Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Хеннан, Э. Многомерные временные ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

21.96 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 5813 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

120 Гл. I I . Спектральная теория векторных процессов

щей функцией распределения, то указанный изоморфизм между Ж и Ь2 (F) полностью определится соответствием

x{t) ^ в-**\

(10.10)

которое используется в и. 1 приложения к этой главе для доказа тельства теоремы 2.

Этот формализм часто заменяется другим, внешне более похожим на использованный в случае S2. Обозначим через Е (0) оператор в Ь2 (F), проектирующий на подпространство Lz (F), состоящее из функций, равных нулю при X > Ѳ. Легко видеть, что Е (0) — на самом деле ортогональный проектор. Семейство проекторов Е (0) обладает свойствами

(i) Е (-сю) = 0, Е (оо) = I,

(ii) Е (X) Е (0) = Е (Ѳ), X > Ѳ,

(iii)lim КЕ (X-f- б) — /?(Я) И= 0 х),

біо

которые характеризуют то, что называется спектральной функцией. Таким образом, мьт приходим к соотношению

СО
U(s)= J e~^E{dX),	(10.11)

так что

U(s)x(0) = j e~asE (dX) x (0) == j e~i%sz(dX),

—OO —00

где z (dX) = E (dX) x (0). Это просто другой способ записи соотно шения (10.9), более предпочтительный лишь постольку, поскольку он способствует интуитивному пониманию благодаря аналогии меж ду соотношением (10.11) и спектральным разложением унитарного оператора в конечномерном векторном пространстве.

В случае когда ѵ пробегает R 2, а группой симметрий является группа евклидовых движений / 0 (R 2), трудности проявляются более полно, так как теперь группа и некомпактна (локально компактна) и некоммутативна. Преобразования группы І 0 (ІЕ) имеют вид

	V	kv + X,	(10.12)
где к — элемент 0+ (2),	а х — разумеется, вектор		с двумя компо
нентами. Эта группа,	очевидно,	некоммутативна	и некомпактна

(так как содержит подгруппу ѵ—*- ѵ + х, топологически эквивалент-
1) Правильная формулировка этого		свойства: Е {X -\| б)	сильно стремится
к Е (X) в Ь 2 (F) при б 4 0.	Легко видеть,	что если отрезок [Я,	X + б] имеет поло
жительную F-меру, то	Е (X + б) — Е (к) — ненулевой проектор и, значит,

имеет единичную норму.— Прим, перев.

10. Спектральные теории для однородных случайных полей-

121

ную В 2). Вновь строим <Ш и снова имеем унитарное представление

группы / 0 (В2),	определяемое соотношением
z	(V) -> U (g) X (ѵ) = X (gv), g в Io (-R2),

где gv — точка, в которую v переходит под действием g. Вновь рас смотрим разложение U (g) на неприводимые компоненты. В этом случае, однако, неприводимые унитарные представления E/W (g) либо бесконечномерны, либо переводят элемент группы вида (10.12) в неприводимое унитарное представление U (к) подгруппы 0+ (2). Последние ие появятся в наших дальнейших рассуждениях, так как они не являются представлениями «класса один», т. е. не имеют того единственного одномерного подпространства, в котором U (к)г к 6 0+ (2), действует как единичный оператор. Остальные бесконеч номерные унитарные представления нумеруются индексами Я £ £ [0, оо). Элементы «среднего столбца» такого неприводимого пред ставления при подходящем выборе ортонормированного базиса в имеют вид

e-««P/z (гЯ),

(10.13)

где г, ф — полярные координаты точки, в которую переходит начало координат под действием рассматриваемого элемента группы. Раз ложение рассматриваемого представления можно осуществить с по мощью обобщения уже введенной конструкции. Рассмотрим меру и на [0, оо) и сопоставим каждому Я £ [0, оо) гильбертово простран ство g5Hw. Тогда наше представление U эквивалентно представле нию, которое получается следующим образом. Пространство пред ставления реализуется в виде семейства функций х (Я), где х (Я) £ 6 (W, таких, что *)

ОО

	j	II ж (Я) ПлМ- (<^Я; < оо,
	о
где ИX (Я)\|\|х обозначает		квадрат нормы х (Я) как элемента
Скалярное	произведение	элементов		х (к), у (Я)		]эавно
	[со			І!
	j	(ж (Я),	у (Я))хЦ (dk),
	о
где {х (Я),	у (Я))х — скалярное		произведение		в	$£№.
Тогда	наше представление		эквивалентно		следующему:
и	(g) X (Я) = u<» (g) X (к),			g e h (ff2),		я е to, оо).

Вновь существенным является лишь носитель меры и, и опять р можно выбрать так, чтобы х (ѵ0) (ѵ0 — начало координат в R 2) имело

х) Предполагается, конечно, что || х (Я) ||£ — измеримая функция, и поэто

му интеграл имеет смысл.

122	Гл. I I . Спектральная		теория векторных	процессов
простой вид,		а именно х0 (X), где х0 (X) для каждого X принадлежит
одномерному подпространству,			в котором О+ (2)	действует как еди
ничный оператор. Тогда, если			gvQ= ѵ, то
	* (и) +	ü (g) х0 (X) = UW (g) х0 (X) = 2		(rX) xt (X),		(10.14)
			I
где xi (X) пробегает ортонормированный базис				в	выбранный
так,	чтобы	соответствующие элементы матрицы			оператора	U (g)

имели вид (10.13). Здесь г, ср имеют, конечно, прежний смысл. Далее,

	СО
Е (х (v) X (ѵ0)) =	J /о (гА,) Н {dX).
где Н — функция распределения,	о
где Н — функция распределения,	определяемая мерой ц. Таким

образом, мы получили (10.4)'. Соотношение (10.3) является просто другой формой (10.14).

Теперь ясна общая схема. Дано топологическое пространство V и группа G, действующая транзитивно как группа преобразований V (это означает, что для любых ѵи ѵ2 6 У существует преобразование g £ G, переводящее в ѵ2). Подгруппа К а G, оставлтощая на месте ѵ0, контактна. Группа G должна быть группой достаточно специаль ного вида, допускающей простое конструктивное описание пред ставлений (например, группой симметрий глобально симметриче ского пространства V, как во всех рассмотренных примерах; см. Хелгасон [1962]). Нужные нам формулы даются теорией представлений группы G. Важные подробности, касающиеся этих формул, можно найти в книге Виленкина [1965].

Прежде чем закончить этот параграф, необходимо сделать еще два замечания. Во-первых, можно рассматривать топологические произведения пространств У; группой симметрий такого произведе ния будет прямое произведение соответствующих групп. Тогда множество Л значений индекса X будет произведением соответствую щих множеств, а «сферические функции»— произведениями соот ветствующих функций. Так, в случае В 2 X R с группой симметрий І 0 (Д2) ® R сферическими функциями являются

e- m e - ii< p j[

где Q, X — координаты в Л, откуда получается соотношение (10.3)" Во-вторых, все эти результаты непосредственно распространяют ся на векторный случай с помощью конструкции, которая ничем не отличается от использованной для доказательства теорем 1 и 2 § 2.

11. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ФИЛЬТРОВ *)

В этом параграфе мы хотим дать довольно общее изложение теории

•фильтров, а также некоторое представление об общей концепции

•фильтра.

1) Этот параграф является специальным и может быть опущен.

11. Общая теория фильтров

123

Материал первого пункта прост, хотя и носит несколько техниче ский характер; он касается нелинейных фильтров с памятью и осно вывается на книге Винера [1958]. Во втором пункте предпринята попытка продемонстрировать общность и первостепенную важность

.понятия фильтра.

(і) Если мы хотим описать действие нелинейного фильтра, хот бы в терминах спектра выходного процесса, то мы должны полностью задать вероятностную структуру фильтруемого процесса. Это застав ляет нас принять предположение, что исходный процесс х (t) являет ся стационарным в узком смысле векторным процессом с р компо нентами. Мы рассматриваем вероятностное пространство (Й, Л, Р) всех «траекторий» процесса х (t), так что х (t) — х (t, cd) является семейством случайных величин на (Й, Д , Р). Рассмотрим теперь Ь2 (й , Л:, Р) — пространство функций на й, квадратично интегри руемых по мере Р. Для краткости будем обозначать его Ь2. Про странство Ь 2 порождается функциями %(со):

1,	со 6 {со I (л:7- (fe) (ife, со), к = 1, ...,п )Е В },	( 11. 1)
О в противном случае,		( 11. 1)
О в противном случае,
где (xj(h) (th, cd), к =	1, . . ., п) обозначает точку в R n с такими

координатами, а В — борелевское множество в Rn. (Таким образом, %— индикатор цилиндрического множества в й, базой которого является конечномерное борелевское множество.) Если х (t) — гаус совский процесс, так что каждая х}- (t, со) принадлежит Ь2, то Ь2 порождается многочленами от х}- (t, со), поскольку индикатор любого борелевского множества В в R71может быть аппроксимирован в сред неквадратичном многочленами.

Рассмотрение нелинейных фильтров мы начнем с предположения,

что	X (t) — скалярный	гауссовский	процесс,	и определим	фильтр
как	функцию				(11.2)
	у (г) =	f({x (it)}),	Е (у (г)2) <	оо,	(11.2)

которая сопоставляет элементу х (t) элемент у (t) £ Ь2. При этом подразумевается, что у (t + s) = f ({х (t + s)}). Более подробно это ■означает следующее. В L 2 определен оператор U (а) по формуле U (s) X (t) = X (t + s). Этот оператор продолжается на все простран ство L 2 сначала по формуле

U (s) 2	а О'і, • • ■>7ft) х ih)Vlx {hf* • • (tk)Vh=
=	S	a Uu • • •»7ft) X (*1 + s)P1z		{t2+ s)Pa . . . x ( t	k + s)Vh,
а затем по непрерывности; именно,				если хп — последовательность
многочленов,		сходящаяся в	среднеквадратичном к		х, то U (s) х =
= lim U (s) хп (этот предел			всегда	существует) х).	Тогда, в силу
П

1) Обзор сведений, необходимых здесь и далее, см. в математическом при ложении.

124	Гл. I I .	Спектральная теория векторных процессов
стационарности,		U (s) для любого s является унитарным	операто
ром в Ь2.	Фактически U (s) есть унитарное представление		группы

сдвигов вещественной прямой (см. § 10). Пусть Л — линейный опе ратор в і 2 с «хорошими» свойствами. Под этим понимается следую щее:

(a)Область определения 3) (Л) оператора А плотна в Ь2. Если

Аопределен на всех многочленах (что действительно нам нужно), то это выполняется.


(b) Оператор А замкнут. Это условие также необходимо			нам,
так как	если хп — последовательность элементов, сходящаяся		к х,
причем	Ахп сходится	к у, то действительно нужно будет, чтобы
X £ 3) (Л) и Ах = у.		Мы не можем потребовать большего — чтобы

Л был ограничен, ибо дифференциальные операторы неограничены.

Теперь мы можем определить фильтр как					такой оператор А,
удовлетворяющий,		кроме того, условию
	AU (s) =2 U (s) А ,		s £ (— оо,		оо),
которое	означает,	что из х £ 3	(Л)	следует		U (s) х £ S' (Л) и
AU{s)x =	U (s) Ах.	Допустим, что х (0)		£ 3	(Л),	и положим

у (t) = Ах (і) = AU {t) X (0) = U (t) Ах (0).

Это и ость строгое формальное определение, отвечающее соотноше

нию (11.2).
	Теперь мы попытаемся несколько более подробно описать дей
ствие Л на I (t), по				крайней мере для достаточно простых опера
торов Л. Напомним, что если F (X) абсолютно непрерывна, то, соглас
но	примеру (ѵі) из §			5,
					ОО
				x(t)=	j	a (t — s)l(ds),
					— ОО
где	I (і)	удовлетворяет соотношениям
		Е Ш О -		Us))2} =		\ t - s \ ,	Е (Е (<))	=	0.
Более того, \| (t) —			гауссовский процесс,				ибо, как	показано		в при
ложении к этой главе,				£ (і) есть среднеквадратичный предел ко
нечных		линейных	комбинаций			гауссовских величин х (t). (Таким
образом,		I (0 — стандартный			процесс броуновского				движения на
(— оо, оо).) Тогда			у (t) можно			аппроксимировать		в	среднеквадра
тичном выражениями				вида
	оо			оо
а(0 )+ j		йі (t —s)l{ds)+ j j a2(t —su t —s2)£(rfsi)£№ 2) +								• (И-3)
	— 00			— 00

В самом деле, это равносильно тому, что у (t) можно аппроксими ровать последовательностью полиномиальных функций от случай

11. Общая теория фильтров

125

ных величин X (if):

		СО
Л ( 0) +	2 М Л J a { t j — s ) l ( d s ) +
	j	- с о
			со
+	2	2	j j	—	—52)i (^i )\| (ds2)-f	■• ■ • (11.4)
	j	h	— со
Следует,		однако,	заметить, что в соотношении (11.3) не только
а2 (и,	ѵ)	должна	быть	квадратично	интегрируема на	плоскости,

но и а2 (и, и) должна быть интегрируема, и т. д.

Чтобы получить однозначное разложение, поступим следующим

образом.	А именно, обозначим через	Ѵѵ линейное	подпространство
в І/2 (Q,	Л , Р), порождаемое всеми	величинами	вида
	со
	jj . . . Л a ( S i , . . , , sv) \|(dsj) ... l { d s 4).			(11.5)
	— со
Конечно,	Ѵ0 — пространство постоянных. В (11.5),			помимо квадра
тичной интегрируемости функции а (slt . . s v) на				ѵ-мерном про

странстве (относительно лебеговой меры), требуется конечность всех интегралов типа

ij . . . ^ а (s1, Sj, ti, s2, s2, . . ., t2. . .) а (uj,		u^,	it2,	u2, . . ., t2. . .) X
X dsi ds2 . . . dty dt2 . • • duLdu2 ... .
Последнее означает, что аргументы	. . .,	sv,	щ,	. . ., uv разбиты

произвольным образом на ѵ пар, причем пары, попадающие в первый множитель а (■), обозначаются s;-, во второй Uj, а те, которые имеют по одному представителю в каждом подмножестве аргументов, tj. Тот факт, что все такие выражения должны быть конечными, выте кает из следующего свойства гауссовских величин с нулевым сред ним: математическое ожидание произведения нечетного числа таких величин равно нулю, а для четного числа оно равно сумме всевозмож ных произведений математических ожиданий попарных произведе ний. Заметим также, что, не ограничивая общности, можно считать, что в выражениях (11.5) ядро а (•) является симметрической функ цией аргументов, так как (11.5), очевидно, не меняется при пере

становке индексов. Пусть	— проекция 7Ѵ на
	( Ü	Уi t .
	;=о
Таким образом, <Kfv — часть	Ѵѵ,	ортогональная к V ]' < ѵ. Тогда
2 ^	v= T 2(Q ,^, Р).
Ѳ

126	Гл. I I . Спектральная теория векторных процессов

Следовательно, можно написать

		ОО	0 0
	=	о	()) = 5jgv().	(11-6)
		о	о
где	Gv (у (t)) — проекция у (t) на		Компоненты Gv (у (t)) являют
ся	при разных V ортогональными случайными			процессами, т. е.

Е{£ѵ (у (s ))^ (у (*))} = 0,

(Удобно считать, что коэффициентные функции в (11.4) могут быть комплексными, отсюда знак комплексного сопряжения.) Таким образом, вычисление спектра у (t) сведено к вычислению спектров каждого из Gv (у (г;)). К сожалению, последняя задача чрезвычайно сложна даже в простых случаях. Чтобы понять характер проблемы, рассмотрим формулу (11.3) в случае, когда разложение содержит только третий член. Пространство 3£0 = То состоит из постоянных. Если X (£) имеет нулевое среднее (что можно предположить без ограничения общности), то Т о ± Т і-и $£\ = Ѵі . Теперь мы должны ортогонализовать величину

ОО
J j M * — su t— S2)l{âsi)l{ds2)	(11.7)

— СО

по отношению к Ѵ0 и Vt. Так как ее математическое ожидание равно

ОО

jа2(і — s, t — s)ds,

—ОО

то мы добьемся ортогональности к F0, если вычтем из (11.7) послед нее выражение. Более того, получившаяся величина будет ортого нальна и к S£i, ибо математическое ожидание произведения (11.7) на произвольный элемент Ш і сводится к математическим ожиданиям от нечетного числа, а именно трех, сомножителей. Таким образом, остается найти спектр (11.7) после центрирования. Нетрудно вычис

лить	ковариации, которые равны
	ОО2
	21 і аг(і — S1>t — s2)a2(s1,s 2)dsl ds2-		(1 1 .8)
	—oo
Так	как a2 квадратично интегрируема на плоскости,		то
	ОО
	а2(и, V) = ± { j é	а2(Ѳь Ѳ2) dQt dQ2
	—оо

в смысле среднеквадратичной сходимости, где

со

â2 (01, ѳ2) = 2^ ^ е-і (иѲі+гѲг)^ (w, у) du dv.

11. Общая теория фильтров

127

Согласно формуле Планшереля, выражение (11.8) равно

	со								оо
2 j j		а2(Ѳі, Ѳ2) â2 ( -			0j, -	Ѳ2) в-«	dQi dQ2=		{ е~ІІЧ {X)'dXr
где
				со
		(2(А.) = 2		^ а2(Ѳі, А—Ѳі) а2 (—Ѳі,				—А —{—Ѳ^) cZ0i,
			— оо
что совпадает с 2 \|				\|а 2(Ѳ, А — Ѳ) \|2с?Ѳ, если				а2 вещественна.
В	общем		случае	проекция произвольного ѵ-го члена в (11.2)
на сК?ѵ имеет вид
		ОО
S v	(0 =	^	J	(^	®1і ^	S2, • • ■ i t	sv) ^ (dsj)		••• 1(c?sv) -j- bv- i ,
		— oo							(11.9)
									(11.9)

где Ьѵ_і — комбинация аналогичных членов, содержащих не более чем (ѵ — 1) аргументов s f но тогда (11.9), очевидно, ортогонально к Ъѵ_и так что ковариации процесса (11.9) имеют вид

оо
Е I j ... j av(t — s1}	t — sv)^(ds1) ... I (dsv) gv (s) j .

Теперь мы должны попарно приравнять аргументы Sj из обоих множителей и сложить результаты всевозможных таких попарных разбиений. Если мы приравниваем два аргумента Sj из первого множителя, то после взятия математического ожидания произведе ния пары £ (dsj) для этих s;- от первого сомножителя останется выра жение более низкого порядка, и когда мы возьмем математическое ожидание по всем остальным парам, оно обратится в нуль. Таким образом, останется лишь

ѵ! j . . . j av (t — slt • , t — sv) av (s- ■Si,

s —sv) dSi

dsv

ибо существует v! разных способов попарного отождествления пере менных из этих двух сомножителей. Таким образом, вводя обо значение

аѵ(Ѳі, . • •, Ѳѵ)	1	е-іи'ѳаѵ (ии	. ., иѵ) dui ... duv,
	(2я)ѵ/2 і

где к и Ѳ— векторы из ѵ компонент, имеем следующее выражение для спектральной плотности gv (t):

v! j . .. j I av (Ѳі,

Ѳѵ)|2с2Ѳі

dQv

(11.10)

S(X)

12S	Гл.	I I .	Спектральная теория векторных процессов
где интегрирование ведется по плоскости S (%), на которой 2 0Ѵ= X
(мы считаем,		что	аѵ вещественны).

Формально мы свели нахождение спектра к отысканию разложе ния (11.6) и вычислению выражении типа (11.10). При определении gv (t) могут быть полезны следующие соображения.

Введем произвольное семейство функций ср;- (t), / = 0, 1, . . .,

•ортонормироваиных относительно меры Лебега па вещественной

прямой и порождающих Ь2 г).		Положим
	СО
иі (0 -=	j	Фj(t — s)l{ds)-,
— СО
тогда величины Uj (t), 7 = 0,	1,	. . ., порождают Ши независимы

и гауссовы с нулевым средним и единичной дисперсией. Положим, далее,

2 mk = v,

Нт O',

t) = 11 Нт (щ (7)),

7і < 72 <

■• • < 7'г,

ft=1

где

H u — многочлен

Эрмита

и-го

порядка.

Здесь символы т, j

обозначают

упорядоченные

наборы

{mh},

{Іи}- Тогда

Ел{Я ^(у,

t)H ¥ (k,

t)} =

/ Ф к

пли

т Ф п,

( 11. 11)

И nij\,

] — к, т — п,

ибо

многочлены

Эрмита

от

разных

и}- (t),

очевидно, независимы

и (11.11)

распадается на

множители вида

Е {Пт, (Uj(t)) Нп. (щ(і))}.

Если р ф у, то т,і =£ щ и утверждение очевидно. В случае р = ѵ и 7 ф к утверждение также верно, ибо какое-то из этих математиче ских ожиданий равно нулю; нетрудно убедиться, что то же самое

происходит и	в	случае р = ѵ, j — к,			тп ф п .		Кроме того,		в силу
рассуждений,	подобных		приведенным		вслед		за	формулой	(11.9),
		Е { Н ^ (У, s) Я™ (к, *)} =			0,	р Ф V,			(11 • 12)
однако при р =		V, s =££ ситуация оказывается более сложной, чем
для (11.11).	В	любом случае		(/, t )	лежат в			Шѵ и при любом
фиксированном		t порождают		Шѵ Таким		образом,
		g v ( t ) =	2	a(V) ( m , i ) H m		( л	*)>
			m , j

x) Выбор подходящего семейства может определяться характером функцио нальной зависимости процесса у (t) от х (I).

		]].	Общая теория фильтров				129
где суммирование происходит по всем т,					], таким, что ji <		/2 *<
и 2	mh = V,	а коэффициенты
	й(ѵ)К /) -		= (Г К ') “1 Е {у (0 я ™ (/,				0}
		Е [{#£> (/•, г)}2]
не зависят от		і в силу	стационарности. Теперь нам нужно найти
		Е {Нт(	(/, s)tf£°(/c, f)},		s=^7.
Рассуждая так же, как			при выводе соотношения (11.10), получаем,
что	это равно
	Е (Щ	щ . (я ) Г г ( Ц и к (г5))П;) =		2	П Е К	И Uh (0 } =
	І		І	2	{ъI-I	ф (*— «)},
			=	2	{ъI-I	ф (*— «)},

где сумма берется по всевозможным способам попарного объедине ния множителей из первого произведения с множителями из второго произведения, а произведение — по всем парам (/, к) для данного способа попарного объединения. Очевидно, что в общем случае ситуация очень сложна.

Если в задаче участвует лишь небольшое количество функций ср;-, то вычисления могут быть осуществимыми, однако в этом случае прямой подход, без использования ср^, может оказаться столь же или даже более простым.

Эти идеи в принципе непосредственно обобщаются на векторный случай и на случай дискретного времени. Мы не будем здесь обсуж дать эти вопросы более подробно.

(іі) Определение фильтра, данное в пункте (і), распространяется на общий случай, когда х (t) — векторный стационарный в узком смысле, но не гауссовский процесс. В этом случае Ь2 определяется,

как прежде, а U (s) в L z определяется		указанием U (s) %(со), где
%(со) определено соотношением (11.1),		а U {s) %(<*>)	обозначает
индикатор	цилиндрического множества	{со \| (xj(;;) (th +	s, со), к =
= 1, . . .,	п) £ Я}. Вновь U (s) является унитарным представлением

группы сдвигов вещественной прямой; мы снова предположим, что А — замкнутый линейный оператор с областью определения 33 (Л),

плотной в Ьг, и определим фильтр как оператор А,					такой,		что
AU (s) э Р (s) 1 ,	s £ (— оо, оо).	Если	xj 6 Іа, 7 =	1,	. . .,	р,	то
мы положим х)
Уі (t) =	U («) Ах} = AU	(t) xj,	7 = 1, . .	p;
векторный процесс у (t) является стационарным в				узком		смысле
и имеет конечную дисперсию. Мы можем наглядно				представлять9*
J) Очевидно, надо предположить,		что Xj	6 S3 (4 ).— Прим,		перев.

9 Э. Х ен и ан

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 5813 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ