книги из ГПНТБ / Хеннан, Э. Многомерные временные ряды

170 Гл. I I I . Прогнозирование и фильтрация случайных процессов

сходится равномерно при | х | < 1 — б, б > 0. Имеем

N N со

Тогда, согласно теореме Витали (см. Титчмарш, Теория функций, ГИТТЛ, М.— Л., 1951, стр. 194), последовательность сходится равномерно в круге | z | < (2М)-1 н, следовательно, / (а) является аналитической. Заметим, что коэффициенты последовательности ана­ литических функций, которая сходится к аналитической функции, сходятся к коэффициентам этой функции. Приравнивая коэффи­ циенты при одинаковых степенях а, получаем следующую теорему:

172 Гл. I I I . Прогнозирование и фильтрация случайных процессов

нения X (п) от его проекции на это подпространство — не превосхо­ дит о21 = а (О)2 о2. Утверждение в общем случае получается совер­ шенно аналогично. Если представить себе, что эти два фильтра имеют один и тот же вход, то оптимальный фильтр приписывает максимально возможный вес самым поздним входным сигналам (при фиксированном коэффициенте усиления). Произвольный односторон­ ний фильтр с заданным коэффициентом усиления получается путем последовательного соединения оптимального фильтра и фильтров, отвечающих внутренним множителям, которые, как мы видели, при­ водят к задержке выходных сигналов.

4 . О Б Щ А Я Т Е О Р И Я Д Л Я С Т А Ц И О Н А Р Н Ы Х О Д Н О М Е Р Н Ы Х П РО Ц ЕССО В С Н Е П Р Е Р Ы В Н Ы М В Р Е М Е Н Е М 1)

Мы не будем проводить здесь подробное рассмотрение, но укажем, каким образом результаты § 3 приводят к соответствующим резуль­ татам для непрерывного времени. Мы следуем Дубу [1953] и Гоф­ ману [1962]. Другой подход излагается в работе Хелсоиа [1964].

Основным инструментом служит отображение замкнутого единич­ ного круга на левую полуплоскость (вместе с миимой осью), задавае­ мое функцией

Это отображение переводит границу (z — exp іХ) в границу (ш = іх), причем X = tg 1/2Х, откуда

Основной результат предыдущего параграфа утверждает, что функция / (X) является квадратом модуля голоморфной в единичном круге функции тогда и только тогда, когда ее логарифм интегрируем.

Доказательство основывается’ на соответствии между пространства­ ми Н] ІІ = 1, 2) для единичного круга и для левой полуплоскости 2);

4. Общая теория для одномерных процессов с непрерывным временем 173

в случае полуплоскости оии состоят из функций, голоморфных в полуплоскости и интегрируемых или соответственно квадратично интегрируемых на ее границе. Мы используем одни и те же символы Н j в случае круга и полуплоскости, так как аргументы (w или л и т. и.) позволят определить, о каком из пространств идет речь. Легко видеть, что g (w) £ Hj тогда и только тогда, когда *)

а д = (і+2г2/,я (^|)еяц

Если / (т) удовлетворяет условиям теоремы Пэли — Вииера, то

морфна в полуплоскости и квадратично интегрируема на границе, ибо / (т) интегрируема).

Теперь положим

оо

1' s ii^ e - ^ d x .

—оо

Для доказательства достаточности остается показать, что a (s) = О при s ■< 0. Можно предположить, что g (w) £ H t f| H 2, так как в противном случае вместо g можно рассмотреть функции

[1 — {w/(1 + w)}n] g (w),

которые принадлежат Hi f) П 2 при n > 0 и сходятся в среднеквадра­

----ОО

4. Общая теория для одномерных процессов с непрерывным временем 175

му принадлежит Л 0). Итак, образ jfT0содержится в М й. Обратно, функция

мирована ограниченно, а значит, н в среднеквадратичном (по мере F (dx)) образами функций из следовательно, образ j(Fо содержит­ ся в ojHо. Итак, эти два подпространства отображаются одно в другое при соответствии (4.2). Поскольку процесс х (t) чисто детерминирован

доказательство, так как оно является очевидным видоизменением

4. Общая теория для одномерных процессов с непрерывным временем. 177

j а1{и) du.

О

Доказательство того, что сингулярная часть F не дает вклада в ошиб­

ку прогноза, почти не отличается от соответствующего доказатель­ ства для дискретного времени, данного в § 3, и мы его опускаем. Теперь мы докажем теорему 2', после чего сформулируем теорему 4' и закончим параграф теоремой 6'.

Т е о р е м а 2'.

Е(I (dsf) = ds;

(ii)E (ц (s) V (t)) == 0;

(iii)V (t) — чисто детерминированный, и (t) — чисто недетерми­ нированный процессы.

Разложим 3£ в сумму &//_«> ® о/ll, где ыіі — ортогональное допол­ нение е'//_оо в afë. Обозначим через u(t) проекцию х (t) на о/М, а через

на oft, а значит, и (t) и ѵ (t) стационарны. Кроме того, величины и (і) порождают ale, а u(t) порождают сЖ_«>, и (іі), очевидно, выполняется.

гой стороны, обозначая бесконечно далекое прошлое процесса и (t) через ЧІ-оо, имеем 4L-оо с: о/И- « и 4L-оо с: <Л, так что ЧІ-оо есть нулевое подпространство и и (t) — чисто недетерминированный про­ цесс. Поэтому и (t) имеет абсолютно непрерывный спектр и спек­ тральную плотность, удовлетворяющую соотношению (4.1); пред­ ставление (4.5) вытекает из теоремы 15 приложения к гл. II.

12 э. Хеннан

178 Гл. I I I . Прогнозирование и фильтрация случайных процессов

Т е о р е м а 4'. Пустъ х (t) не является чисто детерминирован­ ным, и пустъ F = Flli + jFt2>+ F'3>— разложение Лебега спек­ тральной функции F\ тогда производная абсолютно непрерывной ком­ поненты F'u равна спектральной плотности процесса u(t) из теоре­ мы 1 a F(2>(X) + F(3' (X) есть спектральная функция процесса v(t).

Т е о р е м а 6'. Пустъ х (і) — чисто недетерминированный про­ цесс и Мг>(іх) — частотная характеристика фильтра, дающего наилучший прогноз величины х (s -f- it) по наблюдениям до момента s. Тогда

/i(t> (іх)

[е xUQ(ix}]+

Q(it) ’

где Q (w) определяется формулой (4.4). Имеем также

Пример. Пусть / (т) = (1/2л) | р (іх) |~2, где р (w) — (веществен­ ный) многочлен, не имеющий корней в левой полуплоскости. Тогда, очевидно, Q (w) = р (и;)-1. Имеем

ОО

=і т w e' UxdT==

—ОО

hj

впредположении, что корни ßj многочлена р (w) в правой полупло­

скости простые. Таким образом,

i НФз

и, значит, наилучший прогноз х (s -f- t) по наблюдениям до момента s дается выражением

- [ 2 « - v n h ^ r ( £ - h ) } ] * < * > -

іЬФз

5.ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПРОЦЕССОВ

СДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ 1)

Многомерный случай общей теории прогнозирования значительно более сложен, чем одномерный, в силу того обстоятельства, что / (%) может быть вырожденной, но ненулевой матрицей. Тем не менее, благодаря работам Винера и Мазани [1957], [1958], Хелсона и Лауденслагера [1958] и Розанова [1963], существенная часть теории была распространена иа векторный случай. Мы ограничимся дискрет­ ным временем. Относительно случая непрерывного времени см. Робертсон [1968].

Е [{ж (7г) — А (/) s (п — /)} е (тг — ;)'] = 0.

Таким образом, мы можем построить процесс

Последнее соотношение вытекает из неравенства Бесселя. Полагая V (п) — X (п) — и (тг), имеем следующую теорему:

Т е о р е м а 2" (разложение Вольда). Если х (?г) — стационар­ ный векторный процесс с р компонентами, то х (;г) — и {п) -1- г; (тг), где и (гг) определяется соотношениями (5.1), (5.2) и (5.3), и (п) — детерминированный процесс и Е (ѵ (гг) е (ггг)') = 0.

Доказательство в основном такое же, как в скалярном случае. Если присутствует только компонента и (гг), то мы говорим, что

процесс X (гг) ч и с т о н е д е т е р м и н и р о в а н н ы й .

х) Этот параграф может быть опущен.

12*