давлением среды, и принимает вид
Для гармонической волны получим отсюда
или
(145.1)
Это и есть дисперсионное уравнение для волн на мембране, граничащей с жидким полупространством. Дисперсионное уравне ние удобно представить в виде
(145.2)
и решать графически. На рис. 145.1 линии а изображают зависи мость левой части уравнения (145.2) от \tk (ветви с положительным
г
О
-1
Рис. |
145.1. а и б — соответственно |
графики левой и правой части уравне |
ния |
(145.2); кривые а' соответствуют |
меньшим значениям р/£рм (т. е. большей |
|
частоте), |
чем кривые а. |
и с отрицательным значением корня), а параболы бх и б г — за висимости правой части уравнения для случая ku < k (скорость свободных волн на мембране см больше скорости волн в среде) и для случая кы> k (сы < с). В обоих случаях есть точка пересе чения параболы с верхней ветвью кривой а. Из построения оче видно, что в обоих случаях абсцисса точки пересечения, т. е. искомое значение £!k, лежит правее единицы и правее нулей кривых б, соответствующих значениям У кы= 1. .Следовательно,
искомое значение £ удовлетворяет неравенствам £ > k и £ £> /гм, т. е. решения соответствуют неоднородным волнам в жидкости — поверхностным волнам, бегущим вдоль мембраны медленнее волн на ненагруженной мембране и убывающим экспоненциально при удалении от мембраны. Так как реакция неоднородной волны на мембрану в данном случае носит массовый характер, то ее дей ствие равносильна некоторой присоединенной массе, что и объ ясняет замедляющее действие неоднородной волны, которую «тянет» за собой волна на мембране.
Но в случае |
£м < k |
есть еще и |
комплексное решение для £. |
Его легче всего |
найти |
для случая, |
когда величина р/£рм мала |
по сравнению с единицей («легкая среда»). Такое решение будем искать в виде
|
|
= k i d |
+ б -f- іе), |
|
где |е|<С 1 и |6| |
« 1. |
Подставляя в (145.1), получим |
(б -f- ге) |
kl — k2 |
8kM”f- iekl = |
. |
Возводя в квадрат обе части уравнения, имеем |
|
(б2 - |
е2 4- 2ібе) (kl — k2 + ökl + iekl) = 4 - • |
|
|
|
4 |
Рм |
Разделяя вещественные и мнимые части, найдем
. (б2 — е2) (kl — k2 -\- 8kl) — 28e2kl = •
26 (kl — k2+ б ^ ) + kl (б2 - e2) = 0.
Из второго уравнения следует, что б имеет порядок е2. Следова тельно, поправка к скорости распространения — второго порядка малости по сравнению с малым коэффициентом затухания волны е. Учитывая это обстоятельство, получим приближенно из первого уравнения
Рм V k ° - - k l ’
и из второго уравнения
1 |
К, |
Р2 |
б = - - |
е |
р і (*’ - * £ ) ’ ■ |
|
|
В этом случае, как видно из формул, скорость растет (во. втором порядке малости) в результате реакции среды, а излучение волн приводит к затуханию волны, бегущей на мембране.
Заметим, что при kM> k дисперсионное уравнение может иметь еще два вещественных решения для £, соответствующих неодно родным волнам (эти решения показаны как пересечения кривой б2 на рис. 145.1 с нижней ветвью кривой а'), но эти решения соответ ствуют неоднородным волнам, нарастающим при удалении от мембраны, и поэтому не могут создаваться волной, бегущей по мембране.
§ 146. Твердые волноводы
Подобно жидким слоям и трубам, твердые пластины и стержни ведут себя как волноводы: в них также без изменений могут рас пространяться только гармонические волны определенных ти пов — нормальные волны. Но в твердой среде, в отличие от жид кости, распространяются не только продольные, но и поперечные волны; кроме того, граничные условия для твердого тела сложнее, чем для жидкостей. Поэтому в твердом волноводе разнообразие нормальных волн больше, а сами эти волны образуют более слож ные волновые поля, чем нормальные волны в жидком волноводе.
Мы рассмотрим только волноводы в виде слоя; при расчете удобно плоскость ху совместить со средней плоскостью слоя. Ось х расположим вдоль направления распространения нормальной волны. Толщину волновода обозначим через 2/г. Ограничимся
случаем свободных стенок. |
волн в твердом волноводе похож |
Один |
из типов нормальных |
на волны |
в жидком волноводе: |
это — нормальные волны, обра |
зованные каждая двумя поперечными плоскими волнами, поля ризованными параллельно границам волновода. Смещения частиц в таких волнах происходят параллельно оси у и от координаты у не зависят. Граничные условия — обращение в нуль напряжений ахг, ауг> °гг ПРИ z = ± h . Непосредственной проверкой легко
установить, что нормальные |
волны этого типа можно записать |
так: |
|
|
иу = |
erix sin t,z = |
( e ‘ s-<---K£z — |
или |
|
|
= |
e‘} x cos = |
-£- (el'6*+‘Cz -f еЪ*-1&), |
где £2' + £2 = kt при условии t,h = [(2n + l)/21 я или tjk ~ «я соответственно (n — целое число). Критические частоты полу чатся из соотношений kth = [(2п + 1)/2] я и kth = пл соответ ственно.
Распределение смещений по толщине волновода синусоидаль ное, причем по высоте укладывается целое число полуволн. Набор нормальных волн получается такой же, как для жидкого слоя со свободными стенками, но роль длины волны звука играет длина сдвиговой волны. Каждая нормальная волна — это суперпози
ция двух сдвиговых волн, каждая из которых переходит в другую при отражении на границе.
Более интересны нормальные волны, в которых смещения частиц лежат в плоскости хг. Такие нормальные волны уже нельзя образовать только одной парой плоских волн, потому что при отра жениях от границ слоя продольные волны переходят в поперечные и обратно. Нормальная волна такого типа должна быть образована двумя парами плоских волн: парой продольных и парой попереч ных волн, взаимно переходящих друг в друга при отражениях.
На рис. 146.1 показаны волновые векторы |
всех четырех |
волн. |
Согласно закону Снеллиуса |
компоненты |
волновых векторов |
в направлении, параллельном |
оси волновода, |
равны у всех четы |
рех плоских волн, составляющих нормальную волну. |
|
Нормальную волну такого типа можно записать через ска |
лярный потенциал и (ввиду того, что движение в такой |
волне |
плоское) единственно отличную от нуля г/-компоненту вектор ного потенциала в таком виде:
ф = |
aeilx+illZ -f Ье^х~‘^ , |
|
aj) = |
cer*x+il‘z + 4 e l|v_l'£'z. |
(146Л) |
Так как по оси z должны получаться стоячие волны, то должно быть |а | = |Ь( и |с| = \d\. Все нормальные волны можно разбить на две группы: в одной из них смещения частиц сим метричны относительно средней плоскости слоя, т. е. имеют место равенства
иX(г) = их(—z); иг (z) = —иг (—г),
а в другой группе смещения антисимметричны:
(2) = —их (—z); uz (г) = иг (—г).
Симметричные волны |
можно записать в таком |
виде: |
4 |
ф = Bel& sin £,z. (146.2) |
Ф = |
Ае‘&cos £;Z, |
Антисимметричные волны выразятся |
аналогич |
ными формулами |
|
|
ф = |
Се‘& sin ^z, . |
ф = De^* cos |
z. (146.3) |
Рис. 146.1. Волно вые векторы четы рех плоских волн (две продольные и две поперечные), образующих одну нормальную волну в твердом волно
воде.
Граничные условия — это обращение в нуль напряжений <jxz и 0 * 2 при z = ± h._ Из этих условий получим дисперсионное уравнение, т. е. уравнение, связывающее £ с частотой для каждой нормальной волны; определив можно будет найти и отношение амплитуд А и В или С и D.
Начнем с волн симметричного типа. Граничные |
условия най |
дем, подставляя (146.2) в (141.13) к полагая |
z = |
± |
/г: |
А |
-г- 2 |2) cos £//і — S2i££< cos |
= |
0, |
|
|
|
|
(146.4) |
Ai2g£j sin t,ih — В (k2t — 2g2) sin t,fh — 0.
Исключая коэффициенты А и В, получим дисперсионное урав нение
(Ä ? -2 g 2)2tg&A + 4g2C&tgS/ft = 0. |
(146.5) |
При заданной частоте это уравнение имеет бесконечный дискрет ный набор решений для £. Для каждой частоты только несколько из первых решений для £ будут вещественными, т. е. только не сколько номеров нормальных волн будут распространяющимися; для других номеров волн £ — чисто мнимое (как в жидких волно водах) или комплексное.
Особенно интересна нулевая волна, т. е. волна, распространя ющаясяпри любой частоте (критическая частота — нуль). Напом ним, что в жидком волноводе со свободными стенками такой волны нет, в твердом же волноводе есть две такие волны (симметричная и антисимметричная). Будем следить за симметричной нулевой
волной, начиная с очень малых частот, |
когда величины |
£z/i и |
£,/г можно считать малыми по сравнению |
с единицей. Из |
(146.2) |
следует, в частности, что при этом распределение продольных сме щений по сечению постоянно с точностью до квадрата этих малых
величин. В |
дисперсионном уравнении можно |
положить |
при |
ближенно |
(с |
той же |
точностью) tg t,th = t,tli |
и lg Cth = |
£th. |
Тогда (146.5) |
примет |
вид |
|
|
(£)- 2 ? Г + 462б = 0.
Отсюда видно, что при вещественном £, т. е. в распространяющейся волне, величина должна быть чисто мнимой: продольная волна
должна быть неоднородной поперек слоя. Подставляя сюда $ = = $ — и упрощая, получим
|
|
_' |
рсо2 |
|
4(Л*-*?) - |
4ц(А. + ц)/(Я. + 2цГ |
Но 4р. (X + |
р)/(А + 2р) = |
Епл — модуль Юнга для пластины. |
Если учесть |
еще характер |
деформаций,, то ясно, что при малых |
частотах — это «юнговская» продольная волна в пластине. Пока частота остается малой, скорость этой волны от частоты не зависит. По мере роста частоты скорость монотонно падает и распределение смещений по сечению' делается неравномерным. Можно показать, что при увеличении частоты величина & также делается чисто мнимой, и асимптотически при больших частотах величины £гк и tfh делаются большими по-сравнению с единицей. Тогда будет
приближенно tg |
= i, tg £,th = i, и дисперсионное уравнение |
(146.5) приведется |
к виду |
|
(а? - 26і)2+ 462ь Сі = о, |
совпадающему с дисперсионным уравнением рэлеевской волны.
'Следовательно, асимптотически юнговская волна при безграничном увеличении частоты превращается в две рэлеевские волны, бегущие
(синфазно) каждая по своей стороне слоя. Смещения заметны только вблизи границ («скин-слой»), а средняя часть слоя практически покоится.
Поведение следующих номеров нормальных волн более сложно. Без численного расчета удается выяснить только поведение неко торых нормальных волн вблизи критических частот и асимптоти ческое поведение всех распространяющихся нормальных волн при стремлении частоты к бесконечности. „
Так, для тех волн, у которых, как и в жидких волноводах, ' фазовая скорость обращается в бесконечность на некоторой час тоте, можно найти эти «критические» частоты. В самом деле, при этой частоте должно выполняться условие g = 0 и, следовательно, Z[ — kt и ^ = kt. Подставляя в (146.4), приведем граничные условия к виду
А cos kth = 0, |
Bsinkth = 0. |
|
Эти условия удовлетворяются либо при kth = |
пп |
(тогда при этой |
- частоте А = 0), либо при |
kth = — ^— |
я |
(тогда В = 0). |
В первом случае при критической частоте получается стоячая волна поперечного типа с фронтами, параллельными стенкам волновода. Во втором случае получается волна продольного типа.
Для каждой волны (кроме нулевой) найдется частота, при кото-
рой g = |
kt/2. Для волны номера п Ф 0 частота определится соот- |
ношением |
2л ■j |
cos t,th = 0, откуда kth = ——- я. При этой частоте |
|
V ^ |
А = 0 и волна состоит из двух сдвиговых волн, бегущих под
углом 45° к оси волновода, |
и имеет фазовую скорость с ,] / ! . |
Такую волну можно записать |
в виде |
|
|
f\ |
|
п ^ |
. 2п—1 |
. 2ft ~• 1 |
|
___ |
I |
о/. |
Ф= |
0; |
-ф = |
Be |
2ft |
sin — — Я2* |
Еще не доходя |
до |
этой |
частоты, |
при угле скольжения Ѳкр = |
. = arccos'(Cj/ct), |
продольные волны |
делаются неоднородными и |
остаются неоднородными при дальнейшем повышении частоты. Асимптотически при ю—>оо всякая распространяющаяся волна (кроме нулевой) превращается в пару сдвиговых волн, бегущих под углами скольжения, стремящимися к нулю, и в пару неоднород ных продольных волн, заметных только вблизи границ. Следо вательно, фазовая скорость этих волн убывает, стремясь асимпто тически К С(.
Аналогичным образом можно рассмотреть и антисимметричные волны. Для них граничные условия запишутся в соответствии
с(146.3) в виде
С(kJ — 2g2) sin g.h -f- D 2/££( sin g,/i = 0, C2ig£ cos ih -\- D ( $ —. 2g2)cos g /г = 0,
что приводит после исключения амплитуд к дисперсионному урав нению
— 2£2)2 tg S/A + 4 |2e,e<lg&A = 0.
Найдем нулевую антисимметричную волну. Для малых частот величины у г и У і малы и должны быть чисто мнимыми. Если, однако, положить, как и для симметричных волн, tg Уг = Уг и tg Уі = Z,th, то члены, содержащие £2 в дисперсионном уравне нии, взаимно сокращаются: это слишком грубое приближение. Поэтому приходится для получения приближенного решения продолжить разложение тангенсов до второго члена:
tg У г = |
У і |
+ 4 - |
|
tg y i = y i + ~ |
(Уг)3. |
|
Тогда дисперсионное уравнение приводится к виду |
|
|
k\ + 4 ^ |
[(*? - |
2£ ? |
(А? - |
£ ) + 4 |2 (а- - |
іУ ] |
= |
О, |
откуда следует, |
что |
решение должно |
удовлетворять |
неравенству |
I > kt. Считая, что это |
условие |
выполнено, и сохраняя только |
старшие члены по | |
(члены с четвертой степенью |), найдем |
|
|
|
3 |
fej |
|
Зрш2 |
|
|
|
|
|
4 |
(ft?—*/)Ла |
|
Л' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это — известное |
выражение для |
волнового |
числа |
изгибных |
волн на пластине. Положительный знак корня соответствует распространяющимся изгибным волнам, а отрицательный— волнам, экспоненциально затухающим вдоль волновода. Закон дисперсии для изгибных волн простой: при повышении частоты скорость растет пропорционально корню квадратному из частоты. Этот закон роста, однако, нельзя экстраполировать на высокие частоты: по мере того как величина kth делается не очень малой по сравне нию с единицей, рост скорости замедляется и при стремлении частоты к бесконечности нулевая нормальная волна превращается в пару рэлеевских волн, бегущих вдоль верхней и нижней границ волновода. Но, в отличие от случая симметричной нулевой волны, эти рэлеевские волны сдвинуты одна относительно другой на пол волны.
Поведение волн высших порядков похоже в целом на поведение
симметричных волн. Фазовая |
скорость |
обращается в |
бесконеч- |
2п_- j |
(тогда при |
этой частоте |
G — 0 и |
ность или при kth = — 2 |
— я |
волны рождаются как |
поперечные), или |
при kLh = |
пп (тогда |
D = 0 и волны рождаются как продольные). При увеличении |
частоты скорости всех распространяющихся |
волн стремятся асим |
птотически к скорости сдвиговой волны. |
|
|
|
Г Л А В А XVI
СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
§ 147. Типы сферических волн в твердом теле
Как в жидкости, так и в твердой среде колеблющиеся тела конечных размеров создают сферические волны, т. е. волны, кото рые на достаточном удалении от тела убывают вдоль каждого радиуса-вектора по закону 1/г и в которых угловое распределение амплитуд (характеристика направленности) не меняется с увели чением расстояния. Различие состоит в том, что в твердой среде колеблющееся тело излучает не только продольную волну, как в жидкости, но и поперечную, и каждая из них имеет свою харак теристику направленности и свою скорость распространения.
Будем пользоваться сферической системой координат с ра диусами-векторами, меридианами и параллелями в качестве координатных линий и с полюсом в центре волны. Как и для жид кости, будем изучать волны, для которых угловые зависимости величин, характеризующих волну, остаются неизменными не асим птотически, (на большом расстоянии от центра волны), а начиная от самого центра. Все источники таких волн могут быть осущест влены в виде сфер с определенным распределением смещений на поверхности, причем для получения всех нормальных волн при дется вообще задавать не только нормальные, но и касательные смещения или напряжения.
Мы ограничимся сферическими волнами, создаваемыми про стейшими источниками: пульсирующей сферой (монополь), посту пательно осциллирующей жесткой сферой (диполь) и вращательно осциллирующей жесткой сферой («крутоль»). Последний источник
и |
чисто поперечная волна, им создаваемая, не имеют аналога |
в |
жидкой среде. Кроме того, рассмотрим стоячие сферические |
волны, а также колебания сферических полостей в твердой среде. Начнем с простейшего случая сферически-симметричных волн.
§ 148. Сферически-симметричные волны. Радиальные колебания твердой сферы
Из соображений симметрии ясно, что поперечные сферическисимметричные волны не существуют. Единственно возможная сферически-симметричная волна — продольная волна с чисто радиальными смещениями. Такую волну можно охарактеризовать
скалярным потенциалом смещений ср, также имеющим сферическую симметрию. Единственная отличная от нуля радиальная компо нента смещения выразится через потенциал формулой
dq>
и = дг ' (148.1)
Нормальное напряжение на сферических координатных поверх ностях выразится формулой
(г„ = А,Дф + 2 ц - |£ .
Но дл-я сферически-симметричного случая
* |
<52ф . |
2 |
дф |
Ä<f = |
ä ? + |
- |
дг ’ |
а в силу волнового уравнения Дер = (1/с/) ер. Поэтому напряжение можно переписать в следующем виде:
°„ = (^ + 2 ц ) Д ф - 4 ц ^ - ^ = ц ^ ф - А | ^ .
В частности, для гармонической волны найдем |
|
|
®гг = |
— 11(^Ф + ^ - І 7 ) - |
(148.2) |
Полученных формул достаточно, чтобы найти сферически- |
симметричные собственные колебания твердой |
сферы при тех |
или |
иных граничных условиях |
на ее поверхности, поле моно |
поля |
в твердой среде, |
а также |
колебания сферической полости |
в твердой среде. В этом |
параграфе рассмотрим |
колебания твер |
дой |
сферы. |
|
|
|
Пусть сфера радиуса а помещена в вакуум. Граничным усло вием на поверхности сферы явится обращение в нуль нормального напряжения на поверхности сферы-; остальные граничные условия выполнятся автоматически вследствие симметрии движения. Потен
циал |
смещений для |
искомого колебания должен иметь вид ф = |
= (sin kir)!r, где ki, |
а вместе с тем и частота найдутся из гранич |
ного |
условия. Подставляя |
в (148.2), получим |
уравнение частот |
в виде |
|
|
|
|
|
[(kfäf — 4] sin kLa -f- |
cos kta = |
0 |
или, |
после элементарного |
преобразования, |
|
|
|
|
1 |
^/ |
|
|
|
|
1----т--т(*/а)* |
|
|
|
|
4 |
с* |
|
Напомним, что соответственное условие для жидкой сферы имеет
вид ka = пп, где п — целое. Уравнение частот удобно решать графически, преобразовав его к виду
kia
kfi — ля = arctg
1 C1
t
На рис. 148.1 семейство прямых, гіроведенных под углом 45° к осям, изображает различные ветви левой части уравнения в функ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ции |
от |
kfi, |
а |
кривая |
с разрывом — правую часть |
уравнения. |
|
В точке разрыва знаменатель |
|
|
|
аргумента правой части обра |
|
|
|
щается в нуль. Этому соот |
|
|
|
ветствует |
значение |
kfi — |
|
|
|
= 2 (cjci) < |
j / 2. |
С |
другой |
|
|
|
стороны, правая часть до раз |
|
|
|
рыва |
остается |
большей, |
чем |
|
|
|
/«^.'Поэтому в верхней полу |
Рис. 148.1. Графическое определение соб |
|
плоскости пересечений |
кри |
|
ственных частот сферически-симметричиых |
|
вой |
с |
семейством, |
дающих |
колебании твердой сферы со свободной |
|
искомые значения |
kfi, |
нет; |
поверхностью. |
|
|
первое пересечение имеет ме |
второе — с прямой |
у = kfi — |
|
сто |
с |
прямой |
у |
= |
k f i — я, |
— 2я и т. д., как видно из рисунка. Значение п равно числу сфери ческих узловых поверхностей, на которых напряжение обращается в нуль. Колебание наименьшей частоты имеет только одну узло вую поверхность — поверхность самого сферического объема. Для жидкой сферы того же радиуса и с той же скоростью продоль ных волн, что и в данной твердой среде, собственные значения Іг( а давались бы пересечениями семейства с осью абсцисс: все реше ния были бы больше, чем для твердой сферы. Значит, при условии равной скорости звука собственные частоты для сферическисимметрийных колебаний твердой сферы ниже, чем для жидкой сферы того же радиуса.
Для собственных частот твердой сферы, ограниченной абсолют но жесткой сферической границей, уравнение частот получится из требования равенства нулю смещения частиц на границе: дерІдг— = 0 при г = а. Это приводит к частотному уравнению того же вида, что и в жидкости: tg kfi = k fi.'
Обратим внимание на то, что минимальный размер резонансной сферы при обоих типах граничных условий и при любом коэффи циенте Пуассона имеет порядок длины продольной волны.
§ 149. Монополь в твердой среде
Потенциал смещений, создаваемый в твердой среде гармони ческими пульсациями сферы, т. е. потенциал гармонического монополя, имеет вид
