книги из ГПНТБ / Основы вычислительной техники учебник

В качестве примера на р.ис. 7.6 представлена функциональ­ ная схема следящей системы с синусно-косинусным вращающим­ ся трансфорл1атором (CRBT). В примам режиме СКВТ воспроиз­ водит функцию нж= иу sin а, где a v— напряжение возбужде­

ния.

Для получения обратной функции СКВТ включен в цепь об­ ратной связи следящей системы. В результате этого после отра­ ботки рассогласования их — иу sin а = 0 имеем

Шкала на выходе системы должна быть проградуирована в соответствии с функцией (7.11).

В случае необходимости с выходным валом следящей систе­ мы может быть соединен ротор еще одного СКВТ. Тогда па его синусной обмотке получим напряжение

§ 7.2. Автоматическое решение уравнений

Среди направлений применения средств аналоговой вычисли­ тельной техники важное место занимают автоматические системы вычислительного типа, предназначаемые для решения уравне­ ний в реальном масштабе времени. Эти системы обычно содер­ жат вычислительные устройства внутри замкнутого контура уп­ равления.

В автоматической системе, предназначенной для решения от­ дельного уравнения (рис. 7.1,6), можно выделить вычислительное устройство, описываемое конечным уравнением:

«

Решить уравнение (7.12) при заданных х и у значит найти неизвестную величину z, удовлетворяющую этому уравнению. Решение уравнения будет найдено при обращении функции в нуль (Ф = 0). В автоматической системе это обеспечивается при­ менением принципа управления по отклонению. В полуавтома­ тической системе подбор значения z, удовлетворяющего уравне­ нию, осуществляется вручную оператором.

Как известно, динамические свойства автоматических систем описываются дифференциальными уравнениями. Поэтому при исследовании автоматической системы вычислительного типа сле­ дует различать уравнение динамики и уравнение, решаемое сис­ темой. Последнее называется конечным уравнением, потому что

Ш0

о н о у д о в л е т в о р я е т с я т о л ь к о п ри о т с у т с т в и и р а с с о г л а с о в а н и я 13

си с т е м е .

Конечное уравнение (7.12) с одной неизвестной г может быть алгебраическим или трансцендентным. Если для образования функции Ф(л:, у, z ) над переменной г выполняются только опе­ рации сложения, вычитания, умножения и деления, то уравнение называется алгебраическим. Все неалгебраическне уравнения называются трансцендентными. Распространенным классом этих уравнений являются тригонометрические уравнения, в которых неизвестная величина z содержится под знаком тригонометри­

личина е может быть названа сигналом рассогласования. Уси­ ленный сигнал рассогласования с усилителя (У) поступает на исполнительный двигатель (Д), который через элемент обратной связи (ЭОС) вводит в'вычислительное устройство уточненное значение г.

Частная производная

< 7 Л 4 >

характеризует чувствительность вычислительного устройства к изменению переменной z. Ее значение оказывает существенное влияние на устойчивость и точность работы автоматической сис­ темы вычислительного типа.

Процесс решения уравнения может быть как сходящимся, так и расходящимся. Очевидно, что для машинной реализации пригодны лишь те уравнения, которые имеют сходящиеся реше­ ния.

Рассогласование е может быть выражено как произведение чувствительности на приращение переменной z:

(7.15)

Условием сходимости процесса решения уравнения является соответствие знака рассогласования е отрицательной обратной связи.

Для решения некоторого множества (системы) конечных уравнений

191

необходимо применить п. автоматических систем. Решением сис­ темы уравнений с неизвестными г,- называется множество зна­ чений этих неизвестных, удовлетворяющих одновременно каждо­ му из уравнений системы (7.16).

Если уравнения не взаимосвязаны, то каждая автоматическая система решает соответствующее уравнение. Задача существенно осложняется в случае решения системы взаимосвязанных урав­ нений, так как образуется многомерная автоматическая система вычислительного типа. Главный признак многомерной системы заложен в самих конечны-х уравнениях, из которых опреде­ ляются коэффициенты взаимовлияния ,.между отдельными ав­ томатическими системами.

Примеры построения автоматических систем для решения тригонометрических уравнений

Необходимость решения тригонометрических уравнений воз­ никает при разложении и построении векторов по их составляю­ щим, преобразовании! координат при параллельном переносе и повороте осей, решении задачи! упреждения и т. п.

Разложение вектора на составляю­ щие. Пусть задана левая прямоуголь­ ная система координат XOY. Известны полярные координаты точки о: угол ср, характеризующий направление векто­ ра, и длина вектора р- Требуется опре­

делить прямоугольные составляющие вектора х и у. Согласно рис. 7.7 получаем два уравнения:

Функциональная схема вычислительного устройства для ре­ шения уравнений (7.17) изображена на рис. 7.8. Она состоит из синусно-косинусного потенциометра П, движки которого пере­ мещаются пропорционально аргументу ср с помощью следящей системы (СС?), и двух решающих усилителей (РУ1 и РУ2). На зажимы потенциометра П подается напряжение ие, в принятом масштабе пропорциональное длине вектора р. Поэтому со щетки синусного потенциометра снимается напряжение и9sin ср и по­ дается на вход РУ1, а с косинусного потенциометра снимается

1-92

напряжение щ cos ср и подается на вход РУ2. На выходах реша­ ющих усилителей получаем напряжения чх и иу, пропорциональ­ ные составляющим вектора р.

Как видно, при решении системы уравнений (7.17) принци­ пиальных трудностей не возникает, так как эти уравнения не вза­ имосвязаны. Вычислительные устройства включены вне замкну­ того контура следящей системы и поэтому не оказывают влия­ ния на ее динамические свойства.

Построение вектора по его составляющим. Эта задача явля­ ется более сложной в технической реализации и формулируется следующим образом (рис. 7.7): известны координаты х и у дви­ жущейся точки а. Требуется непрерывно определять величину р и 'направление ср радиуса-вектора точки а.

Возможны два способа решения поставленной задачи. Пер­

На первый взгляд система (7.18) рациональна, так как урав­ нения не взаимосвязаны но искомым величинам р и ср. Однако для непосредственного решения этих уравнений требуются весь­ ма сложные вычислительные устройства: квадраторы, устрой­ ство для извлечения корня, устройства деления и воспроизведе­ ния функции арктангенса. Поэтому решение системы уравне­ ний (7.18) средствами аналоговой вычислительной техники не­ целесообразно; ее можно решать на цифровых вычислительных машинах.

Второй способ решения задачи построения вектора по его составляющим связан с необходимостью построения самонаст­ раивающейся следящей системы вычислительного типа. Рассмот­ рим, какие уравнения должна решать система.

Это уравнение и должно быть положено в основу построения вы­ числительного устройства как конечное уравнение следящей си­ стемы. Решить (7.20) значит при заданных х и у найти угол ср,

194

нулю. Важная особенность уравнений (7.26) состоит в том, что они взаимосвязаны, так как неизвестная переменная ср входит в оба уравнения.

Для оценки чувствительности вычислительного устройства следящей системы необходимо в соответствии с (7.14) опреде­

Как видно, чувствительность .вычислительного устройства S про­ порциональна величине вектора рп. Чем больше р„, тем выше чувствительность.

Функциональная схема самонастраивающейся следящей си­ стемы вычислительного типа, предназначенной для построения вектора по его составляющим в соответствии с (7.26), изобра­ жена на рис. 7.10. Все машинные переменные решаемых урав­ нений, кроме срп, в системе представлены в виде напряжений. Пе­ ременная «р„ моделируется углом поворота выходного вала сле­ дящей системы.

Вычислительное устройство следящей системы состоит из двух синусно-косинусных потенциометров (П[ и П2) и двух ре­ шающих усилителей (РУ1 и РУ2). На входы вычислительного устройства поступают напряжения их и иу, в принятом масшта­ бе пропорциональные координатам х и у (составляющим век­ тора). На первый вход РУ1 подается напряжение «, = M uhx, а на второй вход — напряжение «2 — —МиЛу. Следовательно, на выходе суммирующего усилителя РУ1 образуется сигнал рассо­ гласования основной замкнутой системы:

и Mi = fcj («1 — щ ) = k ± М„ (hx - Ay) = fcj M u ДА,

ь

рдо ki = — коэффициент усиления решающего усилителя

■П'р I d R n — R 12 .

Сигнал рассогласования усиливается усилителем (У) и по­ ступает на управляющую обмюшу i исполинтельного двигателя (Д), который через редуктор перемещает движки потенциомет­ ров П, in П2 в положение, при котором пд/, —0. При этом, если выходная величина следящей системы ерп=ср, то она соответ­ ствует решению уравнений (7.26). Таким образом, в основной следящей системе можно применить принцип управления по отклонению, обеспечивающий решение первого уравнения (7.26).

На первый вход решающего усилителя РУ2 подается напря­ жение н3 = н.д.sin qp, а на второй вход — напряжение н* = иу sin гр.

тель РУ2 с потенциометрами, выдающими напряжен ив и3 и иА, следует рассматривать как вычислительное устройство дли ре­ шения второго уравнения (7.26) п как контур самонастройки основной системы.

Как известно, общий коэффициент передачи разомкнутой астатической следящей системы равен произведению коэффици­

где SB—чувствительность вычислительного устройства; ky, kA—коэффициенты передачи усилителя и двигателя.

В соответствии с (7.27) и с учетом масштаба представления переменных М и чувствительность вычислительного устройства основной следящей системы можно представить в виде

Непосредственно из (7.28) и (7.29) следует вывод о необходи­ мости применения принципа самонастройки в рассматриваемой системе, так как при отсутствии самонастройки добротность сле­ дящей системы kv является переменной величиной, зависящей от .величины вектора р. Следовательно, полоса пропускания, за­ пасы устойчивости, статическая и динамическая точность систе­ мы будут изменяться в широких пределах. Следящая система без самонастройки коэффициента усиления обратно пропорцио­ нально р практически может оказаться неработоспособной.

Полная структурная схема самонастраивающейся следящей системы, построенной в соответствии с рис. 7.10 для решения двух уравнений (7.26), изображена на рис. 7.11, а. Динамические свойства усилителя и исполнительного двигателя на этой схеме

196

представлены передаточной функцией W(p). Воздействие само­ настройки р подается в схему автоматической регулировки уси­ ления (АРУ) основной системы для того, чтобы в замкнутый

1

контур ввести множитель — и тем самым ооеспечить независи­

мость добротности системы от величины р:

На выходе схемы АРУ напряжение иА9 пропорционально рассогласованию Дер. По существу, назначение схемы АРУ состо­ ит в том, чтобы обеспечить переход от управления по линейному рассогласованию Ah к управлению по угловому рассогласованию

Дер.

Рис. 7.11.

Кроме схемы АРУ в замкнутый контур могут быть включены последовательные и параллельные корректирующие устройства для того, чтобы обеспечить требуемые показатели качества ре­ шения системы уравнений в динамике. Точность решения уравне­ ний тем выше, чем меньше отличаются выходные величины <рп и рп от их истинных значений ср и р, задаваемых входными ко­ ординатами х и у.

Упрощенная структурная схема самонастраивающейся следя­ щей системы изображена на рис. 7.11, б. По этой схеме представ­ ляется возможным произвести аналитическое исследование ди­ намики системы .при йаличии контура самонастройки известными методами теории автоматического управления. Задающее воз­ действие вычисляется по формуле

<р = arctg— .

У

Таким образом, самонастраивающиеся автоматические систе­ мы вычислительного типа относятся к числу перспективных. В частности, они позволяют автоматически решать сложные систе­ мы уравнений.

197

§ 7.3. Точность автоматических систем вычислительного типа

Точность автоматических систем вычислительного типа, как Hi точность АВМ, оценивается динамическими и статическими

погрешностями.

Как известно, динамические погрешности возникают при не­ прерывном изменении входных величин вследствие ограниченной полосы пропускания следящих систем.

Методы исследования динамики автоматических систем изла­ гаются в теории автоматического управления и здесь не рассма­ триваются. Для экспериментального исследования автоматичес­ кой системы вычислительного типа в динамическом режиме тре­ буется, как правило, дополнительная аппаратура, состоящая из [прецизионного датчика входных величин и регистрирующей аппаратуры, подключаемой к выходам системы.

Оценка динамических погрешностей производится на основе сравнения полученных значений выходных величин в дискретные моменты времени с табличными (точными) значениями. Для упрощенной оценки динамических погрешностей используют нуль-индикаторы, «а которые (Подаются для сравнения выходные величины системы и напряжения, соответствующие их точным значениям.

При подаче на входы системы постоянных входных величии на ее выходах по окончании переходного процесса также уста­ навливаются постоянные значения. Вследствие погрешностей задания входных величин и изготовления элементов системы, дрейфа выходных величин решающих усилителей установивши­ еся значения выходных величин системы имеют погрешности, на­ зываемые в этом случае статическими. Они определяются па основе сравнения полученных и известных заранее точных зна­ чений выходных величин.

Проверка точности вычислительных устройств в динамичес­ ком режиме позволяет получить более полную оценку качества работы, чем проверка в статическом режиме. Однако относитель­ ная простота проведения проверок в статическом режиме обу­ словила широкое применение этого режима для оперативного контроля правильности функционирования автоматических си­ стем вычислительного типа.

Допусками на отклонение выходных величин в статическом режиме являются расчетные значения статических погрешностей. Такой расчет производится на этапе проектирования, он явля­ ется основой для выбора классов точности используемых эле­ ментов.

Расчет статических погрешностей автоматических систем вы­ числительного типа имеет свои специфические особенности. Рас­ смотрим методику расчета статических погрешностей в слу­

198

чае решения отдельного уравнения и в случае решения системы уравнений.

шее приближение к точному решению. Однако специфической особенностью рассматриваемых автоматических систем явля­ ется наличие в них зоны нечувствительности. Ей соответствует определенная величина напряжения нечувствительности на вы­ ходе вычислительного устройства Аип. Очевидно, нет смырла требовать, чтобы Аи, было меньше Амн, так как рассогласование

199