книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

Смещение и и скорость частиц ѵ имеют соответственно вид u = A ^ L l l l e ikir v = — ши —■— шА •i k i r — 1 ['ftjf

Отсюда видно, что объемная скорость V монополя (определя­ емая, как и для жидкостей, соотношением V = lim 4яг2п) связана

Нормальное напряжение на сфере радиуса г найдем из (148.2):

Из этих формул можно найти мощность, излучаемую монополем, имеющим заданную объемную скорость. Для этого на сфере любо­ го радиуса найдем импеданс данной волны Z = — оггІѵ. Средняя за период плотность потока мощности будет равна вещественной части импеданса, умноженной на половину квадрата модуля ско­ рости частиц на выбранной сфере.

Импеданс на сфере равен

(149.2)

Квадрат модуля скорости частиц есть

Таким образом, полная излучаемая мощность составит

Эта формула совпадает с выражением для средней мощности, излучаемой монополем в жидкой среде.

При вычислении мощности можно было бы рассмотреть поле волны на большом расстоянии от центра волны и взять асимпто­ тические выражения для напряжения и скорости частиц. Это дает

480

Таким образом, вдали от источника напряжение и скорость синфазны (и различаются знаками). Значит, при нахождении мощности можно просто взять половину произведения модулей напряжения и скорости, и это даст, после умножения на поверх­ ность сферического фронта, проходящего через данную точку, среднюю излучаемую мощность. Это снова приведет к той же фор­ муле (149.3).

Рассмотрим подробно зависимость вещественной и мнимой частей импеданса от частоты и радиуса (точнее, от произведения к,г). Вещественная часть импеданса ведет себя в точности так же, как и для жидкой среды. Но поведение мнимой части совершенно другое. При малом радиусе реактивная часть импеданса равна приближенно

жидкой среды, где реактивная часть импеданса имеет массовый характер (присоединенная масса). При стремлении ktr к нулю импеданс стремится к бесконечности. Это значит, что при по­ нижении частоты или уменьшении радиуса излучателя среда

часть импеданса на поверхности малого пульсирующего шарика, погруженного в жидкость, есть — г'рсог и эта величина стремится к нулю при кг —>0.

Дальнейшее поведение мнимой части импеданса при увеличении частоты зависит от коэффициента Пуассона. Если коэффициент

Пуассона меньше 1/3, то, согласно (139.6), 4k] — fe? > 0 и реак­ тивная часть импеданса сохраняет характер упругости при любой

частоте. Но при ѵ > 1/3 величина 4k] — к] отрицательна, и поэтому при увеличении частоты упругий импеданс уменьшается, обращается в нуль, а затем меняет знак, превращаясь в импеданс массового типа. Частоту, при которой мнимая часть импеданса обращается в нуль, можно рассматривать как резонансную час­ тоту вынужденных колебаний сферической полости данного ра­ диуса г, в которую помещен излучатель, создающий вынуждающую силу. Условие резонанса имеет вид

4 + 4(Ѵ )2- ( Ѵ ) 2 = 0,

что, согласцо § 139, можно записать еще и так:

481

I

При резонансной частоте полости звуковая энергия излучается в среду самым выгодным образом: вся мощность излучателя рас­ ходуется только на излучение и требуемая реактивная мощность равна нулю. Импеданс среды равен при этом

круга полости укладываются две длины сдвиговой волны. При абсолютной несжимаемости среды при резонансе точно ktr = 2. Вещественная часть импеданса в несжимаемой среде равна нулю при любой частоте; таким образом, в несжимаемой среде полный импеданс полости при резонансной частоте равен нулю, излучение отсутствует, И, следовательно, такая полость может совершать свободные незатухающие колебания.

Обратим внимание на сходство колебания пустой полости в водоподобной твердой среде и газового пузырька в жидкости. Роль упругости газа играет сдвиговая упругость среды. Размер резонансной полости (в отличие от резонансной сферы, см. § 148) мал по сравнению с длиной продольной волны, хотя колебания в среде чисто продольные. В следующем параграфе мы увидим, что сходство распространяется и на свободные колебания полости и на рассеяние ею продольных волн.

§150. Колебания сферической полости

втвердом теле. Рассеяние на резонансной полости

Теперь найдем свободные колебания полости в сжимаемой среде. В этом случае при радиальных колебаниях происходит излучение продольной волны и колебания затухают; значит, частота таких колебаний комплексна. Вещественную часть час­ тоты и ее мнимую часть, равную коэффициенту затухания собствен­ ных колебаний полости, найдем, приравнивая нулю полный импеданс поверхности полости: колебания должны происходить в отсутствие сторонних сил. Значит, условием собственных коле­ баний будет уравнение

случае водоподобной среды. Тогда колебания полости затухают

482

собственных колебаний полости практически равна резонансной частоте ее вынужденных колебаний и затухание действительно мало.

В веществах типа резины отношение АѴр. может достигать нескольких сотен; следовательно, радиус полости, совершающей свободные пульсационные колебания данной частоты, может со­ ставлять всего несколько сотых долей длины продольной волны этой частоты в среде. Такие колебания убывают медленно, «высве­ чиваясь» в виде продольных сферических волн и затухая по закону ехр [—(kjk,) соЛ. Добротность колебаний равна, таким образом,

Следует иметь в виду, что приведенный расчет добротности учитывает затухание колебаний в результате только излучения продольных волн пульсирующей полостью. Но обычно в водо­ подобных средах имеется значительное внутреннее трение, которое повышает затухание собственных колебаний полости и уменьшает их добротность (сравните с § 89). Поглощение в водоподобной среде связано со сдвиговыми деформациями, и его обычно можно учесть, приписывая комплексность модулю сдвига среды, т. е. полагая его равным р, (1 — гг)). Если считать, что г| 1, то, подставляя комплексное значение модуля сдвига в выражение для волнового числа сдвиговой волны, получим условие резонанса в виде

(kta)2(1 — 2іе -{- гг]) — 4 -j- 4ikLa -{- 4е^а = 0,

откуда найдем: • kta = 2 и е = .V2 {kta + г]). Таким образом, частота собственных колебаний остается той же, что и в несжима­ емой среде, и в этом случае, а затухание соответственно возрастает; добротность теперь принимает значение

ѵ ft/a+ т) 2 (ki/kt) + п "

Мы видели, что резонаторы, помещенные в жидкость (пузырьки, резонаторы Гельмгольца и т. п.), весьма сильно рассеивают па­ дающий на них звук резонансной частоты. Естественно предполо­ жить, что велико будет и рассеяние звука (продольных волн) на полости, резонансная частота которой совпадает с частотой падающего звука. Механизм этого рассеяния такой же, как и в жидкостн: под действием падающей волны полость придет в интенсивные колебания и будет переизлучать энергию падающей плоской волны в виде сферической волны.

Следует заметить, что, как и в жидкости, рассеянное поле будет состоять не только из сферически-симметричной волны, излуча­ емой полостью при ее колебаниях монопольного типа, но и из излу­ чения другими видами колебаний (дипольными и т. п.). Объемная скорость для этих других колебаний равна нулю: поток смещения через границу полости в^разных частях имеет разные знаки и

483

полный поток равен нулю. Но если' резонансным является как раз симметричное колебание полости, то главный вклад в рас­ сеянное поле даст именно оно.

Итак, будем искать рассеяние на сферической полости плос­ кой волны с потенциалом смещений

Ф = еiktx = е i'Ä,rcosO

где Ѳ— полярный угол. При подсчете возбуждения полости су­ щественно только, каков полный поток смещения на поверхности полости: полость будет колебаться своим монопольным колебанием так же, как если бы падающее поле было сферически-симметрич- ной волной с тем же потоком смещения, что и данная падающая волна.

Для нахождения такой эквивалентной сферической волны найдем поток вектора смещения, создаваемого данной плоской волной на поверхности сферы. Радиальное смещение на поверх­ ности сферы равно ikt cos Qeikircosö. Элемент . поверхности сферы с данным полярным углом равен 2яг2 sin Ѳ dQ. Следовательно, полный поток вектора смещения через поверхность сферы равен

71

U = ikfinr- 1 cos Ѳsin Ѳ c°s ѲdQ.

о

Сделаем замену переменных cos Ѳ = z. Тогда интеграл примет вид

вектора смещения через поверхность данной сферы, что и заданная плоская волна еікіх. Потенциал же рассеянного сферически-сим- метричного колебания есть Aeikirlr, где А — пока неизвестная амплитуда этого колебания. Поэтому суммарный потенциал поло­ жим равным

и, приравняв нулю напряжение огп создаваемое на поверхности полости г — а, найдем из этого условия неизвестную амплитуду.

484

Согласно (148.2) имеем

°Vr = — {[(V)2 — 4] sin ktr + 4ktr cos ktr -f

откуда, полагая г = а и приравнивая агг нулю, найдем

л _____!_________ В___________________

ki [(A/а)2—4] cos kia —4Іца sin é/a -j-iß ’

где мы для краткости ввели обозначение

В = l(kta f — 4] sin kfi -f 4kta cos kta.

Условие резонанса — это обращение в нуль вещественной части в знаменателе:

(kta)~— 4 = 4kta tg k(a.

Тогда для амплитуды получается значение А = Hkh а значит, объемная скорость соответственного колебания равна V = = — 4П(йІк[.

Отсюда находим излученную мощность:

J = -gL- рс;/г/1 V |2 = 2рс;яю2.

Но плотность потока мощности в падающей плоской волне <р= есть (см. § 139)

W = ре,«?#,.

Следовательно, сечение рассеяния полости есть

J 4л

как и у резонансного пузырька в жидкой среде. Для водоподоб­ ного тела резонансным рассеивателем является полость, радиус а которой удовлетворяет условию kta = 2.

Амплитуда колебаний и деформации среды вблизи полости велики по сравнению с колебаниями в падающей волне и, кроме того, имеют в основном характер сдвиговых деформаций, которые в падающей волне были сравнительно малы. Полость в водопо­ добной среде — а особенно резонансную .полость — можно рас­ сматривать как преобразователь деформации сжатия (в плоской волне) в сдвиговые деформации (в сферической волне). Поэтому при наличии поглощения при сдвиге подобные рассеиватели при­ водят также к большому поглощению звука. На этом их действии основано применение резиновых слоев, снабженных полостями в

485

качестве поглотителей подводного звука. Покрытия из подобных слоев наносятся на подводные лодки для уменьшения отражения, что служит защитой от обнаружения их при помощи гидролока­ торов.

§ 151. Крутоль

Жесткая сфера, погруженная в идеальную жидкость и совер­ шающая вращательные колебания войруг своей оси, оставляет жидкость в покое. Но такая же сфера, «вмороженная» в твердую среду, излучает волны поперечного типа. Такой излучатель по­ перечных волн назовем крутолем. Скорости частиц на поверхности крутоля (г = а) равны

Нормальные напряжения по граням выделенного криволиней­ ного параллелепипеда равны нулю. В направлении параллели действуют только силы, вызываемые напряжениями аГф и о,Іп равными друг другу, поскольку симметричен тензор напряжений. Очевидно, также, что результирующие силы, действующие на элементарный объем в направлении радиуса и меридиана, обраща­ ются в- нуль.

Остается рассчитать результирующую силу в направлении параллели. Общий для всех напряжений и смещений множитель

486

—г 2 sin 0 £ІѲrfcp • С7гф;

асила, действующая на противоположную грань, равна

Результирующая этих двух сил равна

sin 0 dr dQ dcp-Цр (r2arф).

Далее, силы, приложенные к противоположным граням dr X г dQr

(компоненты вдоль полярного диаметра взаимно уничтожаются). Эти проекцииравны по абсолютной величине г sm Q dr.dQ-a^r и направлены одна к центру параллели и другая от центра. Резуль­ тирующая их направлена вдоль параллели и равна г sin 0 dr dQ dcp X X сГфГ. Таким образом, результирующая всех сил, приложенных к данному элементу объема, направлена по касательной к парал­ лели и равна а

sin 0 dr dQdcp (г2агф) -j- г sin 0 dr dQ dcpar(f =

Деля обе части на объем элемента, получим уравнение движения в виде

Остается выразить напряжение суф через смещение и. Деформа­ ция сдвига элемента равна половине изменения угла между реб­ рами dr и г sin Ѳdcp. Если бы направление ребра г sin Ѳdcp не' ме­ нялось, то это изменение угла равнялось бы диідг. Но это ребро поворачивается на угол и/r. Учитывая направление поворота, видим, что эту величину следует вычесть из диідг, чтобы полу­ чить искомую деформацию:

487

Это — известное уравнение сферических функций Бесселя пер­ вого порядка. Решение, соответствующее расходящейся волне, есть, как легко проверить и непосредственной подстановкой,

Амплитуда А определяется из граничного условия и (а) = и0:

—ік,а

А = и,0 ikta— 1

Таким образом, окончательно поле крутоля получаем в виде

Реактивная часть импеданса всегда положительна: реакция среды носит характер упругости; импеданс постоянен по всей сфере.

Особенно интересен случай малого радиуса сферы по сравне­ нию с длиной сдвиговой волны. Тогда

Зрс?

+ Рс' ( М “-

488

Реактивная часть равна сопротивлению упругости при статичес­ ком сдвиге в слое толщиной в 1/3 радиуса сферы. Активная часть импеданса мала по сравнению с реактивной: она относится к ка­ сательному импедансу в плоской сдвиговой волне как (&,а)2: 1.

Крутильный ..момент, с которым крутоль должен действовать, на среду, чтобы создать данное излучение, равен

М = — J сггф2яа3 sin2 0 dQ

или, согласно (151.2),

М = 8яа2(.і«0

Г + М

Если плотность вёщества сферы есть р', то момент инерции сферы равен (8/15) яа451р' и крутильный момент, который следует прикладывать к сфере, чтобы получить то же движение, нужно увеличить на М ' = — (8/15) яа2(.ш0 (k(a)2(р7р). Суммарный момент равен

М + М' =

Если сфера есть отвердевший участок самой среды, то в этой фор­ муле следует положить р' = р.

Для малого радиуса сферы приближенно М = 8яр,и0а2. Наконец, найдем мощность излучения крутоля. Так как угло­

вая скорость вращения сферы равна — іаи01а, то средняя актив­

Для малого радиуса сферы приближенно

/= яасорцо (&fß)3-

Вэтом случае излученную мощность можно^достаточной точностью» выразить через модуль момента М или через модуль его реактивной части в виде

§152. Диполь в твердом теле

Вжидкости дипольный излучатель — осциллирующая малая сфера. Назовем поле, создаваемое осциллирующей малой сферой

втвердом теле, также дипольным излучением и найдем его харак­

489-