сумм с собственными значениями матрицы 2л/ и второй раз для интегралов). Полагая х) W = (ехр 1/2ty) 2л/ (ехр Ѵгф), получаем

ехр [■ 4 ^ Т\ гIogW i d K ] < ’ é J rТг w d K

а поскольку

Тг log W = log (det (exp op) det (2л/)},

находим (используя, что Тгф имеет нулевое среднее)

Теперь, как и прежде, можно доказать, что нижняя грань правой части не изменится, если ф будет пробегать все матрицы с интегри­ руемым следом (эрмитовы п такие, что Тгор имеет нулевое среднее). В самом деле, если мы определим положительную часть эрмитовой матрицы как матрицу, собственные значения которой равны поло­ жительным частям собственных значений исходной матрицы, а соб­ ственные векторы — те же самые, то доказательство леммы 1 § 3 почти не изменится. Аналогичный прием позволяет затем показать, что в (5.6) имеет место равенство, так как если Тг log 2л/ интегри­ руем 2*), то функция

фо = (2лр)-1 ( j Тг log 2л/ dXj I — log 2л/

является допустимой, и для нее в соотношении (5.7) достигается равенство.

Теперь нам придется рассуждать иначе, нежели при доказатель­ стве аналогичной теоремы в § 3, так как из А = ехр В не следует,

руемы, и поскольку

СО

det В = det -В (0) + S с in) еІ71?\ 1

то из неравенства для среднего геометрического и среднего арифме­ тического получаем

j log-1 det В I2 dX•< log | det J5(0) |2.

По построению В в лемме имеем ехр ф = D*D, где D~x — A-\-Ah\ аналогично, для D имеем

j log I det D |2 dX log | det A |2.

Так как В (0) A = /, то, складывая эти неравенства, получаем, что они должны обращаться в равенства. По предположению,

0 = —^ J log (det e’t) dX= log | det A |2,

и определитель А положителен, ибо A — эрмитова положительная матрица; следовательно, этот определитель, как и определитель матрицы В (0), должен равняться единице. Таким образом, а іы показали, что если ф такая, как в соотношении (5.6), то

Так как нижняя грань выражений в левой части (5.8) равна, как

мы доказали, ехр (2лр)-1 j Tr (log 2л/) dX, то, взяв нижнюю грань

правой части по, очевидно, более широкому классу, мы получим

Так же как в одномерном случае, противоположное неравенство можно получить из соотношения (5.8), и теорема 3" доказана.

Эту теорему можно сформулировать в следующей эквивалентной форме:

Т е о р е м а 3".

Я

det (G) = ехр j log (det 2я/ (X)}dX.

- Я

Доказательство мы оставляем читателю в качестве упражнения. Если det G > 0, то мы говорим, что х (п) — процесс максималъ-

186 Гл. I I I . Прогнозирование и фильтрация случайных процессов

II а: (гг) — х (гг)]|2. Так же как в § 2, введем частотные характери­ стики

где штрих означает отсутствие слагаемого при j = 0. Мы ищем функцию 1) h, такую, что

Л

минимален. Тогда

Л

X (гг) = f е_і"Ѵг (eil) z (dX).

- я

Положим

2 = E {(x (гг)— x (гг)) (x (гг)— x (гг))

Очевидно, мы можем, не ограничивая общности, считать, что п = 0. Если F (X) не является абсолютно непрерывной, то, как мы знаем из § 5, сингулярная часть F отвечает безошибочно предсказуемому процессу, который, следовательно, может быть и безошибочно интер­ полирован. Это приводит нас к рассмотрению абсолютно непрерыв­ ного случая. Предположим, что не существует ненулевого вектора а, такого, что а ’х (гг) = 0 почти наверное. Очевидно, что это пред­ положение не ограничивает общности, ибо в противном случае можно было бы понизить размерность х (гг).

Т е о р е м а 8. Пустъ х (гг) удовлетворяет сформулированному выше условию и имеет абсолютно непрерывный спектр, и пустъ /(А.)-1 — обобщенная обратная к матрице f (X). Необходимым и достаточным условием невырожденности 2 является интегрируе­ мость / (Я,)-1. Если это условие выполнено, то частотная характери­ стика оптимального интерполирующего фильтра равна

а) Мы по-прежнему будем часто опускать аргумент функции /г.

Рассмотрим теперь задачу интерполирования значения х (t) одномерного процесса с непрерывным временем по наблюдениям X (гг), п — О, ± 1, . . . . Вновь, не ограничивая общности, можно рассматривать только абсолютно непрерывный случай. Таким обра­ зом, мы должны минимизировать величину

оо

j I e~ia ~ h i (X) \2f (X) dX, 0 < i < 1,

где ht принадлежит части пространства L z(f dX), порождаемой функ­ циями ехр іпХ, п = 0, ±1) ••• •

Следовательно, мы должны иметь

I {е ~ г1Х— k t } e ~ inXf d X = 0, тг = 0, ± 1 , . . . ,

и, поскольку ht (X) = ht (X+ 2ктс),

Лоо

Если эта ошибка равна нулю, то ht (X) exp itX должна равняться единице и. в. относительно / dX. Но если X возрастает на 2/я, то h t (X) ехр ИХ просто домножается на ехр (г'2/я£), так что / должна равняться нулю вне интервала [—я, я]. Обратно, если это выпол­ няется, то ошибка интерполяции, очевидно, равна нулю, так что это является довольно очевидным необходимым и достаточным усло­ вием того, что любая величина х (t) может быть точно восстановлена только по наблюдениям х (гг). Если наблюдения производятся в точ­ ках Ап, А > 0, то, переходя к процессу у (t) = х (At) со спектраль­ ной плотностью f y (X) = А~г/ х (Х/А), мы получаем так называемую

теорему отсчетов:

Те о р е м а 9. Пустъ х (t) имеет абсолютно непрерывный спектр

испектральную плотность /. Для того чтобы любое значение х (t)