книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

Таким образом, отраженное поле, как было сказано выше, дей­ ствительно состоит из двух волн: одной — одноименной с падаю­ щей (продольной) и другой — разноименной.

Коэффициенты отражения можно выразить через импедансы продольной и поперечной волн

Можно получить при помощи (142.3) формулы для коэффи­ циентов отражения, куда войдет только угол скольжения падаю­ щей волны 0;:

Эти выражения удобны, когда требуется проследить зависимость коэффициентов отражения от угла скольжения падающей волны. При стремлении угла скольжения продольной волны к 0° коэффи­ циент отражения продольной волны стремится к — 1, а коэффи­ циент отражения поперечной волны стремится к нулю.

б) Абсолютно жесткая граница, не допускающая скольжения

В этом случае на границе должны обращаться в нуль компоненты их, иу и иг смещения частиц. Условие иу= 0 выполняется для полей (142.4) и (142.5) автоматически. Из формул (141.7) найдем гранич­ ные условия в виде

+ W i = - l , w - W t = & .

Решая эту систему относительно коэффициентов отражения и пользуясь (142.3), найдем

Коэффициент отражения продольной волны обращается в нуль при Ѳ/ + Ѳ/ = 90°. В этом случае при отражении продольная волна

460

переходит целиком в поперечную с направлением распростране­ ния, перпендикулярным к направлению распространения падаю­ щей волны. Но тогда направления векторов смещения в падающей (продольной) и отраженной (поперечной) волне совпадают (рис. 142.2). Ясно, что при этом граничному условию можно удов­ летворить, просто подбирая амплитуду и фазу смещений в попереч­ ной волне так, чтобы они совпадали с амплитудой и фазой в падаю­ щей продольной волне. Пользуясь (142.3), получим, что'угол сколь­

в) Абсолютно жесткая стенка, не допускающая касательных напряжений. В этом случае на границе должны обращаться в нуль нормальное смещение иг и касательное напряжение охг. Из формул (141.7) и (141.9) получим граничные условия в’виде

W - I V t= Ь, ЧХлѴ і + (S? - Ч 2)Vf = 26£ь

что дает для коэффициентов отражения следующие значения:

Таким образом, поперечная волна при отражении не возникает. Картина отражения потенциала продольной волны такая же, как в жидкости при отражении от абсолютно жесткой стенки.

г) Жесткая гибкая пластинка, не допускающая касательных смещений. В этом случае на границе должны удовлетворяться ус­ ловия обращения в нуль касательных смещений их и нормальных напряжений агг. Это приводит к граничным условиям

461

Поперечная волна снова не возникает, но картина такая же, как для волны в жидкости при отражении от абсолютно мягкой стенки.

Совершенно аналогично можно решить и задачу об отражении от различных границ поперечной падающей волны с поляризацией, лежащей в плоскости падения (рис. 142.3). В этом случае ^-компо­

Рис. 142.3. Картина отражения при падении поперечной волны, поляризованной в плоскости падения.

Тем же способом, что и для продольной падающей волны, решим задачи об отражении от границ типов (а), (б), (в), (г) и для падаю­ щей поперечной волны. Приведем результаты расчета коэффициен­ тов отражения от этих случаев, обозначая теперь через л отноше­ ние St/St.

Для отражения от границы типа (а):

^4|%£; - (S ? - 2 i2)2

4|2^ / + (S2- 2 i 2)2

462

При угле скольжения 45° коэффициент отражения продольной волны обращается в нуль, а коэффициент отражения поперечной волны станет равным -В 1- При угле скольжения, меньшем крити­ ческого угла Ѳкр = arccos п, правильное отражение невозможно: компонента вектора медленности продольной волны по оси z ока­ зывается мнимой. Это;— случай, аналогичный полному отраже­ нию в жидкости. В этом случае приходится переходить к гармони-, ческим волнам, для которых мнимые значения компонент волновых векторов имеют смысл: отраженная продольная волна является неоднородной гармонической волной, экспоненциально убывающей при удалении от границы. Формулы для коэффициентов отраже­ ния можно сохранить и для закритических углов, считая величины S lt St, I, t,h £/ равными волновым числам продольной и попереч­ ной волны и компонентам волновых векторов по осям х и z соот­ ветственно.

При закритическом угле скольжения волны сдвига вдали от границы будет наблюдаться только поперечная волна с амплиту­ дой, равной единице; продольная волна будет поверхностной, бегу­ щей вдоль границы. Вообще во всех случаях падения поперечной волны отраженная продольная волна становится неоднородной при

закритическом угле скольжения. Так как всегда n < l / |/ 2, крити­ ческий угол скольжения всегда больше 45°.

Для отражения от границы типа (б):

типа, в данном случае поперечная волна — в продольную. В этом случае также направления распространения отраженной и падаю­

Углы Брюстера для падения продольной волны и для падения поперечной волны дополняют друг друга до 90°.

Для случаев -(в) и (г) получаются соответственно следующие величины для коэффициентов отражения:

463

§ 143. Отражение и прохождение звука на границе жидкости и твердой среды

Теперь рассмотрим отражение и прохождение волн на плоской границе между твердым телом и жидкостью или другим твердым телом. Эта задача аналогична задаче Френеля об отражении и' прохождении на границе двух жидких сред, с той разницей, что при каждом отражении и прохождении в твердой среде будет воз­ никать в общем случае по две волны (одна продольная и одна по­ перечная), а не по одной.

Будем считать, что отражение и прохождение правильные. Для волн произвольной формы это накладывает ограничение на угол скольжения падающей волны: он должен быть докритическим для всех отраженных и прошедших волн. В этом случае обычным спо­ собом найдем формулы Френеля — формулы для коэффициентов отражения и прохождения всех возникающих волн. При падении под закритическим углом волна вообще меняет свою форму при отражении и прохождении; в этом случае сохраняют свою форму только гармонические волны и для них имеют место те же формулы Френеля, что и для докритических углов, но коэффициенты отра­ жения делаются вообще комплексными, а сами отраженные и про­ шедшие волны — неоднородными.

Пусть волна падает из жидкости на твердое тело. Это задача важная, например, для гидроакустики (отражение от грунта), им­ мерсионной дефектоскопии и т. п. В этой задаче удобно задать

Тогда полный потенциал в жидкости и скалярный и векторный потенциалы ф и ф прошедших волн в твердом теле можно записать в следующем виде:.

Ф + Ф = / (* — Іх — £„2) + V of (t — lx + go*),

V ^ y P i f V - l x — hz),

(143.2)

здесь Wi и W t— коэффициенты прохождения; помимо обозначе­ ний предыдущего параграфа, принято еще обозначение Со =

= l/"So — С2 для z-компоненты медленности S 0 звука в жидкости и обозначение Ч/ 0 для коэффициента отражения звука в жидкости.

464

Обозначая угол скольжения волны в жидкости через Ѳ0, получим соотношения:

где nt = 5;/50 и nt = S//S0 — показатели преломления продоль­ ных и поперечных волн в твердом теле относительно жидкости.

Условия на границе заключаются в равенстве нормальных сме­ щений в жидкости и в твердом теле, в равенстве нормальных напря­ жений (нормальное напряжение в твердом теле должно быть равно давлению в жидкости, взятому с обратным знаком) и в обращении в нуль касательного напряжения в твердом теле. Граничные усло­ вия можно записать в виде

Р о ^ о - (А (S? - 2 | 2) Жі - 2 р . H i l f t = - Р о,

2U lW l ~ ( S 2t - 2 f ) j f t = 0.

Решая эти уравнения относительно коэффициента отражения 47 0 и коэффициентов прохождения 7 ft и 7 ft продольных и попереч­ ных волн и обозначая отношение плотностей р/р 0 твердого тела и воды через т, найдем формулы Френеля в виде

Здесь введено обозначение Z0 = p0/S 0 sin Ѳ0. Из формулы для 4 7 0 видно, что входное сопротивление упругого полупространства равно

Z = Zt sin2 2Ѳ, + Zt cos2 2Ѳ,.

Пользуясь (143.3), перепишем последние формулы так, чтобы в них входил, помимо коэффициентов преломления щ и щ и

at = Y Ъ + (”?— 1) ctg2 ѳо> сц = У л/ + («/ — 1) ctg2 Ѳ0.

Проследим, как меняются коэффициенты отражения и про­ хождения при изменении угла скольжения падающей волны. При нормальном падении (0О= 90°) получаем

а это те же формулы Френеля для потенциалов отраженной .

ипрошедшей волн при нормальном падении на границу двух жидких сред с теми же плотностями и скоростями продольных волн. Скорость сдвиговых волн в данном случае роли не играет,

ипоперечные волны не возникают, как, впрочем, видно и из сим­

метрии задачи. При скользящем падении (Ѳ0 = 0°) находим <№„= = — 1; Wi = W t = 0- При стремлении угла скольжения падаю­ щей волны к нулю суммарное поле стремится к нулю в обеих сре­ дах, также аналогично тому, что мы нашли для границы двух раз­ личных жидкостей.

При изменении угла скольжения падающей волны возможно обращение в нуль коэффициента отражения 'Ѵ „.В самом деле, при /п > П/ > 1 коэффициент отражения положителен при Ѳ0 = 90° и отрицателен при Ѳ0 —>0, причем все время сохраняет веществен­

ные значения. Значит, при каком-то промежуточном угле падения 1 коэффициент отражения обращается в нуль. Аналогично, при т < щ < 1 коэффициент отражения отрицателен при нормальном падении и стремится к +1 при приближении к критическому углу по отношению к продольным волнам, также оставаясь веществен­ ным. Значит, при каком-то угле скольжения Ѳ0 > arccos щ коэф­ фициент отражения и в этом случае обратится в нуль. Таким обра­ зом, условия возможности нулевого отражения при падении волны на твердую среду совпадают с соответственными условиями для двух жидкостей. Скорость сдвиговых волн в твердом теле ска­ зывается только на величине угла скольжения, при котором отра­

466

жение обращается в нуль. Прошедшее поле, несущее в этом случае всю энергию падающего, состоит и из продольной, и из поперечной волны.

Коэффициент прохождения продольной волны обращается в нуль при £2 = S2/2, т. е. при угле скольжения преломленной

поперечной волны, равном 45°. Угол скольжения падающей волны

равен при этом Ѳ0 = arccos {щіѴ2) и всегда меньше критического угла скольжения для продольных волн, так что в нуль обращается амплитуда продольной волны, уже успевшей обратиться в неодно­ родную по мере уменьшения угла скольжения.

Может обратиться в нуль и коэффициент прохождения попереч­ ной волны: это происходит при критическом угле скольжения Ѳкр = arccos щ для продольной волны. При этом угле скольжения коэффициент отражения равен единице, а продольная волна в твер­ дом теле — плоская волна, бегущая вдоль границы'.

Совершенно аналогичным способом можно выполнить расчеты и для задачи о падении продольной или поперечной волны в твер­ дом теле на границу его с жидкостью.

Г

§ 144. Рэлеевская волна

. Вернемся к задаче о падении на свободную границу твердого тела продольной или поперечной волны и поставим вопрос: в каком случае отражается только волна другого наименования, чем падаю­ щая, т. е. поперечная при падении продольной волны и продольная при падении поперечной? Формулы (142.6) и (142.15) показывают, что условия обоих вариантов одинаковы:

Преобразуем это уравнение, которое можно рассматривать как уравнение относительно компоненты медленности | вдоль границы. Пользуясь выражениями (142.1) и освобождаясь от радикалов, получим

раскроем скобки и выполним упрощения; уравнение примет вид

96 _ 8(?4 + 2 4 ( і - Т " | ) ^ - 1 б ( і — 1 ) = 0- О44-2)

Легко видеть, что это уравнение имеет относительно величины q один вещественный корень, лежащий между 0 и 1. В самом деле, подставляя вместо q нуль, получим в левой части (144.2) отри­ цательное число; подставляя вместо q единицу, получим положи­ тельное число. Значит, где-то между нулем и единицей действи­ тельно имеется искомый корень. Каков же физический смысл найденного решения q < 1? Так как при этом £ > S t, то след

волны бежит по границе медленнее, чем сдвиговая волна, а значит, и подавно медленнее, чем продольная волна. Таким образом, обе волны — и падающая и отраженная — неоднородные *).

Поле бежит вдоль границы с медленностью £ и убывает в направ­ лении от границы в глубь тела. Поле представляет собой совокуп­ ность двух неоднородных волн: одной — продольного и другой — поперечного типа, каждую из которых можно считать падаю­ щей (под мнимым углом скольжения)-, одновременно считая вто­ рую отраженной (тоже под мнимым углом).

Но чаще рассматривают все получающееся поле как одну волну, распространяющуюся вдоль границы («рэлеевская волна»). Рэ­ леевская волна распространяется без дисперсии. Скорость этой волны Cff = 1/| меньше скорости сдвиговых волн. Отношение этой скорости к скорости сдвиговых волн зависит от коэффициента Пуассона, изменяясь от 0,875 (большой модуль сдвига) до 0,96 (водоподобная среда) при изменении коэффициента Пуассона от 0 до 1/2. Скорость рэлеевской волны мало зависит от модуля объемного сжатия во всем диапазоне его изменения от 0 до оо, но сильно зависит от модуля сдвига (с точностью до 10% скорости сдвиговой и рэлеевской волны пропорциональны друг другу). Ее распространение обусловливает, таким образом, преиму­ щественно сдвиговая упругость, связанная с колебаниями среды вблизи границы.

Интересно отметить, что возможны вообще и другие поверх­ ностные неоднородные волны, распространяющиеся вблизи сво­ бодной границы той или иной среды. Таковы, например, волны,

В этом случае сила веса является квазиупругой силой. Однако в этом случае распространение волн сопровождается дисперсией. Другой пример — жидкое полупространство, ограниченное натя­ нутой мембраной или упругой пластиной (см. следующий параг­ раф). Наконец, с аналогичной картиной в жидкой среде мы встре­ чались, рассматривая волну в жидкости, бегущую вдоль импе­ дансной плоскости с упругим импедансом. Рэлеевская волна может распространяться и при несжимаемости среды (ѵ = 1/2). В этом случае cR = 0,96 ct.

Волны Рэлея важны в сейсмике: поскольку они являются поверхностными, они расходятся при распространении от источника волн только в двух измерениях (например,, землетрясения — по земной коре) и поэтому затухают медленнее (как 1/г по энергии), чем волны, распространяющиеся в объеме (обычные продольные и поперечные волны, убывающие по квадратичному закону). Поэтому их можно наблюдать на таких больших расстояниях от эпицентра землетрясения, на которых волны других типов уже не заметны.

*) Можно иначе прийти к этому же решению: найти, при каком условии одно­ именная отраженная волна имеет бесконечную амплитуду.

468

Волны Рэлея применяют также в дефектоскопии для регистрации поверхностных трещин, которые являются рассеивающими пре­ пятствиями для таких волн. Их малая скорость удобна также для использования в линиях задержки.

§ 145. Влияние граничащей среды на поверхностные волны

Как действует толща океана на рэлеевскую волну, бегущую по дну? Нормальные смещения дна в рэлеевской волне создают в воде звуковые волны, но реакция водной среды также должна каким-то образом воздействовать на рэлеевскую волну. Расчет такого воздействия довольно сложен; но само явление влияния граничащей среды на волну, распространяющуюся вдоль поверх­ ности, возникает и в других, более простых случаях. Поэтому рассмотрим качественную сторону влияния среды на простой модели: влияние граничащей жидкости на волну, бегущую по натянутой мембране.

Пусть поверхностная плотность мембраны равна рм. Рассмотрим поперечные плоские волны, бегущие на мембране в направлении оси X . Натяжение по оси д: мембраны в расчете на один погонный сантиметр в направлении оси обозначим через Т. В отсутствие жидкости уравнение одномерного движения мембраны имеет вид

где и — поперечное смещение точек мембраны в направлении

оси г. Скорость волн на мембране в этом случае равна см = У 77рм, а гармоническую волну, бегущую по мембране, можно записать

в виде и = е1к«х, где дисперсия от-

сутствует.

Теперь предположим, что мембрана граничит одной стороной с жидкостью, плотность которой равна р и скорость звука с = (a/k. Будем искать плоские волны частоты со, которые могут распростра­ няться по такой «нагруженной» мембране в виде е1&, где вели­ чину £ предстоит определить.

Волна поперечных смещений и на плоскости z = 0 вызовет

в жидкости плоскую волну давлений вида i4exp(t'£;e-f i У №— І 2 z), амплитуда которой определится из граничного условия на поверх­ ности мембраны: 2 -компонента смещений частиц в жидкости при

Уравнение движения мембраны, граничащей с жидкостью, отли­ чается от уравнения для свободной мембраны добавочной силой:

469