книги из ГПНТБ / Хеннан, Э. Многомерные временные ряды

110 Гл. I I . Спектральная теория векторных процессов

то, относя вклад от этого последнего выражения в последнее слагае­ мое (9.2) (т. е. переопределяя некоторые из cjh), мы получаем выраже­ ние (9.2).

Очевидно, что имеет место соответствующее представление для Ф:

где Е{| £, (dX) |2} = F (dX), которое' также следует понимать в смысле теоремы 2"', т. е.

Таким образом, обобщенные процессы вида (9.4) образуют довольно общий класс и могут рассматриваться как результат последователь­ ного интегрирования ОСП, который в свою очередь получается после­ довательным дифференцированием исходного (обычного) случайного процесса. Эта процедура тесно связана с той, которая приводит

куравнению (3.9) в гл. I.

10.СПЕКТРАЛЬНЫЕ ТЕОРИИ ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ А

До сих пор мы рассматривали векторные случайные процессы х (і), для которых t пробегает вещественную прямую или некоторое ее подмножество. Как отмечалось в начале гл. I, в некоторых приложе­ ниях t может быть на самом деле пространственной переменной, например расстоянием вниз по течению от некоторого фиксирован­ ного пункта на реке, а х ( t ) может иметь три компоненты, соответ­ ствующие «скорости» течения. Аналогично, х (t) может быть измере­ нием, производящимся вдоль некоторой линии на поверхности, на дне океана и т. д. В подобных случаях нас могут интересовать и времен­ ные изменения, так что мы будем наблюдать реализацию случайного процесса х ( ѵ , і ) , где ѵ и t независимо пробегают прямую, т. е. х будет функцией на плоскости. К этому приводит также случай, когда каждой точке ѵ какой-либо плоской поверхности (например, поверх­ ности океана) отвечает некоторая наблюдаемая величина. Мы исполь­ зуем V для обозначения точки иа плоскости, так что в этом случае для задания ѵ потребуются две координаты. И вновь может иметь место зависимость от времени, так что можно было бы рассмотреть X (V, t). Теперь аргумент процесса х (•) пробегает трехмерное евкли­ дово пространство. Очевидно, мы должны рассмотреть случайный процесс X ( и), определенный на 7г-мерном евклидовом пространстве Я п . Если требуется подчеркнуть особую роль переменной t, то мы выделяем ее из остальных аргументов процесса х (•), однако начнем

J) Этот параграф является специальным и может быть пропущен.

с рассмотрения случая, когда это не делается. Предположим, что величины

Е {х (ѵі) x' ( у 2)) = Г (ѵи ѵ2)

конечны, и ограничимся аналогом стационарного процесса, для которого

иV. Как и раньше, положим

Г (ѵи у2) = Г (0, ѵ2 — Ѵі) = Г (у2 — Ѵі).

В этом случае мы будем говоритъ, что х (у) — однородное случайное поле. Мы обозначаем символом ѵ как точку ѵ, так и вектор с компо­ нентами, равными координатам точки ѵ. То же самое относится к точке и вектору 0, который мы сейчас введем. Предположим, что

Г (и) непрерывна. Тогда поле х (ѵ) непрерывно в среднеквадратичном.

Будем говорить, что z (0), 0 6 R n,— поле с ортогональными при­ ращениями, если для любых ограниченных измеримых множеств

Мы опускаем доказательство следующей теоремы, которая является простым обобщением теорем 1 и 2 этой главы.

ная на Rn, элементами которой являются функции ограниченной вариации и для которой все матрицы

J

S

эрмитовы и неотрицательно определенные. Соответственно имеем

Rn

где z (0) — функция с «ортогональными приращениями», такая, что'

E{z (d0) z (cZ0)*} = F (dQ).

Конечно, соотношение (10.2) можно представить в вещественной форме, п мы сделаем это для случая п = 2, когда координатами являются и и t. Пусть, кроме того, х — скалярный процесс; тогда имеем

со

X (и, t) = j j (cos (ku Xt) £ (dk, dX) -{-sin (lai + Xt) p (dk, dX)}.

Мы обозначили через k, X координаты вектора Ѳ. Ненулевые ковариа­ ции имеют вид

Обычно X называют частотой, а к — волновым числом. Характер «элементарной волны»

{cos (кифХі) É; (dQ) -{-sin (ku-\-Xt) p (dQ)}

очевиден.

В рассмотренной выше ситуации (когда ѵ — двумерный вектор

спространственной и временной координатой) естественно считать

Гфункцией от (ѵо — ір). Если, однако, ѵ пробегает плоскую поверх­ ность, то это предположение представляется излишне общим, так как можно ожидать, что Г будет зависеть только от евклидова рас­

стояния I ѵ2 — гр I между двумя точками или по крайней мере что это будет очень близко к истине. Мы называем тогда х (и) однородным

где С(г) (dX) — вклад, соответствующий интегралу от exp{iZ (ф—

— я/2)} z (dQ) по кольцу А, ограниченному окружностями радиусов

откуда вытекает, что F зависит только от X. Таким образом, полу­ чаем

Е {£(0 (dX) 'Qim) (dX)} = бT H (dX),

где

Перепишем формулу (10.4) для ковариационной функции п фор­ мулы для ковариаций величин QU в виде, отвечающем случаю, когда X (и) для каждого ѵ является вектором с р компонентами, а именно

Теперь мы можем сформулировать следующую теорему, доказатель­ ство которой было намечено выше для скалярного случая. (Мы опу­ скаем подробности несложного обобщения на векторный случай.)

Т е о р е м а 13'. Если, х (ѵ) — векторное однородное изотропное случайное поле на плоскости, то имеет место представление (10.3), где QU (X) — векторные процессы с ортогональными приращениями

S э . Хекнаи

определенными приращениями, однозначно (с точностью до адди­ тивной постоянной матрицы) определяемая требованием непрерыв­ ности справа. Ковариационная функция Г (г) связана с Н (X) соот­ ношением (10.4)'. Соотношение (10.3) можно записать в эквивалент­ ной вещественной форме

так как ковариационная функция зависит только от расстояния. Если это предположение не подтверждается на опыте, то мы должны вернуться к представлению (10.2).

Можно построить много примеров аналогичной структуры. Так, можно рассмотреть случай, когда наблюдения производятся в точ­ ках и, t, где и 6 R 2, а t — временная переменная. (Таким образом, V £ і?3, но мы разделяем пространственные и временные аргументы.) Тогда мы приходим к предположению

О0 — оо

где

E{z(dp, dX, d^)z(dii, dX', йф')*} = бЦ ^'0$> (du, dX) g .

Это выражение представляет х (и, t) как линейную суперпозицию волновых компонент с частотой ц и волновым числом X, распро­ страняющихся в направлениях ф, причем для данных р, и X все направления дают одинаковый вклад в дисперсию, а амплитуда и фаза компонент определяются векторным процессом z с ортого­ нальными приращениями. Ковариационная функция удовлетворяет

соотношению

— CO 0

116 Гл. I I . Спектральная теория векторных процессов

определенных биинвариантпых функций имеет место некоторая моди­ фикация теоремы 1. (Конечно, для стационарных случайных процес­ сов биннвариантность довольно тривиальна, так как роль 0+ (3) играет тогда аддитивная группа вещественных чисел, а О+ (2) — подгруппа, оставляющая на месте точку t0, т. е. тривиальная под­ группа, состоящая из единственного элемента 0.) Эта теорема, в ее общей форме, называется обычно теоремой Бохнера, поскольку Бохнер впервые доказал ее в частном случае теоремы 1. Сейчас мы хотим подойти к этой теореме с другой точки зрения, которая хорошо раскрывает ее смысл.

Введем гильбертово пространство $£, порождаемое случайными величинами х (ѵ), со скалярным произведением

{х (ѵ), X (іо)) = у (V, іо)

точно так, как в приложении к гл. I. Рассмотрим операторы в 3ß, определенные соотношением

U (g) X (о) = X (go).

Так как

{U (g) ^ a.jX (vj), U (g) ^ ßfti (и;*)) -

= 25 «yßft (gVj), X (gw,,)) =

71

скалярное произведение останется инвариантным относительно U (g), так что U (g) будет унитарным оператором 1). Более того, соответ­

ствие

g ^ U ( g )

является «представлением» группы О+ (3) унитарными операторами

что если gi стремится к g (т. е. сближаются оси и углы вращений gь

г) Мы вновь отсылаем читателя к математическому приложению, где можно

найти обзор понятий, используемых в этом параграфе.