книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

Диполь в твердом теле может быть двух видов: это может быть сфера, вложенная в полость того же радиуса так, что среда может свободно скользить по поверхности сферы, и это может быть сфера, «вмороженная» в среду и увлекающая за собой среду. Хотя граничное условие в первом случае похоже на граничное условие для жидкой среды, поля в жидкости и в твердом теле будут совершенно различны: помимо потенциального поля смеще­ ний продольной волны (похожего по форме на поле в жидкости), в твердом теле в обоих случаях появится еще и вихревое поле сдвиговых волн, для которого никакой аналогии в жидкой среде нет.

Дело в том, что для диполя в жидкой среде на границе сферы имеется только одно граничное условие — совпадение нормальных

ляется еще условие обращения в нуль касательного напряжения на поверхности сферы г — а: огѳ = 0 (первый случай), либо условие равенства касательных смещений щ — — и sin Ѳ (второй случай). Поэтому, взяв скалярный потенциал в таком же виде, как и для жидкости,

Ф — М - 1 ё ЪіГcos Ѳ, ( 1 52.1)

мы получим желательное угловое распределение (по косинусу) нормальных скоростей частиц, но второе условие окажется не­ удовлетворенным. Поэтому в среде возникает еще и вихревое поле. Его можно описать векторным потенциалом, который давал бы такое же угловое распределение для нормальных скоростей. Это — вектор с единственной не равной нулю компонентой, направ­ ленной по параллели и равной

где /<р — орт параллели.

Теперь можно распорядиться двумя остающимися пока неопре­ деленными величинами М и А так, чтобы удовлетворить обоим граничным условиям.

Начало расчета одинаково для обоих видов второго граничного условия. Смещения частиц будут происходить в меридиональных плоскостях с полярной осью, совпадающей с направлением осцил­ ляций сферы. Компоненты смещений выражаются через скалярный потенциал ф и не равную нулю компоненту ф векторного потен­ циала следующим образом:

-490 . .

Нормальные и касательные напряжения в меридиональной пло­ скости равны в данном случае агг = Киаа -(- 2цигг; or0 = 2\uirQ. Компоненты тензора деформации равны

приведем выражения для компонент тензора напряжений к виду

Подставляя значения ф и ф из (152.1) и (152.2), можно переписать, формулы (152.3), (152.4) в виде

49 /•

Дифференцирование дает:

rfr

Соответственные выражения производных для і?; получатся просто заменой kt на k[ в этих формулах. Подставляя найденные выражения в (152.5), найдем:

<Дѳ = —Ц 4 ^ г sin Ѳ {2 [3 — 3/£,r — {ktr)2\ eik‘r—

— Л [6 — 6iktr — 3 (ktrf -j- i (ktrf] e‘k‘r).

такой же характеристикой, как и для крутоля. Обе характеристики в пространстве можно получить, вращая вокруг оси х систему четырех одинаковых окружностей, касающихся осей х и у в начале координат. При этом ось х соответствует направлению осцилляций.

Теперь найдем выражение для силы F, с которой сфера дей­ ствует на среду. Эту силу можно выразить следующим интегралом по всей поверхности сферы:

F = — J (оггcos Ѳ— агg sin Ѳ) dS.

492

Ввиду осевой симметрии всей картины можем принять за эле­ мент поверхности идущую по параллели полоску ширины а d0; тогда dS = 2іш2 sin 0 dQ и интеграл примет вид

Л

F — — 2яа2 j (агг cos Ѳsin 0 — агѲsin2 Q)dQ.

о

Подставляя сюда значения orr и агд для г — а из (152.6), получим после простых преобразований

где введены обозначения: а — k[ü\ ß = kta.

Случаи скользящей и вмороженной сферы рассмотрим отдельно. Для скользящей сферы одним из граничных условий является равенство нулю касательного напряжения на ее поверхности.

Полученные выше формулы точные; они справедливы для лю­ бого размера сферы (или для любой частоты). Теперь дадим при­ ближенные величины для сферы, малой по сравнению с длиной сдвиговой волны (и подавно по сравнению с длиной продольной волны в среде): будем считать малым ß (и подавно а) и будем пре­ небрегать величинами а 2 и ß2 по сравнению с единицей. Подставляя (152.8) в (152.7), получим при этом условии

Далее, полагая г = а в (152.6), выразим М через амплитуду колебаний сферы и (пренебрегая, как и в предыдущей формуле, малыми второго порядка по а и ß). Для этого подставим в первое

.уравнение (152.6) величину (152.8); вначале придется сохранять все члены в числителе и в знаменателе, потому что старшие члены сокращаются. Произведя вычисления, найдем, пользуясь соотно­ шением иг = и cos 0:

Теперь и силу, действующую со стороны сферы на среду, сможем выразить через смещение сферы:

Если плотность сферы равна плотности среды р, то к F следует еще добавить инерциальную силу, соответствующую массе сферы,

493

равную — рсо2 -|- па3щ однако этой величиной можно прене­

бречь по сравнению с упругой реакцией среды. Таким образом,. F можно считать силой диполя в твердом теле. Очевидно,

Отсюда видно, что коэффициент упругости для реакции среды равен

Здесь учтена только реактивная часть силы упругости, соответ­ ствующая данному смещению сферы.

Полученных данных достаточно для того, чтобы найти энер­ гию, излучаемую осциллирующей сферой в виде продольных и поперечных волн в окружающую среду. В самом деле, мощность излучения равна половине произведения амплитуды скорости колебания сферы на компоненту силы диполя, находящейся в фазе с этой скоростью.-Скорость равна —/соц, а активная, компо­ нента силы есть (с той же точностью, что и выше)

2ß3+ а3

— і I F I 3ß2 + а2

Излучаемую мощность найдем в виде

Сравнивая с (104.2), найдем, что мощность излучения про­ дольных волн в жидкость и в твердую среду (с той же скоростью, продольных волн) одинакова при равных силах диполя, прило­ женных к среде со стороны. Если же сравнивать мощность излу­ чения в твердую среду и в жидкость при одинаковых смещениях сфер одинаковых (малых) радиусов, то результаты получатся разные: излучение продольной волны в твердой среде оказывается

рости движения требуемая сила в твердой среде гораздо больше,

чем в жидкости.

Аналогичный расчет можно произвести и для «вмороженной» сферы. При этом условия на поверхности сферы имеют вид и, = = ц cos Ѳ, UQ — — и sin Ѳ,' что дает, согласно первым двум фор­ мулам (152.6),

(2 — 2іа — а 2) еіа + 2А(iß — 1 )е® = (іа — l)ela-\-A(l — iß — ß2) e‘p,

494